9
Courbes de Bézier
62
Leçon n° Niveau BTSPrérequis Notion de fonctions Références [151], [156], [163]
62.1
Barycentres
Définition 62.1 — Barycentre de deux points pondérés. Soient A et B des points du plan. Soient α et β des nombres réels tels que α+ β 6= 0. Le barycentre des points pondérés (A, α), (B, β) est l’unique point G du plan défini par l’égalité :
αGA# »+ βGB# »= #»0 .
Dv
L’ensemble des points M du plan tels que :
αM A# »+ βM B# »= #»0 est : αM A# »+ βM B# »= #»0 ⇔ αM A# »+ β(M A# »+AB# ») = #»0 ⇔ (α + β)M A# »+ βM B# »⇔AM# »= β α+ β # » AB.
Cette dernière égalité définit un unique point M dans le plan. On remarquera que le barycentre G de (A, α), (B, β) appartient, lorsque A 6= B à la droite (AB), puisque les vecteurs # »
AGetAB# » sont colinéaires.
Définition 62.2 — Barycentre dans le cas général. Soit n un nombre entier naturel ≥ 2. Soient, A1, A2, . . . , Andes points du plan et λ1, λ2, . . . , λndes nombres réels tels quePni=1λi = 0. Le barycentre des points pondérés(A1, λ1), (A2, λ2), . . ., (An, λn) est l’unique point G du plan défini par l’égalité : n X i=1 λi # » GAi = #» 0 . Dv
On peut montrer, en utilisant la relation de Chasles, que : # » A1G= Pn1 i=1λi n X i=2 λi # » A1Ai, ce qui permet d’obtenir à la fois l’existence et l’unicité.
Définition 62.3 — Isobarycentre. On dit que G est l’isobarycentre des points A1, A2, . . . , Anlorsque Gest le barycentre de :
(A1,1), (A2,1), . . . , (An,1).
62.2
Polynôme de Bernstein
Définition 62.4 — Polynômes de Bernstein. Les polynômes de Bernstein sont définis par les formules suivantes :
Bi,n(t) = n i
!
ti(1 − t)n−i, avec n ∈ N, i ∈ N, i ≤ n.
Dv Rappel : coefficient binomial
Le coefficient n i ! = n! i!(n − i)! est appelé coefficient binomial.
Théorème 62.5 Soit n un nombre entier naturel. Pour tout t dans[0, 1] : n X i=0 Bi,n(t) = 1. Dv On a : n X i=0 Bk,n(t) = n X i=0 n k ! ti(1 − t)n−i= (t + 1 − t)n= 1 d’après la formule du binôme de Newton.
Propriété 62.6 On peut montrer par récurrence que :
B0,n= 1 et ∀i ≥ 1, Bi,n(0) = 0, ainsi que :
Bi,n(1) = 1 et ∀i ≤ n − 1, Bi,n(1) = 0.
Théorème 62.7 Pour tout entier naturel n :
B0,n0 (0) = −n et Bn,n0 (1) = n. Pour tout n ≥ 1 :
B01,n(0) = n et B0n−1,n(1) = −n. Pour tout n ≥ 4 et pour tout i vérifiant 2 ≤ i ≤ n − 2 :
62.3 Courbes de Bézier 11
FIGURE62.1 – Pierre BÉZIER& Paul DECASTELJAU
62.3
Courbes de Bézier
62.3.1 La naissance des courbes de Bézier
Dv La naissance des courbes de Bézier
Dans les années 60, les ingénieurs Pierre BÉZIER et Paul DECASTELJAUtravaillant
respective-ment chez Renault et Citroën, réfléchissent au moyen de définir de manière la plus concise possible la forme d’une carrroserie.
Le principe a été énoncé par BÉZIER mais l’algorithme de construction, lui, a été énoncé par
son collègue de la marque aux chevrons qui n’a d’ailleurs été dévoilé que bien plus tard, la loi du secret industriel ayant primé sur le développement scientifique. . .
Pour la petite histoire, alors que Pierre BÉZIER (diplômé de l’ENSAM et de SUPÉLEC), à
l’origine des premières machines à commandes numériques det de la CAO a été mise à l’écart par sa direction. Il se consacra alors presque exclusivement aux mathématiques et à la modélisation des surfaces et obtint même un doctorat en 1977.
Paul DECASTELJAUétait lui aussi un mathématicien d’orignie, ainci élève de la Rue d’ULM,
a été un temps employé par l’industrie automobile.
Aujourd’hui, les courbes de Bézier (courbe paramétrique aux extrémités imposées avec des points de contrôle qui définissent les tangentes à cette courbe à des instants donnés) sont très utilisées en informatique.
62.3.2 Définition et propriétés des courbes de Bézier
Définition 62.8 — Courbe de Bézier. Soient P0, P1, . . . , Pndes points du plan P.
Soient B0,n, B1,n, . . . , Bn,nles n+1 polynômes de Bernstein de degré n. On appelle courbe de Bézier pilotée par les points P0, P1, . . . , Pn, la courbeΓ décrite par les points M(t), barycentresa des points pondérés :
avec t ∈ [0, 1]. En d’autres termes : Γ = ( M(t) ∈ P, ∃t ∈ [0, 1], n X i=0 Bi,n(t)M# »(t)Pi = #»0 ) . a. Ces barycentres sont bien définis puisque la somme des coefficients vaut1 pour tout t dans [0, 1].
Définition 62.9 — Points de contrôle. Les points P0, . . . , Pnde la définition62.8sont les points de contrôle de la courbe de Bézier.
Théorème 62.10 Soit O un point quelconque de P. Alors, pour tout t dans [0, 1] :
n X i=0 Bi,n(t)M# »(t)Pi = #»0 ⇔OM# »= n X i=0 Bi,n(t)OP# »i. Dv
• Démonstration — Il suffit d’introduire par relation de Chasles, le point O dans chaque vecteur de l’égalité de gauche, et d’utiliser le fait quePni=0Bi,n(t) = 1, pour obtenir l’égalité
de droite. •
Ce théorème souligne qu’une courbe de Bézier est une courbe paramétrée, puisque le repère (O, #»ı, #»), l’égalité de droite correspond à celle de la définition d’une courbe paramétrée.
Les résultats obtenus dans la session précédente permettent d’établir les propriétés suivantes des courbes de Bézier :
Théorème 62.11 On suppose que n ≥ 2 et que les points P0, P1, . . . , Pnne sont pas tous confondus. Avec les notations de la définition62.8, on a :
1. M(0) = P0et M(1) = Pn;
2. soit k le plus petit des nombrs entiers i tels que P0 6= Pi, alorsP# »0Pkdirige la tangente àΓ en P0;
3. soit p le plus grand des nombres entiers i tels que Pn 6= Pi, alorsP# »pPn, dirige la tangente à Γ en Pn.
62.3.3 À quoi ressemble une courbe de Bézier ?
La figure62.2nous donne des exemples de courbes de Bézier pilotées par quatre points : A, B, C et D.
Les points de contrôle, hormis le premier point et le dernier point, ne sont, en général, pas des points de la courbe de Bézier.
62.3.4 Construction par barycentres successifs
62.3 Courbes de Bézier 13
FIGURE62.2 – Exemple de courbes de Bézier pilotées par quatre points
on note P(t) le barycentre de
(P0, B0,n−1(t)), . . . , (Pn−1, Bn−1,n−1(t)) et on note Q(t) le barycentre de
(P1, B0,n−1(t)), . . . , (Pn, Bn−1,n−1(t)).
Les points P(t) et Q(t) parcourent les courbes de Bézier pilotées respectivement par P0, . . ., Pn−1 et P1, . . ., Pn quand t parcourt[0, 1]. Alors, pour tout t dans [0, 1], le point M(t), barycentre de (P (t), 1 − t) et (Q(t), t) est aussi le barycentre de
(P0, B0,n(t)), . . . , (Pn, Bn,n(t));
autrement dit : le barycentre M(t) de (P (t), 1 − t), (Q(t), t) parcourt la courbe de Bézier Γ pilotée par les points P0, . . . , Pnquand t parcourt[0, 1].
Dv
•Démonstration —Comme M(t) est le barycentre de (P (t), 1 − t), (Q(t), t), on a : (1 − t)# »
M(t)P (t) + tM# »(t)Q(t) = #»0 .
On en déduit : # »
OM(t) = (1 − t)OP# »(t) + tOQ# »(t).
de courbes de Bézier. On obtient : # » OM(t) = (1 − t) nX−1 i=0 Bi,n−1(t) # » OPi+ nX−1 j=0 Bj,n−1(t) # » OPj+1 = (1 − t) nX−1 k=0 (n − 1)! k!(n − 1 − k)!(1 − t) n−1−kOP# » i + t n X k=1 (n − 1)! (k − 1)!(n − 1 − (k − 1))!tk−1(1 − t)n−1−(k−1) # » OPk = n−1 X k=0 n − 1 k tk(1 − t)n−kOP# »k+ n X k=1 n − 1 k− 1 tk(1 − t)n−kOP# »k = (1 − t)nOP# » 0+ n−1 X k=1 [n− 1 k +n− 1 k− 1 ]tk(1 − t)n−kOP# » k ! + tnOP# » n. Comme n k = n−1 k + n−1 k−1
, on en déduit le théorème la dernière expression obtenue pour # »
OM(t). •
Le théorème62.12permet de fabriquer de proche en proche, pour chaque valeur t dans[0, 1], le point correspondant de la courbe de Bézier pilotée par P0, P1, . . ., Pn. Par exemple, pour t= 1/2, on obtient la figure62.3.
P0
P1 P2
P3
M(1/2)
FIGURE62.3 – Construction de la courbe de Bézier par barycentres successifs
En effet, lorsque t= 1/2, 1−t = 1/2, et les barycentres successifs correspondent aux milieux. On remarque sur ce dessin que la tangente à la courbe de Bézier au point M(1/2) est (P (1/2)Q(1/2)). Ce phénomène n’est pas dû au hasard et résulte du théorème suivant :
Théorème 62.13 Avec les notations du théorème précédent, on a : d
dt # »
OM(t) = nP# »(t)Q(t).
Donc, pour tout t dans[0, 1] tel que P (t) 6= Q(t), la droite (P(t)Q(t)) est tangente à la courbe de BézierΓ au point M(t).
62.4 Construction d’une courbe de Bézier sur GeoGebra 15
•Démonstration —En écrivantOM# »(t) = Pnk=0 kntk(1 − t)n−kOP# »k, on obtient : d dt # » OM(t) = n X k=0 n k (ktk−1(1 − t)n−k− (n − k)tk(1 − t)n−1−k)OP# » k = n X k=1 k n k tk−1(1 − t)n−kOP# »kt− nX−1 k=0 (n − k)nktk(1 − t)n−1−kOP# »k = n X k=1 n n − 1 k− 1 tk−1(1 − t)n−1−(k−1)OP# » k− nX−1 k=0 n n − 1 k tk(1 − t)n−1−kOP# » k = n−1 X j=0 n n− 1 j tj(1 − t)n−1−jOP# »j+1− nX−1 k=0 n n− 1 k tk(1 − t)n−1−kOP# »k = nOQ# »(t) − nOP# »(t) = nP# »(t)Q(t). •
62.4
Construction d’une courbe de Bézier sur GeoGebra
On veut construire sur GeoGebra la courbe de Bézier pilotée, par exemple, par quatre points : A, B, C et D.
1. Tout d’abord, on place les points A, B, C et D sur le repère avec l’outil « Nouveau point ». 2. Ensuite, on crée un curseur de variable t qui prend les valeurs de0 à 1 par incrément de ε (où
0 < ε < 1).
3. On tape les coordonnées du point M qui va nous décrire la courbe de Bézier pilotée par les points A, B, C et D :
((1 - t)^3*x(A) + 3*(1 - t)^2*t*x(B) + 3*(1 - t)*t^2*x(C) + t^3*x(D), (1- t)^3*y(A) + 3*(1 - t)^2*t*y(B)
+ 3*(1 - t)*t^2*y(C) + t^3*y(D)) 4. On peut faire bouger le curseur t pour voir comment se déplace M dans l’enveloppe connexe
décrite par les points A, B, C et D.
5. En cliquant droit sur le point M, on peut activer l’option « Trace activée » pour obtenir une courbe qui est, donc, la courbe de Bézier pilotée par les points A, B, C et D. En cliquant droit sur le curseur t, on peut activer l’option « Animer » pour que le point M bouge automatique-ment.
6. Plus ε est petit, plus le tracé est « continu ».
62.5
Des exercices type BTS
Exercice 62.14 Calculer et représenter la courbe de Bézier dont les points de contrôle sont les suivants :
1. P0(−1, 0), P1(0, 1) et P2(1, 0). 2. P0(−1, 0), P1(0, 3) et P2(1, 0). 3. P0(0, 0), P1(2, 1) et P3(0, 1).
FIGURE62.4 – Exemple d’une courbe de Bézier pilotée par quatre points construite sous GeoGebra
Exercice 62.15 Soit le plan rapporté à un repère orthogonal(O, #»ı, #»), les unités étant k#»ık = 2 cm et k#»k = 1 cm. On considère les points
A0 = O(0, 0), A1 = (0, −4), A2(1, 1) et A3(2, 5).
1. Montrer que la représentation paramétrique de la courbe de Bézier associée aux points A0,
A1, A2, A3est : (
x(t) = −t3+ 3t2
y(t) = −10t3+ 27t2− 12t , t∈ [0, 1].
2. (a) Déterminer les variations des fonctions x et y. On dressera le tableau de variations conjointes de x et y. Les calculs seront données à10−1 près.
(b) Préciser les points où la courbe admet une tangente parallèle à l’un des axes de coordon-nées.
(c) Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point A3.
3. Déterminer, à10−1près, l’abscisse du point d’intersection, autre que O, de la courbe de Bézier, avec l’axe des abscisses.
4. Tracer dans le repère(O, #»ı, #») la courbe de Bézier ainsi étudiée.
Exercice 62.16 Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O, #»ı, #»). On prendra pour unité graphique deux centimètres.
On considère dans ce repère les points A(4, 10), B(2, 5), M(3, 10) et N(2, 9).
L’objectif du problème est de relier les points O et A à l’aide de deux courbes de Bézier C1et C2 qui se raccordent en B.
— C1est la courbe de Bézier définie à partir des points de contrôle A, M, N et B.
— C2 est une coubre de Bézier reliant O et B, ayant en B une tangente parallèle à l’axe des ordonnées et en O une tangente qui a pour équation y = x.
62.5 Des exercices type BTS 17
(b) Justifier que les courbes C1et C2qui satisfont aux conditions données admettent la même tangente en B.
2. Tracé de C1
(a) On considère la courbe définie paramétriquement pour t dans[0, 1] par :
(
x(t) = t3− 3t + 4 y(t) = −2t3− 3t2+ 10
Étudier les variations des deux fonctions définies sur[0, 1] par x(t) et y(t).
(b) Montrer que la courbe ainsi définie passe par les points A et B et préciser les tangentes en ces points.
On admettra (on ne demande pas de faire les calculs) que la courbe considérée est la courbe de Bézier associée aux points de contrôle A, M, N, B.
(c) Tracer C1. La représentation graphique sera la plus précise possible.
3. Tracé de C2C2 satisfait aux conditions données en introduction et définie par trois points de contrôle O, T et B.
(a) Caractériser géométriquement le point T . Déterminer les coordonnées de ce point. (b) Construire géométriquement les points M1 et M2 de C2 qui correspondent aux valeurs 14
et 12 du paramètre. (c) Donner l’allure de C2.
Exercice 62.17 nétant un entier et i un entier inférieur ou égal à n, on appelle fonctions polynômes de Bernstein de degré n, les fonctions Bi,ndéfinies sur[0, 1] par :
Bi,n= n i ! ti(1 − t)n−i où n i
désigne le coefficient binomial n! i!(n−i)!.
1. (a) Donner les expressions Bi,n(t) lorsque n = 4 sous forme de produit de polynômes du premier degré, puis sous forme développée et ordonnée.
(b) Résoudre chacune des équations Bi,4(t) = 0 pour 0 ≤ i ≤ 4.
2. Dans le plan rapport à un repère orthonormal(O, #»ı, #»), on considère les points de contrôle : P0(3, 0), P1(0, 1), P2(−1, 0), P3(0, −1) et P4(3, 0)
et la courbe C, l’ensemble des points M(x, y) tels que : # » OM(t)(t) = i=4 X i=0 Bi,4(t)OP# »i, tétant une variable réelle de l’intervalle[0, 1].
(a) Soit les fonctions f et g définies sur l’intervalle[0, 1] par :
(
f(t) = 12t2− 12t + 3 g(t) = 8t3− 12t2+ 4t . Vérifier qu’une représentation paramétrique de C est :
(
x= f(t) y= g(t) .
(b) Étudier les variations des fonctions f et g pour t appartenant à l’intervalle[0, 1], et résumer les études des fonctions f et g dans un tableau commun.
(c) Montrer que les vecteurs P# »0P1 et P# »3P4 sont des vecteurs directeurs des tangentes à la courbe C respectivement aux points de la courbe C correspondant aux valeurs 0 et 1 du paramètre t.
3. Construire la courbe C dans le repère (O, #»ı, #»). On précisera les points où la tangente est parallèle à un axe de repère.
Exercice 62.18 — Courbe de Bézier et équations différentielles. Le plan est muni d’un repère or-thonormé. On prendra pour unité graphique 4 cm. La figure sera complétée au fur et à mesure des questions posées.
L’équation différentielle :
y0+ 1
5 − xy = 5 − x2√x
admet pour solution sur l’intervalle[0, 5; 4, 5] une fonction f qui vérifie f(1) = 4 et f(4) = 2. On ne demande pas de justifier.
Partie I
1. En utilisant l’équation différentielle, calculer f0(1) et f0(4).
Montrer que les tangentes à la courbe représentative de f aux points A d’abscisse 1 et B d’abscisse4 ont pour équations respectives :
y = x + 3 et y = −7 4x+ 9. Placer les points A et B et tracer les tangentes correspondantes.
2. On veut approximer l’arc de courbe(γ) de la courbe représentative de f dont les abscisses sont comprises entre1 et 4 par une courbe de Bézier ayant en A et B les mêmes tangentes que la courbe(γ).
(a) La courbe de Bézier est définie par trois points de contrôle A, C et B. Construire le point C sur la figure.
Déterminer par le calcul les coordonnées exactes du point de contrôle C.
(b) On décide de définir la courbe de Bézier par 4 points de contrôle A(1, 4), M1(2, 5),
M2(3, α), B(4, 2).
Démontrer que les points A, M1 et C sont alignés.
62.5 Des exercices type BTS 19
Partie II
Pour des raisons techniques, on modifie un point de contrôle et on choisit les quatre points de contrôle suivants :
A0(1, 4), A1(2, 5), A2 =3,72 et A3(4, 2).
La courbe de Bézier(Γ) associée est formée des points M(t) définis pour t dans [0, 1] par : # » OM(t) = 3 X k=0 3 k ! tk(1 − t)3−kOA# »k.
On admet que les coordonnées(x(t), y(t)) d’un point M(t) de la courbe (Γ) sont :
(
x(t) = 3t + 1
y(t) = 52t3−152 t2+ 3t + 4 On ne demande pas de faire les calculs.
1. Calculer x0(t) et y0(t) pour t dans [0, 1].
2. Calculer les coordonnées du point E de la courbe(Γ) correspondant à la valeur1
2 du paramètre et le coefficient directeur de la tangente à la courbe(Γ) en ce point.
3. Déterminer les coordonnées du point F de la courbe (Γ) où la tangente a pour coefficient directeur0,1. Placer le point F et la tangente à (Γ) en F sur la figure.
4. Donner l’allure de la courbe(Γ) approximant l’arc de courbe (γ).
Bibliographie
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