Simulation tridimensionnelle du remplissage de corps minces par injection

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Simulation tridimensionnelle du remplissage de corps

minces par injection

Erwan Bigot

To cite this version:

Erwan Bigot.

Simulation tridimensionnelle du remplissage de corps minces par injection.

Mé-canique [physics.med-ph]. École Nationale Supérieure des Mines de Paris, 2001. Français. �NNT :

2002ENMP1073�. �tel-00275305�

présentée à

L'ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DES MINES DE PARIS

par

Erwan Bigot

pour l'obtention du titre de

DOCTEUR

en

SCIENCES ET GÉNIE DES MATÉRIAUX

Simulation tridimensionnelle du remplissage de corps minces par injection

M. Jean-François Agassant ... Président M. Francisco Chinesta ... Rapporteur M. Frédéric Hecht ... Rapporteur M. Éloi Crouan ... Examinateur M. Richard Ducloux ... Examinateur

Ce travail aété eectuéau Centrede Mise en Forme des Matériaux (CEMEF)de l'École Nationale Supérieure desMines de Paris, à SophiaAntipolis, dansle groupe de recherche Écoulements Visco-Élastiques (EVE). Je remercie Monsieur Jacques Lévy, Directeur de l'ÉcoledesMinesde Paris,ainsiquelaDirectionduCEMEF dem'avoirpermisderéaliser mathèse ausein de ce laboratoire.

JeremercieégalementJeanFrançoisAgassantpourm'avoiraccueillidanssongroupe de recherche, pour avoir suivi mon travail avec intérêt et pour le soutien et la conance qu'il m'a accordés durant ces années. Qu'il soit aussi remercié d'avoir tenté de me sortir de monignorancecrasse en m'inculquant quelques rudimentssur lemonde envoûtant des polymères et,enn, dem'avoir faitl'honneurde présider monjuryde thèse.

Je remercie chaleureusement MessieursFrédéricHechtetFrancisco Chinestad'avoir accepté dejuger montravailen tant querapporteurs.

Cette thèse n'aurait pu exister sans la participation nancière et technique de la société RENAULT. Je remercie tout particulièrement Monsieur Pierre Lory pour avoir initié cette étude et pour m'avoir accordé sa conance aussi bien durant ma thèse qu'à sontermeen m'accueillant danssongroupe de recherche. Je remercie également Madame Cécile Hoareau et MonsieurÉloi Crouan pour avoir suivi le déroulement de mes travaux ainsi que pour leurs remarques et leurs critiques très constructives. Je remercie M. Éloi Crouan d'avoir acceptéde participeràmonjury dethèse.

Je tiens à exprimer une profonde reconnaissance à monDirecteur de thèse Thierry Coupez. Ce fut une grande chance de pouvoir accomplir cette thèse sous sa direction. Il m'aoertunevisiontrèsmotivantedel'analysenumériqueetducalculscientiqueparune connaissanceétenduedecessciencesetparunecapacitérareàlesappliquerdefaçonaussi originale que pertinente pour traiter une grande variété de problématiques industrielles. Il me resterait encore beaucoupà apprendre à ses côtés mais c'est déjà une grandeerté pour moi d'avoir pueectuer ce travaildanssonéquipe.

Je souhaite exprimer ma gratitude à Hugues que j'associe pleinement à ce tra-vail:pour sonlangage concis,précisetsyntaxiquement parfait lorsqu'ilestcompris entre main(argc,argv){et},poursesidéeslumineuses,sondévouementinsenséderrièreun ob-jetvirtuelouuneéquationrébarbative.Pour sabonne humeurquotidienne etinébranlable etsoncoup devolant incisifcommeune carre cisaillant un grand champ de poudreuse...

J'exprime également toutemasympathieauxpersonnesqui,par leurbonne humeur etleur gentillesse,ont rendulavie aulaboratoireetlespauses caféencore plusagréables: mes compagnons de tablée Serge et Carole, mais également Karim, Arnaud, Philippe, Jérôme, Olivier, Michaëla, David, Estelle, Serge, Julien, Mike, Sabine ettous ceux queje n'ai pascités...

Ces remerciements ne sauraient être complets sans penser à tous ceux grâce à qui cette thèse m'a apporté plus qu'un enrichissement scientique : Jojo, Hervé, Élisabeth & Gillou, Éric, Fabrice & Fabrice, Cathy & Jérôme, P-O & Nathalie , Gaëlle, Étienne, Anne-Sophie, Robert&Béa, Sébastien,les Coyottes ...

Je remercie enn etsurtout Marianne pour sonsoutien et le bonheurqu'elle m'ap-porteetmesparentsquim'ontdonnél'immensechancederéalisercesétudes.Jeleurdédie

Introduction générale i

1 La simulation du procédéd'injection des thermoplastiques 1

1.1 Le procédé d'injection . . . 3

1.2 Lamodélisationduprocédé d'injection . . . 5

1.3 Lasimulation duprocédéd'injection . . . 7

1.4 Algorithmesde résolution . . . 15

1.5 Couplage2D/3D . . . 18

1.6 Démarche adoptéeetprincipes retenus . . . 22

Bibliographie . . . 23

2 Maillage anisotrope et estimation d'erreur 27 2.1 Introduction . . . 29

2.2 Génération demaillages . . . 30

2.3 Métriquenaturelle . . . 49

2.4 Estimationd'erreur . . . 52

2.5 Estimationd'erreur a posteriori Problèmede Stokes . . . 54

2.6 Écoulement de Poiseuille entreplaques parallèles . . . 58

2.7 Adaptation demaillage- Calculs d'extrusion. . . 62

2.8 Perspectives . . . 71

2.9 Application àla simulation duremplissage 3D . . . 71

Bibliographie . . . 73 3 R-adaptation 77 3.1 Introduction . . . 79 3.2 Revuebibliographique . . . 79 3.3 Le problèmestatique . . . 85 3.4 Le problèmedynamique . . . 96 3.5 Conclusion. . . 107

4 Applications 115

4.1 Comparaisons expérience/simulation . . . 117

4.2 Calculs multi-uides . . . 120

4.3 Injection de piècesminces . . . 124

Bibliographie . . . 136

Beaucoup de phénomènes physiques peuvent être modélisés mathématiquement via deséquationsdiérentiellesexprimantgénéralementdesloisdeconservation, de comporte-mentetautresprincipesphysiquesconnus.Onnepeut,leplussouvent,trouverunesolution exacteàces problèmesauxéquations diérentielles. Oncherche alors dessolutions appro-chées comme celles issues des méthodes de discrétisations propres à l'analyse numérique (méthodes desdiérences nies, des éléments nis ou des volumes nis).Cette méthodo-logie est àl'origine du développement important de lasimulation numérique depuis la n desannées soixante.

L'essor des calculs tridimensionnels

Pendant plus de trente ans, les outils de simulation basés sur ces méthodes de dis-crétisation étaient restreints à des calculs bidimensionnels en espace. Puis les calculs tri-dimensionnels sont peu àpeu apparuspour, aujourd'hui, devenir parfoisincontournables. Cette chronologie est la conséquence logique de l'amélioration des méthodes numériques d'une part et de l'extraordinaire augmentation de la puissance de calcul des ordina-teursd'autre part.Parallèlement,laculturescientiqueliée àl'utilisationdecesnouveaux outilsde calculs'estenrichiepetit à petit.Lesutilisateurs, qu'ilsappartiennent au monde scientique ou industriel, savent aujourd'hui en tirer pleinement prot et extraire toute informationpertinented'unrésultatdesimulation.Ilsparticipentdecefaitàleur dévelop-pementencréantunedemandepouraugmenterleréalismedessimulations.Pour répondre àcettedemandeilafalluleplussouvent passerd'un cadrebidimensionnel àuneapproche complétement tridimensionnelle. Aujourd'huicette demande est assez largement couverte puisqu'il existede nombreux logiciels de simulation quicouvrent un large spectre d'appli-cations(calculdestructures,demécanique desuidesoudemiseenformedesmatériaux). Mais, en dépit de lacroissance exponentielle de lapuissance des moyens de calcul, lamaîtriseducoûtdecalculnécessairepour réaliserunesimulation reste unenjeu majeur pour l'ingénieur. C'estdanscecontextedelamaîtrisedescoûtsdecalculsques'inscrivent mes travaux de thèse et plus particulièrement dans lecadre des calculs sur desdomaines aux grands rapports de forme ou la simulation de phénomènes caractérisés par une forte

minces

La principale application à laquelle se destine notre travail est la simulation du procédé d'injection des thermoplastiques. Le moulage par injection des polymères est un procédé de mise en forme cyclique permettant la production en grandes séries de pièces complexesauxtolérancesdimensionnelles strictes.Ceprocédéestl'undesmodesde trans-formationmajeursdel'industrieplasturgiqueavecl'extrusion(productiondecâbles,tubes, prolés, lms, ...) et lesouage de gaine (sacs, lms,...). Il permetla production d'une grandevariétédepiècesquipeuplentnotreuniversquotidien:égoutoiràvaisselle,mobilier dejardin,chaussuredeskis,jouetsouencorepiècesautomobiles(carosserieoumécanique). Cetteénumération metenévidence unecaractéristique commune à cesobjets:il s'agitde géométries de type coque mince. Ceci a naturellement conduit au développement de codes de simulation bidimensionnels pour modéliser la production de ces pièces. Nous le verrons plus loin, ces codes sont aujourd'hui massivement utilisés. Néanmoins cette ap-proche ne demeure qu'une approximation d'un procédé qui est caractérisé par des eets tridimensionnels. Tout d'abord, lesgéométries peuvent présenter localement deszones vo-lumiques (patte de xation sur un pare-chocs automobile par exemple) susceptibles de perturbernotablement l'écoulement. Deplus, lors de la phase de remplissage, la matière subitunehistoirethermo-mécaniquecomplexe:lerefroidissementimposéparlesparoisdu moule inuel'écoulement de façon importante.Il convient donc depouvoirrendre compte susamment précisément du champ de température dans l'épaisseur de la pièce. Enn, pendant cette même phasede remplissage, lefront de matière qui balaye l'ensemble dela cavité est alimenté en matière par l'eet fontaine qui est un phénomène intrinséquement volumique.

Touscesargumentsont conduitune partgrandissantede lacommnautéscientique intéressée par le sujet à développer des outils de simulation tridimensionnels. La qualité des résultats obtenus fait qu'aujourd'hui ces approches connaîssent un essor rapide dans le secteurindustriel, essorfacilité par l'augmentation de production de piècesvolumiques par injection.

Néanmoins,lamajeurepartiedelaproductiondepiècesinjectéesreste constituéede piècesminces.Ilestdoncparunaturelàunepartiedecettecommunautéscientiquede dé-velopperunesolutionlogiciellequiassocieunemodélisationbidimensionnelledansleszones mincesetunemodélisationtridimensionnelledansleszonesvolumiquesouauvoisinnagede singularités de l'écoulement. Notre démarche, bienquemotivée parles mêmesraisons, est légérement diérente puisquenousnousproposons d'adopterune résolutioncomplètement tridimensionnelle du problème avec la contrainte de ramener les coûts de calcul dans les partiesmincesaumême ordredecoûtquecelui d'uncalcul2D.Commenousleverrons,le principal outil quenousutiliserons pour celaseral'utilisation demaillages anisotropes.La notion demaillageanisotrope seraici associée àuneétudesurl'estimation d'erreur, étude nécessairepourdémontreretcontrôlernotreapproche.Puis nousexposeronsunenouvelle méthoded'adaptationdemaillagedédiéeàl'améliorationdelaprécisionducalculauniveau deszonessingulièresquesontlefrontdematièreetleszonesdecontact(matière/matièreet matière/moule). Cetteméthode devra pouvoir traiter indiéremment les zones minces ou épaisses etdoitparticiperàl'amélioration durapportcoût/précisiondecalcul.Enn,nous conclurons notreétude par uncertainnombre d'applications académiquesou industrielles démontrant les avantagesprocurés par notreapproche.

1.1 Leprocédé d'injection. . . 3

1.1.1 L'injectionclassique . . . 3

1.1.2 Injectionassistéegaz . . . 4

1.2 Lamodélisationdu procédé d'injection . . . 5

1.3 Lasimulationdu procédé d'injection. . . 7

1.3.1 Approche1;5D . . . 7

1.3.2 Lesmodèlesbidimensionnels . . . 8

a) Lesmodèles2Dcouchemince . . . 8

b) Lesmodèlesbidimensionnelsdansl'épaisseur . . . 9

1.3.3 L'approchevolumique . . . 9

1.4 Algorithmesde résolution . . . 15

1.4.1 Algorithmed'Uzawa . . . 15

1.4.2 Méthodesitérativesderésiduminimal . . . 16

1.4.3 Conclusion . . . 18

1.5 Couplage2D/3D . . . 18

1.5.1 Étudebibliographique-Étatdel'art . . . 18

1.5.2 Commentaires . . . 21

Leprocédéd'injectiondesthermoplastiquespermetdeproduiredespiècesauxformes complexesàdescadencesélevéestoutenrespectantdestolérencesgéométriquesstrictes.La bonnecapacitédeceprocédédetransformationàlaproductiondemasseesttrèsattrayante etl'aammenéàétendresesdomainesd'applicationsinitiaux.Ainsidenombreusesvariantes sesont développées dont les plus connues sont l'injection multi-uides, l'injection assistée gaz oul'injection compression.

1.1.1 L'injection classique

Le moulagepar injectionestunprocédéde miseenforme cycliquequisedécompose en 4phases (g.1.1) :

 laplastication;  leremplissage;  lecompactage;  lerefroidissement.

Fig. 1.1 Description duprocédéd'injection (tiré de [Agassant etal.96]).

Lors de la phase de plastication, le polymère introduit dans la presse sous forme de granulés estpeuà peufondu etconvoyé vers latêtede lavis. L'énergie nécessaireà la plastication estobtenue à lafoispar l'action mécanique du cisaillement desgranulés par laviset par l'apport thermiquedu fourreau de visqui est maintenu à hautetempérature (de200

o

C à300 o

Lepolymèrefonduestdoncacheminéentêtedevisoùiloccupeunvolumecrééparle reculprogressifde lavis.Une foisquecevolumeatteintlavaleurnécessaireauremplissage dumouled'injection,lavisarrêtesonreculetavanceàvitesseconstante(etélevée).Sousla fortepression résultante,lepolymère fonduestchasséedusystèmevis/fourreauetremplit laou les empreintes dumoule. C'estlaphasede remplissage.

Suite au rapide remplissage de l'empreinte, le systèmede refroidissement du moule régulé à basse température (de 20

o

C à 30 o

C) va permettre de ger la pièce thermoplas-tique. Cechangement de phases'accompagne d'une variation de volume de lapièce.Pour compenser d'éventuels retraits géométriques et des variations de densité volumique, on maintient uneforte pressiond'injection pour compacter lamatière.

Lorsquelesseuilsd'injectionquifontlajonctionentrelemouleetlesystème vis/four-reauonteux-mêmesgés,lesdeuxsousensembles delapresseàinjectersontdésolidarisés et lapièce est éjectée du moule. Le refroidissement complet de lapièce produite sefait à l'air libre.

Cetteprésentationsuccinteduprocédénepermetpasderendrecomptedesdicultés certaines quiexistent danslamiseaupoint ducyclecompletd'injection.Lelecteurpourra d'ailleurs s'en convaincre en parcourant l'abondante bibliographie consacrée à ce procédé ( [Agassantet al.96]et[Trotignon etal.96]). Onremarqueratoutefois qu'ilest caractérisé parunehistoirethermomécaniquecomplexeavecd'importantesvariationsdetempératures, defortscisaillementsetdefortespressions.Enparticulier,lesvariationsdevolumeobtenues lors du refroidissement constituent une diculté technique pour obtenir des pièces qui respectent une géométrie souhaitée. C'est pour cette raison que la production de pièces injectées est principalement constituée de pièces minces dont le refroidissement est plus homogène et plus facilement contrôlable. Un outil de simulation utile à un utilisateur de presseàinjecterouàunconcepteurdemoulesdoitdoncpermettredetraitercesgéométries minces pour les aiderà dénir lebon jeu deparamètres ducycled'injection.

Nonobstant cette limitation, diverses variantes de ce procédé ont vu le jour. L'in-jectionmulti-matières (ouco-injection)permetd'injecterséquentiellement deuxmatériaux danslemêmemouleetainsiconjuguer leurscaractéristiques(unpourlatenuemécanique, l'autrepourl'aspectpar exemple).L'injection compressionconsisteàinjecterunecertaine quantitédepolymèrefonduaufonddumouleentrouvertetàterminerleremplissagede l'empreinteenfermantlemoule.Cettetechnologiepeutpermettredeminimiserlatailledu système vis-fourreauetore despossibilitésparticulières pour l'orientation de bresdans lecasdepolymèreschargés.Enn,l'injectionassistéegaz permetde limiterlesretraitsliés au refroidissement dansles zonesvolumiques.

1.1.2 Injection assistée gaz

Nous ne présenterons ici ce procédé que succinctement et de façon imagée. Pour une descriptionplus détailléedu procédé et de sasimulation, on pourra se référerà [Da-boussy00].

L'injection assistéegaz peutsedécomposeren deuxétapes:dansunpremier temps le polymère fondu est injecté de façon classique dans la cavité du moule. Cette phase de remplissage eststopée avant quele polymère n'occupe toutela cavité. Puis un gaz est injectésouspression(leplussouventparlemêmeseuild'injectionquelepolymère,g.1.2) pour terminerle remplissage.Cettetechnique permetàlafoisde diminuer les retraitsliés auréfroidissementdupolymère(etprincipalementdansleszonesvolumiques,nervures,...)

etnécessiteunepresseàinjectermoinspuissante (lecompactageestobtenupar l'injection de gaz).

(a)Phased'injectiondugaz. (b)Exempledepressepourl'injection assis-téegaz.

Fig. 1.2 Descriptionde l'injectionassistée gaz (tiré de[Trotignon et al.96]).

Par nature, le gaz va occuper les zones les plus épaisses qui n'ont pas eu le temps de sesolidier.Les interfacesentrelegaz etlepolymère sont caractériséespar desformes volumiques complexes. Nous verrons plus loin dans cette étude comment notre méthode d'adaptation demaillage peutaméliorerla localisationde cesinterfaces.

1.2 La modélisation du procédé d'injection

Un polymère fondu est assimilable à un milieu continu, aussi sonécoulement dans unmouleestrégipar lesprincipesfondamentaux delamécaniquedesmilieuxcontinus.La matière injectéedoitdonc vérier:

 laconservationde lamasse;

 laconservationde laquantité de mouvement;  laconservationd'énergie.

Ces principessetraduisent mathématiquement, respectivement, par:

l'équation decontinuité :

@ @t

+r:(~v)=0 ; (1.1)

l'équation del'équilibre dynamique:  d~v dt

r:= ~

f ; (1.2)

l'équation deconservation de l'énergie :  de dt

= r:~q+!:_ (1.3)

où  désigne lamasse volumique, ~v lavitesse d'une particule matérielle,  letenseur des contraintes,

~

uxde chaleur et!_ l'apportd'énergie pardissipation visqueuse 1

.

Le système (1.1)-(1.2) estfermé par larelation constitutive entre contraintes et dé-formations donnée parlaloi de comportement :

 =s pI (1.4)

avec :

s=2( j"(~v)j)"(~v) (1.5) où  représente laviscositédu uide, "(~v) letenseur desvitesses dedéformation :

"(~v)= 1 2  r~v+ T r~v  (1.6)

etj"(~v) jest letaux decisaillement généralisé:j "(~v) j= v u u t 2 3 X i;j=1 " 2 ij (~v).

La grande majorité de la communauté scientique attachée à l'étude de l'injection des polymèressimplie ce problèmeen s'appuyant surlesdeux hypothèses suivantes:

 lepolymère fondupeutêtre considérécomme un matériauincompressible;  les forces extérieures (forces de masse et d'inertie) sont négligeables devant les

forces intérieures (forcesvisqueuses).

Ce dernier point est tout a fait acceptable au regard des ordres de grandeurs des valeurscaractéristiques duprocédéd'injection :

Unité Ordre de grandeur Géométrie Longueur [m] 0,1-1 Largeur [m] 0,1-1 Épaisseur [m] 0,001-0,01 Matériau Densité [kg/m 3 ] 1000 Viscosité [Pas] 100-1000 Variables Vitesses [m/s] 0,1-1 Pression [N/m 2 ] 10 7 -10 8

Cependant,siceshypothèsessontlicitesdanslecadredelaphasede remplissagedu procédé d'injection, elles peuvent ne plus l'être dèsque l'on s'intéresse à des applications plus complexesou quel'on souhaiteprendre encompte desphénomènes plusns. Ainsi:

 l'introduction de la compressibilité permetde mieux rendre compte de la n du remplissage et de faciliter l'enchaînement avec la phase de compactage. D'autre part, certaines applications de l'injection, telles leprocédé MIM(Metal Injection Molding), font intervenir desmatériauxdontlacaractéristique compressible n'est pasnégligeable.

 les forces d'inertie peuvent localement avoir une incidencesurl'écoulement (cf. [Magnin94]p.156-174).

1

Leseetsthermiquesinuencentnotablementleprocédéd'injection(voir[Yokoietal.92]).Notreétude ne traite pas de la résolution dece problème mêmesi la plupart des applications que nous exposerons tiennent compte des eets thermiques. Sur ce sujet du couplage thermo-mécanique pour l'injection on pourraseréférerà[Coupezetal.98]).

Nous ferons abstraction de ces deux remarques en n'étudiant que la phase de rem-plissageduprocédéd'injection etensupposant nepasavoird'eetlocalde l'inertie.Donc l'ons'entient auxhypothèsesdécritesplushaut,leséquationsdeconservationdelamasse etd'équilibre seréécrivent :

r:=0 (1.7)

r:~v=0 (1.8)

Notons le domaine matériel contenant le polymère fondu.Sil'on remplace  par son expression dans le système (1.8)-(1.7), on montre que le problème d'écoulement à résoudreseramène à unproblème deStokes généralisé :

trouver~v(x;t) etp(x;t) tels que 8(x;t)2[t o ;t]  r:(2(j"(~v)j)" (~v)) rp = 0 r:~v = 0 (1.9)

avec comme conditions auxlimites:  sur

in

vitesseetpressionsontimposées:~v=~v d (x)(pourlavitesse),~v (~v
~n)~n= ~ 0et ( ~n)
~n= p d (pour lapression),  sur pa

on imposeuncontact collant :~v= ~ 0. où in et pa

désignent respectivement les morceaux de frontière du domaine correspon-dant àla(es)zone(s)d'injectionetàlazonedecontactaveclesparoisdumouled'injection (avec

in S

pa

=@), et~ndésigne lanormalesortante au point frontière considéré.

Remarque : pour être tout à fait exact, il faut rajouter une condition de surface libre dans les conditions aux limites :  ~n = 0 sur

l ibre (avec @ = in S pa S l ibre ). Cette surface libre est l'interface entre la partie remplie du moule d'injection et le vide en avant decette partie remplie. Dansle casd'uneapproche eulérienne, [Coupezet al.98] montrent quel'onpeutfairedisparaîtrelaconditionde surface libreen étendant les équa-tionsdeStokesàlapartievideellemême (oùserontimposées unevitesseetunepression nulles). Cecipermetde seramenerà larésolutiond'unproblèmede Stokesconné, c'est à dire à des conditions aux limites sur lavitesse uniquement (condition aux limites type Dirichlet). Le problèmeainsiécritest bienposéet plusfacileà résoudre.

Le système(1.9) dénitdonclamodélisationmathématiquecommunément employée pour traiterleproblèmeduremplissagedespolymèresfondus.Voyonsmaintenantles prin-cipalesméthodesnumériquesqui ont étédéveloppées pour résoudrece problème.

1.3 La simulation du procédé d'injection

1.3.1 Approche 1;5D

Les premières simulations ont été développées sur une modélisation plus simpliée quecellequenousproposons.S'appuyant surlefaitqueles géométriesdesmoules d'injec-tionprésententdefaiblesépaisseursparrapportauxautresdimensionsetquecesépaisseurs présententde faiblesvariations,ilestpossibled'appliquerles approximationsde la lubri-cation hydrodynamique. Ces approximations (cinématiques) consistent à supposer queles termes d'élongation sont petits devant les termes de cisaillement et que la pression est

uniforme dans l'épaisseur de l'écoulement. L'approche 1;5D consiste à choisir le repère (O;x;y;z;) tel que l'axe (Oz) caractérise l'épaisseur et à supposer que l'écoulement est unidirectionnel(suivant l'axe(Ox)par exemple), lesystème(1.9) seréduit alors à :

dp dx = d 2 u dz 2 ; (1.10)

danslecasd'unuidenewtonien.Cetteéquationpeutêtresimplement résoluedanslecas degéométriessimplesdontleremplissageestcaractériséparunécoulementunidirectionnel (disque,plaquesparallèles,cône,...).Pourpouvoirprédireleremplissagedegéométriesplus complexesavecl'approche1;5D,ondécomposelagéométriecomplexeenunréseaude sous-géométries élémentaires. Le calculest donc eectué sur chaque géométrie élémentaire, la pression est transmiseentrechacunedes géométriesetla répartitiondu débitest calculée à chaquebifurcation etàchaque pasdetemps.

L'avantagedecetteméthodeestd'êtreextrêmementéconomiqueencoûtcalcul.Mais la mise à plat de la géométrie du moule en un réseau de géométries élémentaires est un travaillongetdélicat.Enoutre,lanonunicitédecettedécomposition nécessiteunebonne connaîssance du procédéde lapartde l'utilisateur.

1.3.2 Les modèles bidimensionnels a) Les modèles 2D couche mince

Les modèles 2D couche mince, aussi appelés modèles 2;5D ou modèles de Hele-Shaw, ont été développé pour généraliser les méthodes 1;5D. Ces modèles reprennent les approximations de la lubrication hydrodynamique et les appliquent à des écoulement bidimensionnels. Ainsi,dansle casd'unuidenewtonien, lesystème(1.9) peut seréduire (après intégration) à l'équationde Hele-Shaw :

r:(h 3

rp)=0 (1.11)

où h représente l'épaisseur de l'écoulement.

C'est sur cette modélisation que repose la grande majorité descodes de simulation du procédé d'injection actuels. Le champ de vitesse est obtenu à partir du champ de pression calculé par intégration (équation d'équilibre). Lesméthodes numériques utilisées pourrésoudrel'équationenpressiondansleplansontvariées(diérencesnies,volumesou éléments nis)etcelles retenuespar les acteursmajeurs dansce domaine sont susament performantes pour rendre compte délement de la physique du procédé. De nombreuses variantes ont été développées à partir de ce formalisme : calculs thermomécaniques et prise en compte de la viscosité des matériaux injectés permettent par exemple d'aner les résultats( [Brincat etal.99], [Zhengetal.99], [Tanguyetal.91]).Néanmoins, certaines limitationspersistent.Lapremièreestnaturellement lacontraintedeserestreindreauxcas qui ne mettent pas en défaut les approximations de la lubrication hydrodynamique. La seconde, pénalisante dans lecas d'une utilisation industrielle, est la diculté à choisir et dénir labre neutre (demi-épaisseur) surlaquelleonva eectuerlecalcul. Enn, ce type de simulation ne permet pasde représenter correctement l'écoulement au niveau du front de matière (ce qui peutêtre très pénalisant si l'on s'intéresse à des procédés particuliers tels que l'injection de polymères chargés en bres dont l'écoulement au front de matière détermine l'orientation desbres).

Des modèles dédiés à l'étude de l'écoulement danssonépaisseur ont été développés pour répondreàcette dernière limitation.

Fig.1.3Représentation duchampdevitessedansunécoulementdePoiseuilleetdansle repèredu laboratoire. Variationde l'orientation duchampde vitesseau frontde matière.

b) Les modèles bidimensionnels dans l'épaisseur

Lesdeuxdimensionsconsidéréessontladirectionprincipaledel'écoulementet l'épais-seur. L'objectif est de décrire plus précisément la cinématique au niveau des seuils, des nervures et plus particulièrement au front de matière, siège de l'eet fontaine (voir g. 1.3),eet caractéristique dumode de remplissage dela cavité d'injection.

Ces modèles reposent sur des hypothèses de symétries (dans des plans perpendi-culaires à la bre neutre) ou d'axisymétrie. Le système (1.9) est alors simplié suivant ces hypothèses et résolu par des méthodes de type volumes ou éléments nis ( [Ding et al.97], [Magnin94]). Les résultatsproduits apportent une connaîssance ne de la cinéma-tique de l'écoulement dans l'épaisseur et au front de matière. Cette connaîssance est im-portanteparexemple pour déterminerles vitessesdecristallisation desmatériauxinjectés ( [Vintimiglia99]) ou l'orientation desbresdanslecas d'injection depolymèreschargés.

Ces deux modélisations bidimensionnelles apportent donc des réponses de nature diérentes au concepteur de moules d'injection. Dans le contexte industriel actuel on est deplusen plussouvent amenéàprendreen comptecesdeuxproblématiques. Onsouhaite d'unepartconnaîtrelescénarioduremplissage(répartition desux,positiondeslignesde ressoudures,...)etcontrôlerd'autrepartl'écoulementautourdeszonessensibles(nervures, inserts) ainsi que les échanges thermiques. Enn rappelons que si ces approches sont le plussouventpeucoûteusesentempscalcul,lestemps deconceptionet demiseen données peuvent être importants (dénition de la bre neutre). Ainsi, une approche volumique traitantdirectementleséquations(1.9)peuts'avérerconcurrentiellepuisqu'ellepermet des'aranchirdetoutesleshypothèsesmentionnéesci-dessus:letempsdemiseendonnées peut être réduit et la solution pleinement 3D.Avec cette approche, l'essentiel des eorts doitporter surlamaîtrisedescoûts de calculs.

1.3.3 L'approche volumique

Dans lasuite de ce document, si l'écriture des formulations faibles continue et dis-crète s'applique au problème de Stokes généralisé, il està noterque les méthodesde

résolution numérique se rapportent au problème de Stokes (à viscosité constante). En eet, sicelui-ci n'est qu'un casparticulier duproblème non linéaire qu'est leproblème de Stokes généralisé,ilpeutêtreconsidérécomme problèmederéférencepourlechoix et l'étude desschémas numériques(ceux-ci s'étendant auproblème généraliséde façon  na-turelle , voir [Coupez96]). À titre d'information, on notera que [Baranger et al.90] ont étudié lecasd'écoulement deuides obéissant àlaloi puissance ouà laloide Carreau.

D'autrepart, nousnouslimiterons à ladescriptionde méthodeséléments nispour la résolution de ce problème. Cela ne signie nullement que ce sont les seules qui soient adaptées au problème de Stokes : la méthode des volumes nis est par exemple large-ment répandue car proche de la physique et permettant une implémentation simple de loisphysiquescomplexes. Elledevient cependant délicateàmanipuler dansdesgéométries complexes. D'autres méthodes tellequelaméthode desélémentsfrontières n'ont pas,à ce jour, atteint lepotentiel desméthodes élémentsnis (voirl'étude de [Khayat et al.95]qui utilise les éléments frontières sur des castridimensionnels de petites dimensions.) Maisla raison principale pour laquelle nous nous restreignons aux méthodes éléments nis tient à leur assise théorique qui nous sera utile pour dénir un estimateur d'erreur pour le problème de Stokes.

Plusprécisément,nousnousconcentreronssurlesméthodesélémentsnisdites mé-thodes mixtes ,c'est à dire où les champs de vitesse et de pression sont déterminés si-multanément. Comme le rappelle [Arnold90] dans un article qui traite des avantages et inconvénients desméthodesmixtespourles problèmeselliptiques, ilestaujourd'huiadmis que ces méthodes sont les plus appropriées pour traiter les problèmes de type Stokes. Mais, si du point de vue théorique leur supériorité est avérée, il n'en reste pasmoins qu'ellessontencorerelativementpeuemployées. L'approche quiconsisteàtraiter leterme d'incompressibilité par pénalisation (voir [Hughes etal.79]) se rencontre encore fréquem-ment.Sicertains auteurslaprésentent commeuneméthodemixte (departsaformulation faible), sonprincipe repose surla dissociationdes résolution en vitesseeten pression (en faisant disparaître la dépendance en pression dans l'équation de conservation de l'équi-libre). Mais cette méthode a plusieurs inconvénients surtout lorsque l'on s'intéresse à des cas tridimensionnels:

 il estnécessaire d'avoirrecourt àune technique de sous intégration pour leterme d'incompressibilitéetceand'éviterlelockingeect(c.a.d.l'utilisationdetous lesdegrésdelibertépourn'imposerquel'incompressibilité,voir[Coupez91]).Orla sous intégration poseun problème de consistance (la conditionrelaxée approche-t-elle la condition exacte?) et de stabilité au niveau des schémas de résolution numérique.

 lesystèmematricielduproblèmepénalisé(obtenuaprèsapplicationduprincipedes puissances virtuelles) estmal conditionnépour êtretraité par unsolveuritératif. Cesontcesquelquesobservationsquinousont menésàdévelopperplus particulière-mentl'aspect méthodesmixtespourleproblème deStokes.Une méthodemixte,comme toute méthode éléments nis, requiert le choix d'une discrétisation (ici deux discrétisa-tion, une pour la vitesse l'autre pour la pression). Ce choix est délicat et crucial pour la résolution du problème. En eet, il faut s'assurer que la solution discrétisée converge bien vers lasolutiondu problème initial maisaussique lesystème matriciel engendré par cettediscrétisationpeutêtretraitédemanièreecace.Ils'agitdoncd'undoublechoix discrétisation-algorithme de résolution, et c'est sur ce point sans doute qu'il faut être le plus attentif.

Par lasuite ,cesdeuxaspects(discrétisation-résolution) sont exposésséparemment, mais nous essaierons de mettre en lumière les dépendances qui peuvent exister entre ces deuxproblèmes.

Les méthodes mixtes Lesméthodesmixtesentantqueméthodesélémentsnis néces-sitent une écriturefaible deséquations (formulation variationnelle).

Formulation faible continue La formulation faible deséquations mixtes vitesse-pres-sion (1.9) s'obtient en eectuant le produitscalaire (au sensL

2

) par des fonctionstest~v  et p



. Après application du théorème de la divergence et prise en compte des conditions auxlimites encontrainte, leproblèmevariationnelà résoudreest lesuivant :

Trouver(~v;p)telque8(~v  ;p  )2VQ 8 > < > : Z 2(j "(~v)j)"(~v):"(~v  )d Z pr:~v  d = Z in p d ~v 
~nd Z p  r:~vd = 0 (1.12) avec : V = H 1 ()
3 = n ~v2 H 1 ()
3 ;~v= ~ 0 sur pa ;~v (~v
~n)~n= ~ 0 sur in o Q = L 2 ()

L'existence etl'unicitédelasolution 2

pour ceproblèmesontobtenuessousles condi-tions du théorème de Brezzi ( [Brezzi et al.91]). Dans le cas continu, Brezzi et Baranger ont respectivement montré que les problèmes de Stokes et de Stokes généralisé vé-rient ces conditions (i.e. pour un comportement newtonien [Brezzi et al.91] et pour un comportement pseudo-plastique [Baranger etal.90]).

Remarque :laformulationfaible dela méthode de pénalisation s'écrit : Z 2(j"(~v)j )"(~v):"(~v  )d+ Z r:~vr:~v  d = Z in p d ~v 
~nd

par rapport au système (1.12), l'équation sur l'incompressibilité disparait et le terme en pressiondelapremièreéquationestremplacépar :r:~v.Plusestgrand,plusonimpose l'incompressibilité.

Formulation faible discrétisée La discrétisation par éléments nis du problème de Stokes généralisé (1.9) consiste à calculer la solution de sa formulation variation-nelle(1.12) nonplusdanslesespacescontinusV etQ(dedimensioninnie) maisdansdes sous-espacesd'approximations de dimension nieV

h et Q

h . Cessous-espacesd'approximationsV

h etQ

h

sont dénissurunetriangulationT h () dudomaine = S K2T h ()

K.À chaque élémentK de latriangulation,nousassocionsdes fonctionsdebase(oufonctionsd'interpolation)pourapprocher(~v;p).Lechoixdesfonctions de baseestimportant etdoitnousassurer queles relations suivantes sont satisfaites:

V h V (1.13) Q h Q (1.14) 2

Il nousfaut alors chercher lasolution du problème discret suivant, correspondant à laméthode standard deGalerkin :

Trouver(~v h ;p h )2V h Q h tel que8(~v  h ;p  h )2V h Q h 8 > < > : Z 2(j "(~v h )j )"(~v h ):"(~v  h )d Z p h r:~v  h d = Z in p d ~ v  h
~nd Z p  h r:~v h d = 0 (1.15)

Par abusde notation, nousdénissons les intégrales surle domaine , maisces in-tégrales sont évaluées surledomaine discrétisé T

h ().

LadicultéconsisteàprésentàchoisirV h

etQ h

,autrement ditlesfonctions d'inter-polation associées respectivement aux inconnues en vitesseet en pression,de sorte quele problème (1.15)admetteau moinsune solution. L'analoguediscretduthéorème deBrezzi permetd'assurerl'existenceetl'unicitéde lasolution dicrètesilaconditionde compatibi-litédite deBrezzi-Babuska estsatisfaite.Cetteconditionde compatibilitéentraîne que les sous-espaces V

h et Q

h

ne peuvent être choisis indépendamment l'un de l'autre. Cette condition s'écrit : inf p h 2Q h f0g sup ~v h 2V h f0g R K p h r:~v h d jjp h jj Q h jj~v h jj V h >0 8K :elt. dela triangulation

Souscettecondition,onestassurédelaconvergencede lasolutiondiscrèteverslasolution du problèmecontinu(1.9) lorsque lepasde discrétisationh tendvers0.Plusprécisément, lorsquelaconditiondecompatibilitéestvériée,laconvergencesefaitsuivantl'estimation d'erreur : kv v h k 1; +kp p h k 0; ch min(k;l +1) avec : v h 2 P k (K) = ff ions d'interpolation polynomialesde d o k surl'élément K} p h 2 P l (K) = ff ions d'interpolation polynomialesde d o l surl'élément K} Un certain nombrede couples (V

h ;Q

h

) possibles orant un éventail d'éléments nis com-patibles (ou éléments nis mixtes stabilisés) sont proposés dans la littérature. On peut séparerces couples endeux famillesselon qu'ilss'appuient surune discrétisationcontinue ou discontinue de lapression:

 pression discontinue : cette discrétisation s'avére ecace dans le cadre bidimen-sionneletdel'utilisationde solveursdirects(voir[Fortinet al.85]).Eneet,lefait que lapression soit discontinue entraîne une augmentation de lataille de Q

h par rapport au cas continu, car il faut alors associer plusieurs inconnues à un même n÷ud. Il faut donc augmenter aussila taille de V

h

pour respecter lacondition de compatibilitécequiaugmentelecoûtdecalcul(sansaméliorationde laqualitédu résultat). D'autre part, leconditionnement dela matrice deraideur obtenue avec cettediscrétisationn'estpasbonpourl'utilisationdesolveursitératifscequi néces-site d'avoirrecoursàdessolveursdirects. Ceslimitationsdeviennentrédhibitoires dèsquel'ons'intéresseàdescastridimensionnelscommeleremarquent[Haagh et al.97]quiutilisent cetteméthodepoursimulerunprocédéd'injectionassistéegaz. (L'élément dit Crouzeix-Raviart (P

2 +=P

1

 pression continue : comme il vient d'être dit, cette discrétisation aboutit à un système matriciel plus petit et donc mieux adapté au 3D. De plus elle se prête bienaux résolutions itératives ce qui est un avantage considérablecar un solveur itératif estplusecace qu'un solveurdirect pour letraitement de groscas. Le tableau ci-dessous,tiré de[Coupez96],montrebien l'intérêtqu'il ya,dansIR

3 ,à choisirunediscrétisationcontinue delapression.Ladernièrecolonnedecetableau permet d'évaluer la taille du système matriciel obtenu en fonction du nombre de n÷uds de la discrétisation. Les éléments présentés vérient tous la condition de Brezzi-Babuska et sont, dans tous les cas, les moins coûteux (en terme de taille du système matriciel) pour unordre de d'interpolation donné.

ordred'interpolation inconnuespar

v p vet p n÷ud arête face total N P1+=P1 cont: 1 1 O(h) 4 0 0 4 P2=P1 cont: 2 1 O(h 2 ) 4 3 0 22 R 1++=P0 disc: 1 1 O(h) 3 0 1 13 P2+=P1 disc: 2 1 O(h 2 ) 3 3 1 31

(sachant quedansun maillagetridimensionnel,il ya environsixfois plusd'arètes quede n÷uds,etdix foisplusde faces quede n÷uds)

Ainsinoussommes naturellement amenés àprivilégierles élémentscompatiblesàpression continue:leMINI-élément(P

1 +=P

1

)etlafamilledesélémentsP k+1

=P k

.Cesdeuxéléments sont ceux qui, pour un ordre d'erreur donné, requièrent le moinsde ressources mémoires. Du point de vue de la résolution du système matriciel, nous avons déjà remarqué que ce type d'éléments est lié à l'utilisation de solveurs itératifs; nous verrons plus loin les conséquences(avantageuses) qui en résultent.

Le MINI-élément L'élément P 1

+=P 1

ou MINI-élément, introduit par [Arnold et al.84], utilise une interpolation linéaire en vitesse et en pression.Mais ande satisfaire la conditiondecompatibilité,l'interpolationenvitesseestenrichiepar unefonctionbulle .

Généralement, la fonction  bulle est un polynôme de degré 4 s'annulant sur la frontière de l'élément. [Coupez91] en propose une variante : la bulle pyramidale. La fonction bulle est nulle sur la frontière de l'élément et ane par morceau sur les quatre sous-tétraèdresinternesàl'élément.Lessous-espacesd'approximation(V

h ;Q h )s'expriment souslaforme : V h = V h B h où V h = n ~v h 2 C 0 ()
3 ;~v h j K 2( P 1 (K)) 3 o B h = n ~ b h 2 C 0 ()
3 ; ~ b h = ~ 0 sur@K et ~ b h j K i 2( P 1 (K i )) 3 ;i=1;::;4 o Q h =  p h 2C 0 ();p h j K 2P 1 (K) avec : (K i ) i=1;::;4

:ladécompositiondu tétraèdreK enquatre sous-tétraèdres partageant lecentredu tétraèdre pour sommet.

P 1

(K) :l'espace despolynômesde degréinférieur ou égalà 1surl'élément K :

L'erreur d'approximation decetélément esten O(h).

Le problème discret associé au problème de Stokes généralisé s'écrit de la façon sui-vante :

Trouver(~v h ; ~ b h ;p h )2V h B h Q h telque8(~v  h ; ~ b  h ;p  h )2V h B h Q h 8 > > > > > < > > > > > : Z 2(j "(~v h )j )"(~v h ):"(~v  h )d Z p h r:~v  h d = Z in p d ~ v  h
~nd Z 2(j "(~v h )j )"( ~ b h ):"( ~ b  h )d Z p h r: ~ b  h d = 0 Z p  h r:~v h d Z p  h r: ~ b h d = 0 (1.16)

Remarque : Les deux premières équations ont pu être découplées grâce aux pro-priétés de lafonctionbulle

~ b h

montrées par [Coupez96], àsavoir : 

~ b h

s'annulesur lafrontièredesélémentsde ladiscrétisation,  Z K r~v h :r ~ b h d=0 8~v h 2V h ;8 ~ b h 2B h

La familledes éléments P k+1

=P k

Pour ceséléments,lessous-espacesd'approximation (V h ;Q h )sont de laforme : V h = n ~v h 2 C 0 ()
3 ;~v h j K 2( P k+1 (K)) 3 o Q h =  p h 2C 0 ();p h j K 2P k (K)

(le problèmediscret s'écrivant comme(1.15))

Cette famille généraliseen faitl'élément Taylor-Hood (P 2

=P 1

,approximation d'ordre 2 en vitesseet d'ordre 1en pression).

L'élément Taylor-Hood lui même vérie la condition de compatibilité de Brezzi-Babuska et permet une erreur d'approximation du second ordre (en O(h

2

)) dans IR 3

comme le montrent [Brezzi etal.91].

Cependant,cen'est querécemment que[Bo97]aétendulerésultatdecompatibilitédans IR 3 aux éléments P k+1 =P k

, 8k > 1. Ceci peut s'expliquer par le fait qu'actuellement la tendance est d'utiliser, à précision égale, des éléments de bas ordre sur un maillage n plutôt quedeséléments coûteuxsurun maillage plusgrossier.L'avantagedesélémentsde basordre résidant en uneimplémentation plus aisée etune robustesseaccrue.

Il existe de nombreux autres éléments compatibles pour ces problèmes (voir [Piron-neau88] qui présente les plus classiques), mais même parmi les plus récents, peu ont pu démontrerleurecacitédansIR

3

.Parexemple,laméthodemixteprésentéepar[Hanet al.98] (identiableà une méthode MAC(Marker AndCell))qui s'appuiesurdeséléments debasordren'apasétéétendueaucastridimensionnelainsiqu'auxmaillagesnon structu-rés. [Farhouletal.93]présententune méthode quiorel'avantage deconserverlocalement la masse et les moments (propriété commune aux méthodes volumes nis) mais qui, elle non plus, n'apasde pendant tridimensionnel.

Toutefois,nousne pourrionsconclurece paragraphe sansprésenterunélément encore lar-gement employé :l'élément Crouzeix-Raviart.

L'élément de Crouzeix-Raviart (P 2

+=P1) Cet élément a une discrétisation discon-tinue de la pression. Comme on peut le voir dans le tableau présenté précédemment, il ne présente pas un rapport optimal entre l'erreur d'interpolation et la taille du système à résoudre, mais il est encore largement utilisé. Ceci peut s'expliquer par le fait qu'il ne présente pasd'aussimauvaisescaractéristiques dansIR

2

plane il n'ya quedeux fois plus d'arètes quede n÷uds et deux foisplus de triangles que de n÷uds; le coût du système matriciel n'est donc pas prohibitif. De plus la taille des systèmesmatricielsobtenus (dansIR

2

)est compatibleavec l'utilisation desolveurs directs (euxmêmes imposés par lechoix decet élément)ecaces danscecas.

La première démarche entreprise par les personnes souhaitant passerà des cas tridimen-sionnelsa doncétéd'utilisercetélément quiavait étévalidé dansdescasbidimensionnels. Malheureusement, en pratiquant de lasorte, onse heurteà deuxdicultés :commenous l'avonsdéjàditlescaractéristiquesd'unmaillage3Dsontdiérentesdecellesd'unmaillage 2D,etcommenousallons levoirles propriétés dessolveurs itératifssedégradent en3D.

On peuttrouverdesexemplesd'utilisation de cetélément dans[Haagh etal.97].

1.4 Algorithmes de résolution

Classiquement, lesystèmed'équations(1.15) s'écrit sous forme matricielle:  A B T B 0  V P  =  F 0  (1.17)

où ? V est levecteur contenant lescomposantesdes vitessesen chaquesommet destétraèdres,

? P estlevecteur des degrésde libertéen pression,

? Aest lamatrice symétriqueassociée àla formediscrète du terme: a(v~ h ;~v  h )= Z 2(j"(~v h )j)"(~v h ):"(~v  h )d ? B est associé auterme:b(p

h ;v~ h )= Z p h r:~v  h d ? levecteur F exprime lesconditions auxlimites. Si H =  A B T B 0 

,H a lapropriété d'être symétriquemais pas dénie positive ce qui empêcheunerésolutionsimpleduproblème.Laméthodelaplusrépanduepourcontourner ce problèmeconsiste à utiliserl'algorithmed'Uzawa.

1.4.1 Algorithme d'Uzawa

Beaucoup de méthodesproposées pour résoudrele problème(1.17) sont dérivéesde l'algorithmed'Uzawa, ce choix d'algorithme étant fortement lié au choix d'une discrétisa-tionà pressiondiscontinue.

Cet algorithmeconsisteà découplerleproblème (1.17)en deuxsousproblèmes dont les matrices sont symétriques dénies positives. Il s'agit donc de trouver le champ de pressiontel que:

T BA 1 BP = T BA 1 F par une méthode de descente (P

k+1 = P K +(contribution deV k )) , en résolvant à chaqueitérations: AV k =F BP k+1 par uneméthode directe.

à la résolution du système, la technique du Lagrangien augmenté est souvent employée. Elle consiste àutiliser lefaitque

T B

~

V =0 pourmodier l'équationsur lavitesseen : AV +rB

T

BV =F BP l'équation surlapression s'écrivant alors :

T BA 1 r BP = T BA 1 r F avec A r =A+rB T B.

Remarques : la technique du lagrangien augmenté est indispensable pour faire converger l'algorithme en un nombre d'itérations raisonnable (pour cela ilfaut prendre r assez grand). De plus, elle n'est viable que dans le casde l'utilisation d'un solveur direct carle conditionnement delamatrice A

r

estdéfavorable àl'utilisation de solveursitératifs (pourtant indispensables pour traiter de gros cas tridimensionnels). Enn, comme nous allons levoir, elle oblige àfaire lechoix depressionsdiscontinues.

1.4.2 Méthodes itératives de résidu minimal

Dans le cadre de l'utilisation de pressions continues la largeur de bande de B est doublée. Mais si B double sa largeur de bande, celle de A

r

double aussi et le coût de résolution de l'équation envitesseavec un solveurdirectdevient rédhibitoire.

Une autre raison défavorable aux méthodes directes est leur inecacité à traiter de gros castridimensionnels (taillede maillagesupérieureàN=2000 n÷uds).Eneet,en plusdu moindrecoût dupointde vuedu stockage desdonnées, les méthodesitérativesprésentent des temps de résolution plus faiblesque les méthodes directes pour destaillesde système élevées.C'estcequemontrentCoupezetal.dans[Coupezetal.97]et[Marie97].Lesrésultats qu'ilsobtiennent surdes casindustriels donnent lescoûts suivants:

CPU direct =O(N 7=3 ) CPU iter: =O(N 3=2 ) Mem direct =O(N 5=3 ) Mem iter: =O(N)

Enn, un solveur itératif se parallélise plus facilement qu'un solveur direct :un atout de plus sachant qu'aujourd'hui cettetechnologie sedémocratise deplus en plus.

On pourrait donc être tenté d'utiliser une méthode itérative dans la méthode d'Uzawa (+lagrangien augmenté), mais pour faire converger rapidement celle-ci il faut que r soit grand.Orplusrestgrandpluslamatricederaideurestmalconditionnéepouruneméthode itérative.C'est pourquoi d'autresapprochesontété développées.

Plusparticulièrement,celleproposéepar[Wathenetal.93],consisteàappliquerdirectement une méthode itérative de résidu minimal au système (1.17) avec un préconditionnement diagonal (PCR method).

Defaçon synthétique,cette méthodeconsiste à résoudreunsystème : Hx=b ;

en minimisant lerésidu de :

(M 1

(Hx b);(Hx b)) où M estla matricede préconditionnement.

dénis positifs etpropose une méthode hybride Orthomin-Orthodir dérivée de la mé-thode proposée par Silvester et al.. Ces méthodessont plus simples, plus robustes, moins spéciques que les méthodes type Uzawa tout en étant ecaces. Elles présentent enn l'avantagede pouvoir, sansmodication, traiter l'incompressibilité.

Complément Dans le cas du MINI-élément, le système d'équations (1.16) s'écrit sous formematricielle : 0 @ A 0 B 0 A b B b T B T B b 0 1 A 0 @ V V b P 1 A = 0 @ F 0 0 1 A (1.18) où ? V b

estlevecteur contenant les composantes desvitesses auxn÷uds internes; ? A

b

est lamatrice symétriqueassociéeà laformediscrète du terme: Z 2( j"(~v h ) j)"( ~ b h ):"( ~ b  h )d; ? B b

estassociéau terme : Z p h r: ~ b  h d:

Par une technique de condensation, les degrés de liberté liés à la bulle sont éliminés. Onobtient ainsi une formulation mixte en vitesse-pression avec pour seulesinconnuesles valeursnodales destroiscomposantes delavitesseetdespressionsenchaquesommet des tétraèdres. Cettetechnique d'élimination desdegrés deliberté supplémentaires permet de seramenerlocalement àuneapproximationdutypeP

1 =P

1

.Lescontributionsélémentaires dusous-système seréduisent alors à :

 A e B e T B e C e  V e P e  =  F e 0  (1.19) oùC e = T B e b ( A e b ) 1 B e b : Les notations de la forme A

e

correspondent aux calculs restreints aux degrés de liberté présentssurl'élément K :A

e =Aj K , soitA= P e2T h A e .

Remarque:danslecasdelaloidecomportementpseudo-plastique,Adépenddesvitesses nodales

~

V ;lesystème(1.17) est donc nonlinéaire. Dansce cas, laméthode de Newton-Raphsonpermetderamenerceproblèmeàlarésolutiond'unesuitedeproblèmeslinéaires.

Il estimportant denoterlerôle primordialjouépar leblocdiagonal C e

dans(1.19). En eet, l'utilisation de la méthode proposée par Sylvester et al. impose un préconditon-nement diagonal. En d'autrestermes, M =diag(jHj). Or, dans lesystème (1.17), lebloc diagonal inférieur est nul ce qui pose un problème pour exprimer M

1

. Dans le cas de l'utilisation du MINI-élément ce problème disparaît naturellement. Dans le cas d'utilisa-tiond'unautretyped'élément,unesolutionestd'ajouterarticiellementuntermediagonal (qu'onappellera, par abusdelangage,terme dediusion numérique).

C'est précisément ce que propose la discrétisation dite P 1

=P 1

-stabilisé. Cet élément ne vérie pas la condition de stabilité de Brezzi-Babuska, mais le schéma est stabilisé arti-ciellement comme expliqué précédemment (le terme de stabilisation étant de la forme C' R rp h :rp  h

d)pour seramenerà uneformulation du type (1.19).

Avant de clore ce paragraphe, nous noterons que quelques auteurs proposent des améliorationsoudesalternativesàcesméthodes.Au niveau desalgorithmesde résolution en particulier onpourrase réferrerà [Wathenetal.93] ou à[Sarin et al.98]qui proposent

des méthodes qui reprennent la technique proposée par Uzawa en traitant l'équation sur la vitesse par un algorithme de gradient conjugué. Ces techniques sont connues sous le nomdebi-gradient conjuguéougradientconjuguéàdeuxniveaux, maisleurs applications n'ont pasdépassé le cadreacadémique de casbidimensionnels sur desmaillages réguliers. C'est pourquoi, il reste dicile de dégager, dans ce domaine, une méthode type qui se démarque de toutes les autres. Un autre perspective d'amélioration possible réside dans le choix du préconditionneur de la méthode PCR (utilisation d'un préconditionneur de Cholesky incomplet).

1.4.3 Conclusion

Au terme decette étude, quelsenseignements convient-il deretenir?

La simulation tridimensionnelle de la phase de remplissage du procédé d'injection, sous les hypothèsesd'incompressibilité et de forces d'inertie négligeables, fait aujourd'hui l'objet d'unconsensus du point de vue théorique qui est étayé par de nombreux résultats d'applications. L'emploi duMINI-élément couplé àune résolution globaledusystème ma-tricielparuneméthodeitérativesemblerallierunebonnepartiedesacteursimpliquésdans le domaine.Comme ce futle casdesproblèmes elliptiquescommel'élasticité linéarisée, la méthode deséléments nis(parle biaisdela théoriedesméthodesmixtes)s'imposepour larésolutionduproblèmedeStokes.Cesontceschoixquiontétéretenusdanlecadrede cette étude. L'état de l'art n'enreste pas gé pour autant et de nombreuses perspectives existent. En particulier, le choix dualde ladiscrétisation et de l'algorithme de résolution associé est sans doute appelé à s'améliorer dans le futur. On a déjà cité des alternatives aussi bien au niveau de l'algorithme avec la technique de bi-gradient conjugué et qu'au niveau de la discrétisation avec l'élément de Taylor-Hood généralisé ou la discrétisation discontinue de lavitesse.

Cependant, même sinoussommes en mesurede choisirla résolution laplusecace pour le calcultridimensionnel duproblème de Stokes, lecoût des calculs 2Dreste encore bien plus attrayant. Aussi, les utilisateurs industriels qui traitent une majorité de pièces mincessouhaitent légitimementavoirunoutil quicouplelarichessed'uncalcul3D(même localement)etlecoûtdes calculs2D.

1.5 Couplage 2D/3D

1.5.1 Étude bibliographique - État de l'art

Il ya trèspeu depublications relativesà ce sujet.À notreconnaîssance, seulsdeux articlesprésentent desapprochescouplant descalculs bi-ettridimensionnels

Les travaux de Friedriechs et Güçeri ( [Friedrichs etal.93], 1993) consistent à faire uncalcul3Dauniveaudufront dematière etuncalculHele-Shawenamontdufront(voir g.1.4). Tousles calculs(2D ou 3D) reposent surlaméthode desdiérencesnies.

Si les auteurs démontrent l'avantage de leur technique par rapport à une solution Hele-Shaw complète, ils limitent leur étude à des pièces de faible épaisseur (leur objectif étant de capter l'eet fontaine dans ces pièces). Les limitations intrinsèques de cette mé-thode apparaissent cependant clairement. La première (et la plus attendue) est due à la génération demaillage :lesmaillages 2Det3D sechevauchent surune maille etles choix

pour placer l'interface entre lesdeux maillagesetpour dénir lalargeur du front 3D sont délicats. Le problème de la connexion topologique entre les maillages est toutefois évité ici dans la mesure où il s'agit de maillages structurés et réguliers (briques etrectangles). La seconde limitation de la méthode présentée tient dans la méthode de résolution des équations danslapartie 3D(équation de Poissonen pression enformulation lagrangienne puisréactualisationde lapositiondesn÷udsdufront parunschémad'Eulerexplicite)qui ne gère pascorrectement le contact collant aux parois du moule (la position du front de matièreesttronquée, aprèscalcul,à lagéométrie dumoule...). Plusprécisément la condi-tionde contactimposéeauxparoislatéralesdumoule estuneconditiondecontactglissant pour des raisonsde compatibilitéavec laformulationde Hele-Shawchoisieen amont. En-n, au delà de ces limitations, nous n'étudierons pas plus avant cette technique dont le domaine d'application dière nalement beaucoup de celui qui nous intéresse puisqu'elle ne permet un calcultridimensionnel qu'au voisinagedu front dematière et non dansune partie complète de la pièce (qui est le cas qui nous intéresse) ni même au voisinage des nervures,seuils,...

Fig.1.4 Illustrationduprincipe (enhautà gauche),illustration dudéfautduau contact (enhaut àdroite), etévolutiondumaillage (enbas) [tiré de [Friedrichs etal.93]].

La seconde référence,due àYun-Weyet Ta-Jo [Yuet al.99], estplusrécente(1999). Lesauteurs présentent une approche plus conformeà l'idéeintuitive quel'onpeutsefaire d'une méthode de couplage : ils ont choisi d'associer une méthode purement tridimen-sionnelle à un code Hele-Shaw. Les choix numériques, considérés connus, sont présentés succinctement. Il s'agit pour la partie bidimensionnelle d'un modèle Hele-Shaw sur un maillage quadrangulaire avec une discrétisation linéaire de la pression.Pour lapartie 3D, ladiscrétisation retenue est labrique27 n÷uds (type Crouzeix-Raviart) :vitesse quadra-tiqueet pression linéaire.Pour la connexiondes deuxcalculs, ils imposent une continuité de la pression entre les domaines 2 et 3D ainsi qu'une égalité entre les ux entrant et sortant (conservation de la masse pour un uide incompressible). Deux applications sont présentées pour illustrer leur démarche : un écoulement dans une lière portemanteau et un écoulement dans une plaque plane autour d'un obstacle. Pour ces deux exemples les auteurs démontrent  l'ecacité de leur méthode par rapport à un code purement Hele-Shawenrapprochantleurs résultatsdesrésultatsobtenusavec uncodepurement

tri-dimensionnel. D'autre partils mettent enavant laréductiondes ressourcesinformatiques nécessaires au calcul : le nombre d'inconnues passe de 19801 pour un code 3D à 14704 pour lemodèlehybride(dont 14629pour lapartie 3Det75 pour lapartie 2D). Lesgains de temps CPUpeuvent atteindre, selon les auteurs, près de 40 (sans qu'ilsprécisent sous quelles conditions). Il convient toutde même de noterque ces deuxexemples ont étéfait sur des géométries extrêmement simpliées : la lière portemanteau est représentée par 642 éléments danslecas 3Det530 élémentsdanslecas2D-3D (voirgure1.5). Eneet, les maillages structurés briques et quadrangulaires s'accordent assez mal avec les géomé-tries complexes. Or l'intérêt d'uncalcul 3D dans une géométrie aussi grossière paraît relativement limité.Ce type de calculsejustielorsquel'on désireavoir une connaissance relativementne deschampsdevitesse,pression,...Dans leszonesdumouleoùla cinéma-tique n'est pas triviale, zones qui correspondent souvent à des singularités géométriques (angles,inserts,...).Ilaurait ététrèsintéressantd'avoirunexempled'applicationdecette méthode sur un maillage plus n. Cependant, une augmentation de la taille du maillage auraitunerépercussionnéfasteenterme deressourcesmémoirecommelereconnaissentles auteurs quiprécisentn'avoirpastoujourspu évaluerlesgains detemps CPUentreles ap-proches3Dethybridecarladiscrétisationchoisiepourlapartievolumiqueobligeparfoisà swaper (échangerdesdonnéesentrelamémoire centrale etledisquedel'ordinateur en raison d'une discrétisation tropvolumineuse) ce qui fausse complètement les résultats (les temps d'accès au disque sont supérieurs de plusieurs décades au temps d'accès à la mémoire centrale).

Fig. 1.5Maillage hybridede lalièreportemanteau (lapartie supérieureétant lapartie lapartie volumique,tiré de[Yu etal.99].

L'application de l'écoulement autour d'un obstacle dans une plaque plane est plus intéressante quant à elle en ce qui concerne le raccordement ente les zones 2D et 3D. En particulier, il est précisé qu'il faut déterminer avec soin la zone où l'écoulement est 3D (cette zone est facilement identiable dans le cas de la géométrie portemanteau qui a fait l'objet de nombreuses études). Pour cet écoulement, deux longueurs semblent dé-terminantes : l

u

de domaine 3D et l b

qui représente la largeur de ce domaine (voir gure 1.6). Ces deux

Fig. 1.6Géométrie de l'écoulement autourd'unobstacle.

longueursdoivent êtresusamment grandespourque, d'unepartl'écoulement puisseêtre considérébidimensionnel danslapartieéloignéede l'obstacleet que,d'autre part,tousles eetsvolumiquesdusàl'obstaclesoientbiencaptés.Ceciadeuxinconvénients:lepremier estquecela réduitnotablement leszonesoù l'écoulement peutêtre considérécomme bidi-mensionnel, lesecond est qu'il faut déterminer ces longueursde façon judicieuse.Pour ce faire,lesauteursprocèdentendeuxétapes:ilseectuent unpremiercalculsurunmaillage grossier en surestimant la zone 3D puis, en fonction de l'écoulement obtenu, ajustent la longueur l

b

pour lecalculsurlemaillage nal.

1.5.2 Commentaires

Le premierdecesdeuxarticlesnenousapportepasbeaucoupd'informationspourle problèmequinousintéresse.Eneet,sicetteméthodeapuêtreutilepourmodéliserl'eet fontaineellenerépondpasànotrebesoinquiestunesolutioncapable detraiterdespièces industrielles avec à lafois deszones minces etdes zonesépaisses et ce avec le plusde généralité possible. La seconde étude est elle très instructive même si elle ne met pas en exerguetouteslesdicultéssous-jacentesànotreproblème.Eneet,lapremièreremarque quel'onpeutformulerconcernelaformulation retenue pour lapartievolumique :ellen'est pas optimale et il semblerait naturel de la remplacer par une formulation MINI-élément vers laquelleune bonne partdesacteurs impliqués dansledomaine se tournent. Cechoix en dicteun autrequiest celuidu maillage :làaussiunmaillage briqueouquadrangulaire nesemblepasleplusapproprié. Ilseraitplusjudicieuxde choisirunmaillage tétraédrique

(triangulaire en 2D), et de préférence non structuré pour orir plus de souplesse lorsque l'on étudie des pièces géométriquement complexes. Mais alors se pose la question de la connexion des maillages 2D et 3D (que l'on ne rencontre pas en utilisant des maillages structurés etréguliers). Enn, l'information laplus importante quel'on doit retenir tient au fait que la détermination de la zone où un calcul bidimensionnel est licite n'est pas triviale et qu'elle peut, dans certains cas, se réduire à une petite partie seulement de la pièce.Enoutreilfautprendreencompte leseortsnécessairespour déterminercettezone 2D : un pré-calcul et la génération de 2 maillages (un pour le pré-calcul, l'autre pour le calcul nal),ainsique ladétermination dela surfacemoyenne danscette zone.

Toutes cesdicultéstechniques etleslimitations qu'ellesengendrent nouspoussent à penser qu'il serait plus judicieux de développerune solutionplus générale, plusfacile à faire évoluer vers des applications plus complexes (entermes de géométrie, de matériaux injectés oude procédé), etd'unemiseen ÷uvreplus simple.

1.6 Démarche adoptée et principes retenus

Lasolutionquenousproposonsestbeaucoupplussimple àmettreen ÷uvre:plutôt que de traiter le problème du couplage nous nousproposons de conserverun calcul tridi-mensionnel dans toutelapièce.Pour quecette solution réponde néanmoinsaux exigences de diminution des coûts de calculdans les zonesoù l'écoulement est considéré comme bi-dimensionnel, nous proposons de contrôler les coûts des calculs 3D dans ces zones et de les ramener aux ordres de grandeur atteints par les calculs bidimensionnels. Plus précisé-ment,notredémarcheconsisteàn'avoirqu'unnombrelimitéd'éléments(enpratiqueentre 4 et 10) dans l'épaisseur des parties minces du domaine de calcul, le nombre d'éléments dans le plan de l'écoulement restant le même que celui qui serait utilisé pour un calcul bidimensionnel.

Lesavantages quel'onpeuttirerd'unetellesolutionsontnombreuxcomparésà l'in-compressible surcoût de calcul par rapport à un calcul bidimensionnel. Tout d'abord la résolution estintrinsèquement plusrichece quipeutserévélerfondamental pour certaines applications. Lescalculsanisothermesavec étudedelacristallisationoulescalculs surdes uides chargés debres(ou depoudrespourleMIM)requièrenten eetune connaissance ne delacinématique del'écoulement.Onpourrapar exempleseréférerà[Vintimiglia99] pourunerevuecritiquedescodesintégrantlephénomènedecristallisationetpourla justi-cation,danscecadre,delanécessitéd'unecinématiqueriche.Depluslesurcoût decalcul peutêtre largement compensé par un délai de mise en ÷uvre plus court. Il n'est en eet pas nécessaire de dénir de surface moyenne, de déterminer les zones bi ou tridimension-nelles, d'eectuer unpré-calculou encoredegénérer deuxmaillagesdiérentset detraiter le problème de connexion entre ces maillages. Enn les conditions aux limites s'imposent naturellementetiln'est pasnécessairederésoudredeséquations decompatibilitéentreles diérentsdomaines.

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2.1 Introduction . . . 29 2.2 Générationde maillages . . . 30 2.2.1 Générationdemaillagesisotropes. . . 30 a) Méthodefrontale . . . 30 b) MéthodedeDelaunay . . . 31 c) Méthoded'optimisationlocale. . . 32 2.2.2 Rappels . . . 41 2.2.3 Générationdemaillagesanisotropes . . . 43 a) Méthodesd'adaptation. . . 43 b) Méthodederanementanisotrope . . . 43 c) Méthoded'extrusion . . . 45 d) Méthodefrontale-MéthodedeDelaunay . . . 46 e) Méthoded'optimisation . . . 47 2.2.4 Conclusion . . . 49 2.3 Métriquenaturelle. . . 49 2.4 Estimationd'erreur . . . 52 2.4.1 Estimationsaprioriet aposteriori . . . 52 2.4.2 Erreurd'interpolation . . . 53 2.5 Estimation d'erreur a posteriori Problème de Stokes . . . 54 2.5.1 Estimationclassique . . . 56 2.5.2 Estimateurd'erreurbasésurladivergencediscrète . . . 57 2.6 Écoulementde Poiseuille entreplaques parallèles . . . 58 2.6.1 Erreurexacte . . . 59 2.6.2 Comparaisondesestimateurs . . . 60 2.6.3 Conclusions . . . 62 2.7 Adaptation de maillage- Calculs d'extrusion . . . 62 2.7.1 Contraction4:1-Écoulementbidimensionnel . . . 64 2.7.2 Contraction8:1-Écoulementtridimensionnel . . . 67 2.8 Perspectives. . . 71 2.9 Applicationà lasimulation du remplissage3D . . . 71