Kooli Mohamed Hechmi http://math Correction Rotation 3 Exercice 1 1) 2) a) On a , ≡ 2 b) On donc , ≡ , 2 ≡ 2 , ≡ 2 ⇔ 3) a) On ′ le symétrique de ′ , ′ ≡ , 2 ≡ , 2 ≡ , ≡ 2 ≡ 2 ′ , ′ ≡ 2 ⇔ http://mathematiques.kooli.me/
Correction Rotation 3ème Mathématiques
⇔ donc
car et sont colinéaires et de même sens
par rapport à donc ′ et on a
car ′ et sont colinéaires et de même sens
2
′
Page 1 ont colinéaires et de même sens
et on a donc
Kooli Mohamed Hechmi http://math b) On a ! " # ⇔ donc # # $ Exercice 2 1) 2) a) On a , ≡ % 2
est l’arc du cercle tangent à
demi plan de frontière ne contenant pas b) On a et , 3) a) On a " et & d’angle ' ≡ , & b) Soit ( le centre de , on a or on a et , 4) On a ) & , On a & ∈ donc &
& donc
5) Soit + ∗ , on a - est le centre de gravité du triangle l’homothétie de centre + et de rapport
http://mathematiques.kooli.me/ #
, # ≡ 2
donc ∈ .
du cercle tangent à . en et tel que . , ≡ ne contenant pas . .
≡ % 2 , donc ∈ /01 ∩
donc il existe une unique rotation telle que
& 2 ≡ , 2 ≡ % 2
, on a donc ( ( et (
≡ % 2 donc ( donc est le centre de
≡ % 2 donc le triangle & est équilatéral. & & or & est équilatéral donc
est le centre de gravité du triangle 3 donc et de rapport 4
% on a donc 5 3 -, or 3 ∈
Page 2
% 2 contenu dans le
telle que & et . ( , ( ≡ % 2 est le centre de . est équilatéral. & et on a donc +- 4 %+3Soit 5 ∈ donc 5 3 ∈ 5 ,
Kooli Mohamed Hechmi http://math or est l’arc du cercle ζ donc rayon 6′ 4 %7 et tel que ′ Exercice 3 1) 2) On a 6 de centre donc 6 perpendiculaire à en 6 On a 6 , ≡ 2 donc On a $ en donc en or $ en donc
3) a)6 & est la droite perpendiculaire à
donc 6 & (
6 ( est la droite perpendiculaire à donc 6 ( & b) On a ( ∈ ∩ ( donc 6 ( ∈ ∩ 8 or On a & ∈ ∩ 8 , donc Or ∩ ( 9:; donc c) On ( ∗ & donc 6 6 + 6 + ⇔ , + ≡ + http://mathematiques.kooli.me/
donc 5 est l’arc ′ ′du cercle ζ’ de centre
5 et ′ 5 .
et 6 d’angle donc 6< = est la droit , or $ en donc 6< donc 6 donc 6< = $ 6< = en 6 donc donc 6< = . perpendiculaire à & en 6 , or ( perpendiculaire à ( en 6 , or & , donc 6 ( ∈ 6< = ∩ 6< ( = or ∩ 8 98;, donc 6 (
, donc 6 & ∈ 6< = ∩ 6< 8 = donc 6 donc 6 & :.
6 ( ∗ 6 & donc 6 8 ∗ :
2 donc le triangle + est rectangle isocèle en
Page 3 ’ de centre 7′ 5 7 et de est la droit = donc 6< = $ ( $ & en $ ( en 8. & ∈ 6 ∩ ( :, or + : ∗ 8 donc
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4) On a : 6 ( 8 et 6 & Dans le triangle :(8 on a (& et on a ( $ & donc &
On a :& , & et (& concourantes en donc &: et 8( sont perpendiculaires.
Exercice 4 1) 2) on a 64 de centre donc 64 64 # ′ , ≡ 2 donc D’autre part 64 ′ , ′ ≡ 2 donc Donc )64 ′ 64 ′ donc Conclusion on a : ′ ′ et 3) a) On a " ′ et ′ et ′ en ′. b)6 et 6 ′ et ' ≡ ′ , ′ 2 ≡ ≡ 2 ≡ 2 4) a) On a > ∗ ′ donc http://mathematiques.kooli.me/
: donc (& , 8: ≡ 2 donc (& $ 8: donc (& est la hauteur issue de
& est la hauteur issue de 8.
concourantes en & donc :& est la hauteur issue de sont perpendiculaires. 4 et 64 d’angle donc donc 64 ′ donc 64 ′ ′ ′ et ′ , ′ ≡ 2 et ′ $ ′ .
′ donc il existe une unique rotation 6 ′ donc + ∈ /01 ∩ /01 ′ ′ ′, ? ′ 2 ≡ ′ , ′ donc 64 > 64 ∗ 64 ′ donc 64 > Page 4 donc (& $ 8:
est la hauteur issue de (.
est la hauteur issue de :,
6 qui transforme en
2 ′ ∗
Kooli Mohamed Hechmi http://math or ∗ ′ donc 64 > On a ∗ ′ donc 6 or > ∗ ′ donc 6 b) On a 64 > ⇔ On a 6 > ⇔ + + Donc >+ est un carré.
Exercice 5 1) ζ’ ∆ 2) a) On a la rotation de centre Le triangle rectangle et isocèle en
Donc , ≡ 2 On a d’angle donc < or $ en donc
< = est la droite perpendiculaire à or ∆ est perpendiculaire à b) On ∈ ∩ donc or ∩ ∆ 9(; donc On a ∗ donc Or + ∗ ( donc http://mathematiques.kooli.me/ 6 ∗ 6 donc 6 > > > , ≡ 2 +> , +> ≡ 2 ζ
la rotation de centre donc
rectangle et isocèle en et on a , ≡ 2
donc
= est la droite perpendiculaire à < =
est la droite perpendiculaire à en
et passant par donc < = ∆ donc ∈ < = ∩ < = do ( ∗ donc ∗ ( +. Page 5 ∗ ′ en ∆ donc ∈ ∩ ∆
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On considère un triangle rectangle et isocèle en désigne par le milieu de
on désigne par ( le point d’intersection de
3) On a isocèle rectangle en au triangle On a (ζ ) ζ’ et + de centre + et de rayon . On a ∈ ζ donc ∈ 9 , ; 4) a) On a 3 , 3 ≡ A B 2 ⇔ 3 , 3 ≡ 2 %B 2
donc l’ensemble des points 3 est l’arc
b)3 varie sur l’arc du cercle
varie sur l’arc du cercle ζ’.
c) On a d’angle , 3 $ 3′
On a + et 3 3
Exercice 6
1) a)
On a est un parallélogramme donc
D’autre part est un triangle équilatéral donc On a " et donc
.
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rectangle et isocèle en tel que : et par ∆ la droite perpendiculaire à le point d’intersection de ∆ et .
isocèle rectangle en et ∗ donc est le centre du cercle
donc + est le centre de ζ’ et +
ζ’ et ∈ ζ donc ∈ ζ
2 ⇔ 3 , 3 ≡ CD%B 2 ⇔ 3 , 3 ≡ %B 2 est l’arc du cercle ζ.
du cercle ζ , 3 3′ , et
et 3 3′ donc 3 , 3
3′ donc 3 +3′.
est un parallélogramme donc " et (1) est un triangle équilatéral donc
donc il existe une unique rotation telle que
Page 6
, ≡ 2 on
et passant par et
est le centre du cercle ζ circonscrit
+ donc ζ’ est le cercle ’ donc ζ ∩ ζ’
et donc 3′
3′ ≡ 2 donc
(2)
Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 7 b)) donc ' ≡ , 2 ≡ , 2 ≡ , 2 ≡ % 2 ≡ % 2 et ∈ /01 ∩ /01 . 2) a) On a , ≡ , , 2 ≡ , , 2 ≡ % % 2 ≡ 0 2
Donc et sont colinéaires et de même sens donc ∈ .
b) on a > , ≡ , 2 ≡
% 2 (1)
> , > ≡ , 2 ≡ , 2 ≡ % 2 (2)
de (1) et (2) on a > , ≡ > , > 2 ≡
% 2 donc le triangle > est
équilatéral direct.
c) Le triangle > est équilatéral direct donc > et > , ≡
% 2 > , ≡ % 2 ⇔ > , ≡ % 2 ≡ % 2 > > , ≡ % 2 ⇔ > d) > donc > , ≡ % 2 et on a > , ≡ % 2
on a donc > , ≡ 2 > , 2 donc est le centre du cercle ζ circonscrit au triangle >. 3) a) # , ≡ % 2 ⇔ # On a , > ≡ , > 2 ≡ % 2 (1) et > , ≡ , ≡ % 2 (2)
de (1) et (2) le triangle > est équilatéral direct donc > et > , ≡
Kooli Mohamed Hechmi http://math > # > , ≡ % 2 ⇔ b) > , ≡ % 2
donc > et ne sont pas colinéaires donc les droites un point +. c) On a + , + ≡ > , 4) On a de centre et d’angle donc , ≡ % 2 donc un même cercle Exercice 7 1) a) b) 7 7 7 , 7 ≡ 2 7 7 7 , 7 ≡ 2 ⇔
c) о est la rotation de centre
centrale de centre 7 donc о :N d):N donc о 2) a) On a et http://mathematiques.kooli.me/ # > donc > , " O ; O ∈ P
ne sont pas colinéaires donc les droites > et
2 ≡ > , 2 ≡ et d’angle % et on a donc donc + , + ≡ , 2 donc ⇔
est la rotation de centre 7 et d’angle donc
or о < donc Page 8 sont sécantes en % 2 ≡ % 2 , ≡ % 2 nc , +, et sont sur о est la symétrie = donc
Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 9 On a < 3 = est la droite perpendiculaire à 3 en ( car est d’angle ) or 3 est perpendiculaire à Q en donc < 3 = Q
b) On a 3 ∈ 3 donc 3 ∈ < 3 = donc 3 ∈ Q On a 3 ∈ donc 3 ∈ donc 3 ∈ Donc 3 ∈ Q ∩ or Q ∩ 9Q; donc 3 Q c) On a ! " 3 Q ⇔ 3 Q 3 , Q ≡ 2 3 Q et 3 $ Q . 3) a) Posons ′ on a donc ′
or ∈ 3 donc ∈ 3 donc ′ ∈ Q or > ∈ Q et > donc >.
b) On a ζ de centre 7 et de rayon 6 7 donc l’image de ζ par est le cercle de centre 7 7 et de rayon 6′ 7 donc l’image de ζ par est le cercle ζ.
c) Quand 3 varie sur le segment \9 , ; le point varie sur l’arc \9 , ; du cercle ζ et on a l’image de ζ par est ζ donc l’image de sur l’arc \9 , ; est sur l’arc
\9 , ;
donc > appartient à l’arc \9 , ;
donc l’ensemble des points > lorsque 3 varie sur le segment \9 , ; et l’arc \9 , ;.
