Eude de certaines propriétés de complétude sur les espaces de fonctions

رﺎـﺘﳐ ﻲـﺟ ﺔـﻌﻣﺎﺟ

ﺔـﺑﺎـﻨﻋ

Annaba

Badji Mokhtar University -

Annaba

Faculté des Sciences

Département de Mathématiques

THÈSE

Présentée en vue de l’obtention du diplôme de

Doctorat en Sciences

Eude de certaines propriétés de complétude sur les espaces de fonctions

Option :

Analyse fonctionelle

Présentée par

Harkat Lamia

DIRECTEUR DE THÈSE :

Kelaiaia Smail

PROF

Univ. B. M. Annaba

Devant le jury

PRÉSIDENT :

Djoudi Ahcène

PROF

Univ.B.M. Annaba

EXAMINATEURS:

Fatma Diaba

Hadia Messaoudene

PROF

MCA

Univ.B.M. Annaba

Univ. De Tebessa

Ahmed Nouar

MCA

Univ.

ETUDE DE CERTAINES PROPRIETES DE

COMPLETUDE SUR LES ESPACES DE

FONCTIONS

HARKAT LAMIA

Université Badji Mokhtar, Annaba

Département de mathématique

Juin 2017

Directeur du thèse: Pr. Kelaiaia Smail

Devant le jury composée de:

Président Pr A. Djoudi Pr à l’UBMA

Examinaturs

1. Pr F. Diaba Pr. à l’UBMA

2. Dr A. Nouar MCA U. de Skikda

3. Dr A. Bouchair MCA U. de Jijel

4. Dr H. Messaoudene MCA U. de Tebessa

Remerciements

Pour commencer, je remercie dieux pour la force qu’il m a donné

pour terminer ce travail.

Mes remerciements sont également adressés à mon directeur de thèse

Pr. Smail Kelaiaia, professeur à l’Université de Annaba, pour m’avoir

proposé le sujet de cette thèse ainsi que pour ses conseils et

orienta-tions.

Je suis fort reconnaissante envers Pr Ahcene Djoudi, professeur à l’

Université de Annaba, pour avoir accepté de présider le jury de cette

thèse.

Mes remerciements s’adressent également au Pr Diaba Fatima,

Pro-fesseur à l’UBMA, au Dr Nouar Ahmed, MCA à l’université de

Skikda, au Dr Messaoudene Hadia, MCA à l’université de Tebessa

ainsi qu’au Dr Bouchair Abderrahmane, MCA à l’université de Jijel,

pour avoir acceptrer d’évaluer ce travail et de faire partie du jury de

soutenance

Je saisis également cette occasion pour remercier tous les membres

de ma famille.

are among the principal toplogies that one can de…ne on the set of all continuous real valued functions on a topological space X (C(X)): The study of the properties of these spaces like completeness properties occupied numerous researchers since long years ago. They used di¤er-ent methodes to obtain caracterisations of these propertises. In this thesis we studied one of the

completeness properties of C(X); that is the so called -favorability and weak -favorability

properties in the the sens of White and Choquet. Unsing some topological games due to Cho-quet, Banach-Mazur and R.A McCoy, we obtained necessary and su¢ cient conditions for C(X)

to be weakely -favorabile in the framework of a set-open topology.

Key Words: Set-open topologies, Compact-open topologies, Jeux topologiques, -favorability,

R-compacity, Y -compacity

Resumé

Les topologies set-open sont une généralisation de la bien connue topologie compact-open. Ces topologies sont parmi les principales topologies que l’on peut dé…nir sur l’ensemble des fonctions réelles continues sur un espace topologique X (C(X)): L’étude des propriétés de ces

topologies telle que les propriétés de complétude occupa de nombreux chercheurs pendant de longues années. On a utilisé di¤érentes méthodes pour obtenir des caractérisations de ces propriétés. Dans cette thèse on a étudié une des propriétés de complétude de C(X); à savoir

la propriété d’ -favorabilité et d’ -favorabilité faible dans le sens de Choquet et White. En utilisant quelques jeux topologiques dues à Choquet, Banach-Mazur et R.A McCoy, nous

avons obtenu des conditions nécessaires et su¢ santes pour que C(X) soit faiblement -favorable dans le cadre d’une topologie set-open.

Mots-clés: Topologie set-open, Topologie compact-open, -favorabilité, Jeux topologiques,

CONTENTS

1 Topologies set-open sur C(X) 8

1.0.1 Introduction . . . 8

1.1 Dé…nitions, notations et Lemmes préliminaires . . . 8

1.2 Comparaison des topologies set-open et uniformes sur C(X) . . . 12

1.3 Comparaison de C (X) et C (X) . . . 14

1.4 Fonctions induites sur les espaces de fonctions . . . 19

2 Quelques propriétés de complétude dans C (X) 23 2.0.1 Introduction . . . 23

2.0.2 K-espaces et complétude de C(X) . . . 23

2.0.4 Pseudocompacité et complétude de C(X) . . . 29

3 Y-compacité et topologies set-open sur C(X; Y ) 31 3.0.5 Introduction . . . 31

3.1 Dé…nitions et Lemmes préliminaires . . . 31

3.2 Comparaison entre CB_{(X; Y )et C} ; (X; Y ) . . . 35

3.3 Comparaison de C (X,Y) et C (X,Y) . . . 41

4 Jeux topologiques sur C(X) 44 4.0.1 Introduction . . . 44

4.1 Jeu de Banach-Mazur BM(X) . . . 44

4.2 -favorabilité faible de C(X) muni d’une topologie set-open . . . 51

4.3 Jeu 1_{(X) . . . . 51}

4.4 Jeu 2_{(X) . . . . 53}

Introduction

L’ensemble C(X) des fonctions réelles continues sur un espace topologique X peut

classique-ment être muni des topologies de la convergence ponctuelle souvent notée Cp(X) et de la

convergence uniforme notée Cu(X) . Néanmoins, entre ces deux topologies, di¤érentes autres

topologies peuvent être dé…nies, on peut en citer la topologie du graphe, la topologie d’Isbel, la topologie compact open, les topologies set-open... C’est à ces dernières, à savoir les topolo-gies set-open, qu’on va s’intéresser dans cette thèse et particulièrement à l’étude de certaines

propriétés de complétude (Propriété de Baire, -favorabilité) de C(X) dans le cadre de ces

topologies. Une topologie set-open sur C(X) est une topologie dont les ouverts élémentaires sont de la forme

[A; V ] =_{ff 2 C(X; Y ) : f(A)} V_g

où A varie dans une collection non vide de parties de X et V varie dans une collection non

vide G d’ouverts de R.

Ces topologies ont été introduites par R.H. Fox [11] en 1945 (topologie compact-open). En 1946 R. Arens [2] démontra que cette topologie n’était autre que la topologie de la convergence uniforme sur les parties compactes de X. Pour suivant ses travaux sur cette topologie R. Arens avec la collaboration de J. Dugundji [10] généralisa cette notion a la notion de topologies set-open proprement dites et des études sur les propriétés de ces topologies ont été élaborés par ces deux auteurs. Plus tard (1985-1986) R.A McCoy et I. Ntantu [23][24][25] ont fait une étude plus extensive de ce sujet avec de nombreux résultats concernant essentiellement la caractérisation des propriétés de dénombrabilités, de métrisabilité et de complétude de C(X) dans le cadre de ces topologies. De nombreux autres auteurs ce sont intéressés à ces topologies et ont contribué depuis avec de nouveaux résultats sur la question : S. Kelaiaia [18], A. Bouchair & S. Kelaiaia [5][6][7], A. Osipov [33], S. Nokhrin [28]....La caractérisation de certaines des propriétés de complétude C(X) utilise ce qu’on appelle des jeux topologiques. Le premier jeu topologique est du au mathématicien polonais Mazur qui l’introduisit en 1935 comme technique pour caractériser la propriété de Baire, ce jeux porta plus tard le nom du jeux de Banach-Mazur. En 1969 G. Choquet apporta une modi…cation à ce jeu et introduisit la notion d’espace

-favorable. Les espaces faiblement -favorables sont dé…nis plus tard par H.E.White. Ainsi

la notion d’espace faiblement -favorable s’intègre très naturellement comme une propriété de

complétude intermédiaire entre la pseudo-complétude et la propriété de Baire. Notons que les propriétés d’ -favorabilité faible d’ -favorabilité et de pseudo-complétude coïncident pour la classe des espaces quasi-reguliers qui admettent des sous-espaces métrisables denses. Des jeux topologiques particulièrement adaptés à l’étude de l’ -favorabilité et l’ -favorabilité de C(X) seront plus tard développés par R.A. McCoy et I, Ntantu. Récemment dans des travaux de A. Osipov [33] et S. Nokhrin [28] ont été introduites les notions de R-compacité et Y -compacité qui sont d’une certaine façon des généralisations de la notion habituelle de pseudocompacité. L’introduction de ces notions et des travaux sur l’équiconnexité du à Önal [32] a parmi la dé…nition de nouvelles topologies set-open qui permettent une comparaison plus aisée entre ces topologies et celle de la convergence uniforme. Dans cette thèse nous avons combinés les travaux classiques sur les topologies set-open et les jeux topologiques avec les travaux récents sur la R-compacité et la Y -compacité pour obtenir des résultats sur la comparaison entre des topologies setopen et les topologies uniformes correspondantes. Des conditions sur l’ -favorabilité faible de C(X) avec une topologie set-open ont également été obtenues en utilisant les jeux topologiques de Banach-Mazur, de G. Choquet et de R.A.McCoy.

Cette thèse comporte quatre chapitres

Dans le premier chapitre on introduit des notions préliminaires relatives aux topologies set-open et aux topologies de la convergence uniforme sur des familles de compactes de X: On introduit des familles particulières de parties compacts de X et on expose certaines de leurs propriétés qui sont utiles à l’étude des topologies set-open et uniformes considérées. Nous donnons également quelques résultats classiques relatifs à ces topologies.

Dans le chapitre 2 on revient sur des propriétés classiques de complétude de C(X) telles que la

complète métrisabilité la propriété de k-espace, de kr -espace et on donne des caractérisations

de ces propriétés dans le cadre des topologies set-open et de convergence uniforme considérées dans ce travail

Dans le chapitre 3 on introduit les notion de R-compacité et Y -compacité en donnant leurs propriétés. La notion d’équiconnexité est également introduite et ses propriétés données. Ces

notions sont fort utiles pour faire des comparaisons des topologies set-open et uniformes. Des

topologies set-open dé…nies à l’aide des familles de parties Y compacts sont présentées et des

résultats sur la comparaison de ces topologies avec celle de la convergence uniforme sur ces familles sont établis.

Dans le chapitre 4 on donne le résultat principal de notre travail qui est une caractérisation des propriétés de complétude d’ -favorabilité faible par les jeux topologiques de Banach-Mazur, Choquet et R.A McCoy et en utilisant les notions de R-compacité et Y -compacité pour dé…nir la topologie set-open objet de notre étude. Nous réussissons à établir des conditions pour l’

-favorabilité faible de C(X) dans le cadre de cette topologie: Ce résultat a fait l’objet d’une

publication internationale: Weak -favorability of C(X) with a set-open topology, GJPAM,

Vol 12 No 6(2016), pp 5017-5026. .

Topologies set-open sur C(X)

1.0.1

Introduction

Dans ce chapitre on présentera les principales notations et dé…nitions qui concernent certaines topologies set open dé…nies sur C(X), nous introduirons les familles de parties de X qui servent à dé…nir ces topologies telles que des familles dites admissibles, faiblement admissibles, réseaux... et nous donnons quelques unes de leurs propriétés. Nous reviendrons également sur quelques aspects comparatives entre ces topologies et les topologies de la convergence uniforme ainsi qu’entre ces topologies elles même, lorsqu’elles sont dé…nies par des familles di¤érentes de sous ensembles de X.

Dans toute la suite de ce travail, sauf mention du contraire, les espaces topologiques considérés

seront supposés complètement réguliers, i.e. si X désigne un tel espace avec sa collection

d’ouverts, alors (X; ) est séparé et pour tout x 2 X et tout fermé F ne contenant pas x, il existe une application continue f dé…nie sur X à valeur dans l’intervalle [0; 1] tels que f (x) = 1 et f (F ) = f0g.

1.1

Dé…nitions, notations et Lemmes préliminaires

Soit X un espace topologique. C(X) l’ensemble des applications continues de X à valeurs dans R. On dit qu’une topologie sur C(X) est une topologie set-open [2],[3] si elle est engendrée

1.1 Dé…nitions, notations et Lemmes préliminaires 10

par des sous-ensembles de C(X) de la forme

[A; V ] =_{ff 2 C(X) : f(A)} V_g

où A varie dans une collection non vide de parties de X et V varie dans une collection non

vide G d’ouverts de R. On note R la collection des ouverts usuels de R et IR la collection

des intervalles ouverts bornés de R. Di¤érentes topologies set-open peuvent être dé…nies sur

C(X) en fonction des propriétés des éléments de la famille : Dans les chapitres 1 et 2 on

supposera que la famille est constituée de parties compactes de X et on présentera dans ce

cadre certaines propriétés de C(X):

Soit une collection non vide de compacts de X.

On considèrera sur C(X) les topologies set-open suivantes :

La topologie 1

engendrée sur C(X) par la collection f[A; V ] : A 2 ; V 2 IRg.

On note C1_{(X) l’espace topologique obtenu.}

La topologie 2

engendrée sur C(X) par la collection f[A; V ] : A 2 ; V 2 Rg.

On note C2_{(X) l’espace topologique obtenu.}

On écrit (X; 1) (X; 2)pour signi…er que la topologie 1 est moins …ne que la topologie

2. Par exemple, on a C1(X) C2(X):

On dé…nit une structure uniforme sur C(X) à partir de la structure uniforme usuelle de R

notée . Pour tout A 2 et 0, soit

hA; i = f(g; f) 2 C(X) C(X) : _{jf(x); g(x)j} ;_{8x 2 Ag}

La collection fhA; i : A 2 ; 0_{g est une base pour une structure uniforme sur C(X).}

La topologie induite par cette dernière, noté ; , , est appelée topologie de la convergence

uniforme sur les éléments de . C(X) muni de la topologie ; , sera noté C ; (X).

Pour tout f 2 C(X), A 2 et 0, posons

hf; A; i = fg 2 C(X) : jf(x) g(x)_j ;_{8x 2 Ag}

Pour chaque f 2 C(X), la collection fhf; A; i : A 2 ; 0_{g forme une base de voisinages de}

Si =_{fXg, alors} ; = est la topologie de la convergence uniforme. C(X) muni de la

topologie est noté C (X). Il est clair que C ; (X) C (X)pour toute famille de parties

de X.

Lorsque est la collection de tous les compacts de X, l’espace C2_{(X) n’est autre que}

l’espace CK(X) obtenu en munissant C(X) de la topologie compact-open. Dans [2], Arens a

montré que la topologie compact-open est égale à la topologie de la convergence uniforme sur

les compacts de X. Lorsque est la collection des parties …nies de X, l’espace C1_{(X) = C}2_(X)

n’est autre de l’espace Cp(X) obtenu en munissant C(X) de la topologie de la convergence

simple.

Pour obtenir des caractérisations de certaines propriétés topologiques de C(X) muni d’une topologie set-open, on impose certaines conditions à la famille .

1. Une famille non vide de sous-ensembles de X est appelée réseau (network) de X si

pour tout x 2 X et pour tout voisinage Ox de x, il existe A 2 tel que x 2 A Ox. Si tous

les éléments de sont des sous espaces compacts de X, on dit réseau de compacts [3].

2. Soit et deux familles non vides de parties de X. On dit que re…ne ou que est

un re…nement de ou que est re…née _{si pour tout A 2 ; il existe B 2} tel que A B.

3. Une famille non vide _{de compacts de X est dite admissible si pour tout A 2 , toute}

suite …nie V1; :::; Vn d’ouverts de X recouvrant A, il existe une suite …nie A1; :::; Am d’éléments

de re…nant V1; :::; Vn et recouvrant K [21].

4. Soit et deux familles de compacts de X. On dit que approxime si pour tout

A₂ et pour tout ouvert V de X tel que A V, il existe une famille …nie B1; :::; Bn d’éléments

de telle que A _[n

i=1Bi V [21].

5. Une famille non vide de compacts de X est dite faiblement admissible si pour tout

A₂ et toute suite …nie V1; :::; Vn d’ouverts de X deux à deux disjoints telle que A

n

[

i=1Vi, il

existe une suite …nie A1; :::; Am d’éléments de re…nant V1; :::; Vn et recouvrant A.

Remarquons que toute famille admissible est faiblement-admissible et la famille de tout les compacts de X est admisssible.

1.1 Dé…nitions, notations et Lemmes préliminaires 12 …nie V; V1; :::; Vn d’ouverts de R, on a 1. _\n i=1[Ai; V ] = h n [ i=1Ai; V i : 2. _\n i=1[A; Vi] = h A; _\n i=1Vi i . 3. _\n i=1[Ai; Vi] h n [ i=1Ai; n \ i=1Vi i .

4. Soit V 6= R, A un compact de X et supposons que ; 6=_i=1\n [Ai; Vi] [A; V ]. Alors A

n

[

i=1Ai.

Preuve. (1), (2) et (3) découlent directement de la dé…nition de l’ouvert [A; V ].

Montrons 4). Supposons que A _[n

i=1Ai 6= ;: Soit x0 2 A n [ i=1Ai et f 2 n \ i=1[Ai; Vi] :

1ier cas. Supposons que f (x0) = 0: Fixons a =2 V: Soit g : X ! R continue telle que

g(x0) = a et g(

n

[

i=1Ai) =f0g : La fonction f1 = f + g est continue et véri…e:

f1(x) = f (x) + g(x) = f (x)2 Vi pour tout x 2 Ai; i = 1; :::; n

f1(x0) = f (x0) + g(x0) = g(x0) = a =2 V

Donc f1 2

n

\

i=1[Ai; Vi] et f1 2 [A; V ] ; ce qui est impossible.=

2ieme cas. Supposons que f (x0)6= 0. Soit a 2 R tel que af(x0) =2 V: Nécessairement a 6= 1

car f (x0) 2 V: Soit g : X ! R continue et telle que g(x0) = a et g(

n [ i=1Ai) = f1g : Posons f1 = f g: On a f1(x) = f (x)g(x) = f (x)2 Vi pour tout x 2 Ai; i = 1; :::; n f1(x0) = f (x0) + g(x0) = af (x0) =2 V D’où f1 2 n \

i=1[Ai; Vi] et f1 2 [A; V ] ; ce qui est à nouveau impossible car=

n

\

i=1[Ai; Vi] [A; V ] :

Donc A _[n

i=1Ai.

D’après le lemme ci-dessus, on remarque que si est une collection de compacts d’un

espace topologique X, et 0 la collection des unions …nies d’éléments de , alors

1.2

Comparaison des topologies set-open et uniformes

sur

C(X)

Dans [18], il est démontré que lorsque est une famille admissible alors la topologie de la

convergence uniforme sur les éléments de est identique à la topologie set-open engendrée par

.

Le théorème qui suit permet, pour une certaine collections , de se limiter a considérer

que des ouverts de la forme [A; V ] avec A 2 et V 2 R dans l’étude de C2(X), voir [16] pour

plus de détails. Rappelons qu’une famille de compacts de X est faiblement-admissible si pour

tout A 2 et toute collection …nie G d’ouverts de X deux à deux disjoints recouvrant A, il

existe une sous collection …nie K d’éléments de recouvrant K et re…nant G.

Théorème 1.2.1 Soit une famille de compacts de X.

Alors, C1_{(X) = C}2_{(X) si et seulement si est faiblement-admissible.}

Rappelons qu’une collection _{de parties de X est un réseau si pour tout point x 2 X et}

tout ouvert V contenant ce point, il existe A 2 tel que x 2 A V.

Théorème 1.2.2 Soit une famille de compacts de X.

Alors Cp(X) C1(X) si et seulement si est un réseau dans X.

Preuve. Supposons que Cp(X) C1(X) et montrons que est un réseau dans X. Soit donc

x0 2 X et V un ouvert de X tel que x0 2 V . On doit montrer qu’il existe A 2 tel que

x0 2 A V. Comme X est complètement régulier, soit f : X ! [0; 1] une application continue

telle que f (x0) = 0 et f (Vc) = f1g. Posons W = ] 1; 1[. On a f 2 [fx0g ; W ] et [fx0g ; W ]

est un ouvert de Cp(X). Comme Cp(X) C1(X), soit A1; :::; An une suite d’éléments de et

V1; :::; Vn une suite d’intervalles ouverts bornés de R tels que

f _{2 \}n

i=1[Ai; Vi] [fx0g ; W ]

D’après le lemme 1.1.1, on a x0 2

n

[

i=1Ai. Montrons qu’il existe i0 tel que x0 2 Ai0 V. Posons

1.2 Comparaison des topologies set-open et uniformes sur C(X) 14

Montrons que Ic

6= ;. Supposons que I = f1; :::; ng. La fonction g constamment égale à 1 est

dans _\n

i=1[Ai; Vi] car 1 2 Vi pour tout i du fait que Ai\ V

c

6= ;. Mais alors g 2 [fx0g ; W ], on a

une contradiction. Donc Ic

6= ;.

Supposons que pour tout i 2 Ic ₌

fi : x0 2 A= i ou Ai\ Vc =;g on ait x0 2 A= i. On construit

alors h : X ! [0; 1] continue telle que h(x0) = 1 et h( [

i2IcAi) = f0g.

La fonction = max(f; h)est continue et véri…e:

(x) = max(f (x); h(x)) = f (x)_{2 V}i pour tout x 2 Ai avec i 2 Ic.

(x) = max(f (x); h(x))_{2 [0; 1]} Vi pour tout x 2 Ai avec i 2 I,

car dans ce cas on a Ai\ Vc 6= ; et x0 2 Ai.

D’où …nalement, _{2 \}n

i=1[Ai; Vi] et 2 [fx= 0g ; W ] ce qui impossible. Donc il existe i 2 I

c _tel

que x0 2 Ai0 V.

La condition su¢ sante est immédiate.

Théorème 1.2.3 Si est une famille admissible de compacts de X, alors

C1(X) = C2(X) = C ; (X):

Preuve. Puisque une famille admissible est faiblement-admissible, on a C1_{(X) = C}2_{(X) en}

vertu du Théorème 1.2.1. Montrons que C ; (X) = C2(X).

( )_{: Soit f 2 [A; V ], où A 2 et V un ouvert de R. puisque f(A)} V_{, alors pour tout x 2 A}

il existe un nombre réel positif "x tel que ]f (x) "x; f (x) + "x[ ]f (x) 2"x; f (x) + 2"x[ V:

Donc on a

f (A) _[

x2A]f (x) "x; f (x) + "x[ V

Comme f (A) est compact, alors il existe une suite …nie x1; :::; xn d’éléments de A telle que

f (A) _[n

i=1]f (xi) "xi; f (xi) + "xi[ V

Posons " = min f"xi i = 1; :::; ng. On a alors

hf; A; "i = fg 2 C(X; Y ) 8x 2 A; jf(x) g(x)_j "_g [A; V ]

( ): Montrons que si est admissible alors C ; (X) C2(X):Soit f 2 hf; A; "i avec A 2 et

" 0 _{un nombre réel. Comme f (A) est compact, on peut choisir une famille …nie fI}i : i2 Ig

d’ouverts de diamètre inférieur à " telle que f (A) _[

i2IIi. On a

A _[

i2If 1_(I

i) :

Comme est admissible, soit une famille …nie A1; :::; An d’éléments de recouvrant A et

re…nant ff 1(Ii) : i2 Ig. Pour chaque j 2 f1; :::; ng , soit ij 2 I telle que Aj f 1 Iij .

Montrons que

f _{2 \}n

j=1 Aj; Iij hf; A; "i :

En e¤et, soit g 2 _j=1\n Aj; Iij . Soit x 2 A. Pour un k 2 f1; :::; ng, on a x 2 Ak et g(x) 2 Iik.

Comme f (x) 2 Iik, on a jf(x) g(x)j ". Donc g 2 hf; A; "i : On a bien C ; (X) C

2_(X).

D’où les égalités annoncées.

Corollaire 1.2.1 La topologie compact-open est égale à la topologie de la convergence uniforme.

Dans tout ce qui suit les espaces C1(X), C2(X) coïncident pour une famille admissible

de compacts de X, et seront notés tout simplement par C (X).

1.3

Comparaison de C (X) et C (X)

Dans ce paragraphe on va donner deux familles et de compacts de X et on va comparer

à l’aide de leurs propriétés respectives les topologies de C (X) et C (X):

Théorème 1.3.1 [25] Soit et deux réseaux de compacts de X. Si C (X) C (X) alors

chaque éléments de est inclus dans une union …nie d’éléments de .

Preuve. _{Soit A 2 . Soit f}0 la fonction identiquement nulle sur X et V un ouvert de R

contenant 0. Alors [A; V ] est un voisinage ouvert de f0 dans C (X). Comme C (X) C (X),

il existe une suite B1; :::; Bn d’éléments de et une suite V1; :::; Vn d’ouverts de R tel que

f0 2

n

\

i=1[Bi; Vi] [A; V ]

Le lemme 1.1.1, donne alors que A _[n

1.3 Comparaison de C (X) et C (X) 16

Remarque 1.3.1 La réciproque de ce Théorème est fausse. S. Kelaiaia [16] a donné le contre

exemple suivant:

Soit X = [0; 1] , = _{ffxg x 2 Xg [} 0;1

3 ;

2

3; 1 et =ffxg x 2 Xg [ f[0; 1]g. Il est

clair que et sont des réseaux de X tel que tout élément de soit contenu dans un élément

de , mais la topologie de C (X) n’est pas moins …ne que celle de C (X):

Théorème 1.3.2 [18]Soit et deux familles de compacts de X. Si approxime alors

C2_{(X) C}2_{(X). Si de plus est admissible, alors la réciproque est vraie.}

Preuve. Supposons que approxime et montrons que C2_{(X) C}2_(X)

. Soit f 2 C(X).

Soit [A; V ] un voisinage ouvert de f dans C2_(X)

, avec A 2 et V un ouvert de R. On a

A f 1_{(V ). Comme}

approxime , soit fB1; :::; Bng tel que

A _[n

i=1Bi f

1_{(V )}

On a donc f 2 _i=1\n [Bi; V ]. Comme

n \ i=1[Bi; V ] h n [ i=1Bi; V i et que A _[n i=1Bi on a n \ i=1[Bi; V ] [A; V ] D’où C2_{(X) C}2_(X).

Réciproquement supposons admissible et C2(X) C2(X). Montrons que approxime .

Soit A 2 et G un ouvert de X tel que A G_{. Soit f : X ! [0; 1] continue telle que}

f (A) =_{f0g et f(G}c) = _{f1g. Posons W =} 1₂;1_{2 . On a f 2 [A; W ] et f} 1(W ) G. Comme

C2_{(X) C}2_(X)

, soit fB1; :::; Bng et V1; :::; Vn des intervalles ouverts bornés tels que

f _{2 \}n

i=1[Bi; Vi] [A; W ]

On a alors A _[n

i=1Bi. Montrons que

n [ i=1Bi G, Notons B = B1:Bc = B0 _{et I = f1; :::; ng et soit} 4 = ( i)_i2I 2 f0; 1gn f(0; :::; 0)g \ i2IB i i \ A 6= ;

On a

A _[

( i)24 i2I\

B i

i

Fixons = ( i)_i2I dans 4 et montrons que \

i=1 Vi W Supposons que _\ i=1 Vi W 6= ; puis prenons t 2 \ i=1 Vi W. On peut supposer t 0

( le cas t 0 est similaire). Soit x0 2 \

i2IB i i \ A, alors x0 2 \= i=0 Bi et f (x0) = 0 2 \ i=1 Vi

Soit 0 tel que

min inf _jt s_{j s 2 \} i=1 Vi c ; inf _{jsj s 2 \} i=1 Vi c

Par continuité de f et du fait que x0 2 \=

i=0

Bi, on peut prendre un voisinage ouvert U de x0 tel

que

U_{\ [}

i=0

Bi =; et jf(y)j pour tout y 2 U

Considérons une fonction continue g : X ! [0; t] telle que g(x0) = t; g(Uc) = 0

Posons h = f + g. On a h 2 \

i2I[Bi; Vi] :

En e¤et, si Bi\ U 6= ; alors i = 1 et pour tout y 2 Bi\ U, on a

h(y) = f (y) + g(y)_{2 ]} ; t + [ Vi

et si y 2 Bi U, on

h(y) = f (y)_{2 V}i

Mais d’autre part h(x0) = f (x0) + g(x0) = t =2 W et donc h =2 [A; W ], ce qui est impossible.

Donc

\ i=1

Vi W

Par ailleurs, pour chaque ( i)_i2I 2 4,nous avons \

i2IB i i \ i=1 Bi et sachant que A _{[ \} i2IB i i ( i)2 4

1.3 Comparaison de C (X) et C (X) 18 on a A _{[ \} i=1 Bi ( i)2 4 Mais comme \ i=1 Vi W, on a f ( _\ i=1 Bi) \ i=1 f (Bi) \ i=1 Vi W et donc \ i=1 Bi f 1(W ). D’où A _{[ \} i=1 Bi ( i)2 4 f 1(W )

En appliquant le lemme 129 au compact \ i=1

Bi 2 0 on obtient pour chaque ( i)2 4 une suite

…nie ( i) tel que

\ i=1 Bi [ B B 2 ( i) f 1_{(W )} D’où A _{[ \} i=1 Bi ( i)2 4 [ ( i)24 [B B 2 ( i) f 1 (W ) G: et donc approxime .

Remarque 1.3.2 La condition ” est admissible” dans la réciproque du théorème (1.3.2)

ne peut pas être a¤aiblie. En e¤et, soit X = [0; 1] ; = 0;1₂ et = 0;1₄ ; 1₄;1_{2 [} 3₄ :

On véri…e que C2_{(X) C}2_{(X) mais que n’approxime pas .}

Corollaire 1.3.1 Soit et deux familles admissibles de compacts de X. Alors, C2(X)=C2(X)

si et seulement si et s’approximent mutuellement.

Nous terminons cette section en remarquant que si Y est un sous espace topologique de X

et que si est une famille de parties de X, alors _{\ Y = fA \ Y=A 2 g est une famille de}

parties de Y tel que C _\Y(Y ) est l’espace des fonctions continues sur Y muni de la topologie

Théorème 1.3.3 Si _{est une famille admissible de compacts de X et A 2 ,}

alors C _\A(A) = C (A).

Preuve. Comme A est compact, alors C (A) = CK(A). Donc tout ouvert de C \A(A) est un

ouvert de C (A). Pour le cas inverse, soit f 2 C (A) et 0. Montrons qu’il existe un ouvert

dans C _\A(A) _{contenu dans hf; A; i. La famille}

n

f 1 if (a)

3; f (a) +3

h

: a_{2 A}o

est un recouvrement ouvert de A. comme A est compact, il existe une partie …nie A1 de A telle

que la famille U =nf 1 if (a) 3; f (a) +3 h : a_{2 A}1 o

recouvre A. Par ailleurs étant admissible, donc il existe une suite …nie d’éléments de qui

recouvre A et re…ne U . Donc pour tout B 2 il existe a B 2 A tel que

f (B) VB =

i f (aB)

3; f (aB) + 3 h

Posons W = \f[A \ B; VB] : B2 g qui est un voisinage ouvert de f dans C \A(A).

Montrons que W _{hf; A; i.}

Soit g 2 W , donc g(A \ B) VB pour tout B 2 . Comme A [

B2 (A\ B), alors on a

g(A) g( _[

B2 (A\ B)) = [B2 (g(A\ B)) B2[ VB

Ceci signi…e que g 2 hf; A; i. D’où le résultat.

Proposition 1.3.1 Soit X un espace topologique, Y un sous-espace fermé non vide de X. Si

est une famille admissible de compacts de X, alors _{\Y est une famille admissible de compacts}

de Y .

Preuve. Il est évident que _{\ Y est une famille de compacts de Y .}

Montrons qu’elle est admissible. Soit B 2 \ Y et G0

1; :::; G0n une suite …nie d’ouvert de Y

recouvrant B. Comme B 2 \ Y , alors il existe A 2 telle que B = A \ Y . D’autre part,

pour tout i = 1; :::; n il existe un ouvert Gi de X tel que G0i = Gi\ Y . Donc A

n

[

i=1Gi Y

1.4 Fonctions induites sur les espaces de fonctions 20

où Yc _{est le complémentaire de Y dans X. Puisque est admissible, alors il existe une suite}

…nie K1; :::; Km d’éléments de recouvrant A et re…nant la famille G1; :::; Gn. Considérons la

famille fKi\ Y : i = 1; :::; ng \ Y . On a

B _[m

i=1(Ki \ Y )

Montrons que la famille fKi\ Y : i = 1; :::; mg re…ne la famille G01; :::; G0n:Soit Ki\ Y 2 \ Y .

Il existe Gj tel que Ki Gj . Donc Ki\ Y \ Gj = G0j.Le cas Gj = Yc ne …gure pas, sinon

on obtiendrait Gj\ Y = ;. Donc Ki\ Y = ;, ce qui n’est pas le cas. D’où \ Y est une famille

admissible de compacts de Y .

1.4

Fonctions induites sur les espaces de fonctions

Etant donnée une application continue : X _{! Y; nous allons considérer l’application}

: C(Y ) _{! C(X) dé…nie par} (f ) = f et communément appelée fonction induite

par :Cette fonction est utile pour l’étude de certaines propriétés topologiques des espaces de

fonctions.

Nous traitons dans ce qui suit des propriétés de lorsque C(X) et C(Y ) sont munis de

topologies set-open dé…nies par deux familles et de X et de Y respectivement.

Dans la suite nous adoptons les notations suivantes. Si A est une collection de parties de X et

B est une partie de X, on note

\A = \ fA A 2 Ag ; [ A = [ fA A 2 Ag et A \ B= fA\B A 2 Ag : Si de plus f est une application de X dans l’ensemble Y , on note f (A) = ff(A) A 2 Ag.

Théorème 1.4.1 Soit et deux familles de compacts de X et Y respectivement et : X _!

Y une fonction continue. Si approxime ( ) alors : C (Y )_{! C (X) est continue. Si de}

plus est admissible la réciproque est vraie.

Preuve. Supposons que approxime ( ) et montrons que _{est continue. Soit f 2 C(Y ),}

L’hypothèse d’approximation entraîne qu’il existe une collection fB1; :::; Bng telle que

(A) _[n

i=1Bi f

1_{(V )}

On a donc f 2 \n

i=1[Bi; V ]. Montrons que (

n

\

i=1[Bi; V ]) [A; V ]. Soit h 2

n \ i=1[Bi; V ] et soit x_{2 A. On a (x) 2 [}n i=1Bi h 1_{(V )}

. Donc h( (x)) 2 V et donc (h)(x) = h (x)_{2 V . par}

suite (h)_{2 [A; V ]. D’où la continuité de} .

Supposons que soit admissible et que soit continue. Montrons que la topologie de

C ( )(Y )est moins …ne que la topologie de C (Y ). Soit A 2 , V ouvert de R et f 2 [ (A); V ].

On a (f ) = f _{2 [A; V ]. La continuité de entraîne qu’il existe fB}1; :::; Bng et

V1; :::; Vn des intervalles ouverts dans R tels que

f _{2 \}n

i=1[Bi; V ] ( )

1

([A; V ]) [ (A) ; V ]:

D’où la topologie de f 2 C (Y ) est plus …ne que la topologie de C ( )(Y ). D’après le Théorème

1.3.2, on a approxime ( ).

Lemme 1.4.1 [18] Soit X un espace topologique, K un compact non vide de X, F un fermé

de X et f : X ! R une application continue telle que f(K \ F ) V où V est un intervalle

ouvert borné. Alors il existe f1 : X ! R continue telle que f1j_F = fj_F et f1(K) V.

Lemme 1.4.2 [18] Soit X un espace topologique, Y un sous espace fermé de X, une

col-lection de compacts de X et soit g 2 C(Y ) une fonction prolongeable en une fonction continue

sur X. Soit B1; :::; Bn 2 et V1; :::; Vn des intervalles ouverts bornés tels que g(Bi \ Y ) Vi

pour tout i = 1; :::; n.

Alors, il existe g0 _{2 C(X) prolongeant g telle que g}0_(B

i\ Y ) Vi pour tout i = 1; :::; n.

Preuve. _{On procède par récurrence. Soit g 2 C(Y ), B 2} et V un intervalle ouvert borné tel

que g(B \ Y ) V. Alors en appliquant le lemme 1.5.1 avec F = Y et K = B, on obtient une

fonction g0 _{2 C(X) prolongeant g et telle que g}0_{(B) V. Supposons la propriété vraie jusqu’à}

n. Montrons que si B1; :::; Bn+1sont des éléments de et V1; :::; Vn+1 sont des intervalles ouverts

1.4 Fonctions induites sur les espaces de fonctions 22

tel que g0_{(B) V pour tout i = 1; :::; n + 1. Par hypothèse on a g((B}

i\ Bn+1)\ Y ) Vi\ Vn+1

pour tout i = 1; :::; n. L’hypothèse de récurrence entraîne qu’il existe g0

1 2 C(X) prolongeant g

et véri…ant g0

1(Bi\ Bn+1) Vi\ Vn+1 pour tout i. On pose

Y1 = Y [

h n

[

i=1(Bi\ Bn+1)

i

On a g1(Bi) Vi pour tout i = 1; :::; n + 1. En appliquant le lemme 1.5.1 à g10jY1 avec F = Y1 et

K = Bn+1, on obtient une fonction g02 2 C(X) prolongeant g10jY1 et telle que g

0

2(Bn+1) Vn+1.

Remarquons que g0

2(Bi\ Bn+1) Vi pour tout i = 1; :::; n.

A nouveau on pose Y2 = Y1 [ Bn+1. On véri…e que g20(Bi \ Y2) Vi pour tout i = 1; :::; n.

L’hypothèse de récurrence appliquée à Bi \ Y2 pour tout i = 1; :::; n, permet de prolonger

g0

2jY2 à tout X en une fonction continue g

0

3 véri…ant g03(Bi) Vi pour tout i = 1; :::; n et on a

g0

3(Bn+1) = g20(Bn+1) Vn+1: La fonction g0 = g30 est donc la fonction cherchée.

Théorème 1.4.2 Soit X un espace topologique, Y un sous espace fermé de X, une famille

faiblement- -admissible de compacts de X et une famille admissible de compacts de Y . Soit

i : Y _{! X l’injection canonique. Alors i : C (X) ! C (Y ) la fonction induite de i est ouverte}

sur son image si et seulement si approxime _{\ Y .}

Preuve. Supposons que _{approxime \Y . Soit \}n

i=1[Bi; Vi]un ouvert de base de C (X), et soit

f _{2 i \}n

i=1[Bi; Vi] et f

0 _{2 C(X) prolongeant f tel que f 2 \}n

i=1[Bi; Vi]. Puisque approxime

\ Y , on a pour tout i = 1; :::; n, il existe une sous famille i de la famille tels que

Bi\ Y [ fA A 2 ig f 1_(V 1): Donc f _{2 \}n i=1A2\i [A; Vi]\ i (C(X)) = W:

Il est aisé de voir que W f _{2 i \}n

i=1[Bi; Vi] . D’où i est ouverte sur son image.

Inversement, soit B 2 , G un ouvert de Y tel que B \ Y G et soit G1 un ouvert de X tel

que G1\ Y = G. L’ouvert G2 = G1[ (X Y ) de X contient B et véri…e G2\ Y = G1\ Y = G.

Soit f : X ! [0; 1] continue telle que f(B) = f1g et f(Gc

2) = f0g. Posons V =

1 2;

3

fonction f véri…e donc f 1_{(V ) G}

2. Et donc f 1j_Y (V ) G. Considérons dans C (X)

l’ouvert [B; V ]. On a alors f 2 [B; V ]. Par hypothèse i ([B; V ]) est un ouvert de i (C(Y )),

donc i (f ) = f jY 2 i ([B; V ]). Alors il existe A1; :::; An2 et V1; :::; Vn des intervalles ouverts

bornés tel que

f_{jY 2 \}n

i=1[Ai; Vi]\ i (C(Y )) i ([B; V ]) :

Il est aisé de voir que B \ Y _i=1\n Ai. Notons A = A1, X A = A0 et I = f1; :::; ng et soit

= ( i)i2I 2 f0; 1g n f(0; :::; 0)g B \ Y \ ( \ i2IA i i )6= ; Donc B_{\ Y [ \} i2IA i i ( i)2 et _\ i=1

Vi V pour chaque i 2 . On en déduit que

B_{\ Y [ \}

i=1

Ai i 2 f 1 _Y (V ) :

Par ailleurs, l’admissibilité de nous donne que pour chaque ( i)2 il existe i …ni tel

que \ i=1 Ai [ A A 2 i f 1 Y (V ) : D’où B_{\ Y [} i2 A2[ _i A f 1 _Y (V ) G Donc approxime _{\ Y .}

CHAPTER 2

Quelques propriétés de complétude dans

C (X)

2.0.1

Introduction

Les propriétés de complétude d’un espace topologique s’étendent de la propriété de Baire à la propriété de complète métrisabilité en passant par les propriétés de pseudo-complétude, de la complétude de Cµesh, de l’ -favorabilité... L’étude des propriétés de complétude de C(X) a intéressé de nombreux auteurs. En particulier R.A. McCoy et I. Ntantu [24] donnent des

caractérisations pour la complétude uniforme et la complète métrisabilité de Ck(X)et donnent

une condition nécessaire pour que Ck(X) soit un espace de Baire. Dans ce qui suit, nous

présentons des extensions de ces résultats(Voir [18)] à C (X) lorsque est une famille admissible

de compacts de X.

2.0.2

K-espaces et complétude de

C(X)

Soit une famille de compacts de X. Rappelons que:

1. X est appelé kR espace si toute fonction réelle dé…nie sur X est continue dès qu’elle a

ses restrictions sur chaque compact de X continues. Nous dirons que X est _R espace si toute

fonction réelle dé…nie sur X est continue dès que ses restrictions sur chaque élément de sont

2. X est appelé k espace si toute partie de X est fermée dès que ses traces sur chaque

compact de X sont fermés. Nous dirons que X est un espace si toute partie de X est fermée

dès que ses traces sur chaque élément de sont fermées.

3. X est dit hémicompact s’il possède une suite de compacts de X re…née par la collection

des compacts de X. Nous dirons que X est hémicompact si re…ne une sous-collection

dénombrable de .

4. L’espace X est un espace de Baire si toute suite d’ouverts denses dans X a une inter-section dense dans X.

5. Un sous-ensemble A de X est dit pseudocompact si toute fonction réelle dé…nie et continue sur A est bornée.

Nous noterons D (X) l’ensemble des applications réelles sur X dont la restriction à chaque

éléments de est continue et que nous munissons de la topologie de la convergence uniforme

sur les éléments de .

Lemme 2.0.3 Si X est un _{R espace et que [ fA A 2 g 6= X alors X est la somme}

topologique de [ fA A 2 g et d’un espace discret.

En e¤et. posons =_{[ fA A 2 g et B = X} . Soit x un point non isolé dans X.

Preuve. _{Supposons que x 2 B et soit g 2 R}X _{telle que g(y) = f}

0(y) = 0 pour tout y 6= x et

g(x) = f0(x) + 1 = 1 (f0 étant la fonction nulle). Comme gjA= f0jA pour tout A 2 et que

X est un _{R espace alors g 2 C(X): L’ensemble X fxg est dense dans X (car x n’est pas}

isolé). Comme f0 et g coïncident sur X fxg, elles sont égales, ce qui est impossible. Donc B

est constitué de points isolés de X et donc est ouvert.

Montrons que B est fermé. Supposons le contraire. Soit x un point de B B. On dé…nit

g _{2 R}X

en posant g(y) = 0 pour tout y 2 et g(y) = 1 pour tout y 2 B. A nouveau on a

g _{2 C(X). Comme x 2 B nécessairement par continuité g(x) = 1 ce qui contredit le fait que}

g(x) = 0 _{car x 2 . Donc B est fermé.}

Donc X est la somme topologique de [ fA A 2 g et de l’espace discret B.

Quelques propriétés de complétude dans C (X) 26

Preuve. _{Soit ff}i i2 Ig une suite généralisée de Cauchy pour la structure uniforme de la

convergence uniforme sur les éléments de . Montrons qu’elle converge dans D (X). Pour tout

A _{2 ; ff}ij_A i2 Ig est une suite généralisée de Cauchy dans C (A) (où C (A) est l’espace

des fonctions continues sur A muni de sa structure de la convergence uniforme sur A). L’espace

C (A)_{étant complet. la suite généralisée ff}ij_A i2 Ig converge dans C (A) vers une fonction

fA 2 C (A). On dé…nie f 2 RX telle que f jA = fA pour tout A 2 . La fonction f est bien

dé…nie et car pour tout A; B 2 on a f_AjA

\B = fBjA\B. En e¤et, en supposant le contraire on

peut trouver x 2 A \ B tel que fA(x)6= fB(x). Mais fA(x)et fB(x)sont limites respectives de

fij_A(x) et fij_B(x) et donc pour un certain rang i0, fi0(x) = fi0jA(x)6= fi0jB(x) = fi0(x);ce

qui est contradictoire. Donc f est bien dé…nie et f 2 D (X) car pour tout A 2 , fjA = fA.

De plus il est clair, d’après la dé…nition de la structure uniforme de la convergence uniforme

sur les éléments de _{que ff}i i2 Ig converge vers f dans D (X). Donc D (X) est complet

pour sa structure uniforme sur les éléments de .

Corollaire 2.0.1 Si X est un _R espace alors C2_{(X) est uniformément complet.}

Preuve. Si X est un _R espace alors C (X) = D (X):

Lemme 2.0.4 Soit X est un espace topologique, une famille admissible de compacts de X,

K un élément de _{et U un ouvert non-vide de X tel que K \ U 6= ;. Alors il existe K}0 _{2 tel}

que K0 _U:

Preuve. Soit X. On a K U _{[ fxg}c. Comme _{est admissible, il existe fK}1; :::; Kng

recouvrant K et re…nant fU; fxgcg. Soit Ki tel que x 2 Ki. Nécessairement K0 = Ki U:

Théorème 2.0.4 Soit _{une famille admissible de compacts de X véri…ant [ fA A 2 g = X.}

Si C2(X) = C (X) est uniformément complet alors X est un _R espace.

Preuve. On peut supposer la famille stable pour les unions …nies, on la suppose alors dirigée

par l’inclusion. Supposons que C (X) soit complet. Soit f _{2 R}X _{telle que f jA} soit continue

pour tout A 2 . Montrons que f est continue. Pour tout A 2 , soit fA un prolongement

de Cauchy. En fait pour tout A; B; C 2 tel que A B_{\ C on a fBj}

A = fAjA = fCjA = fjA.

Soit 0 _{et A 2 . Pour tout B; C} A_{, pour tout x 2 A; jf}B(x) fC(x)j = 0 . Donc

(fB fC)2 hA; i. Comme C (X) est complet, la suite de Cauchy ffA A2 g converge dans

C (X) vers une fonction f0_{. Montrons que f = f}0_{. Supposons que f 6= f}0 _{et soit x 2 X tel que}

f (x) _{6= f}0_{(x). Soit U; V deux ouverts de R disjoints contenant respectivement f(x) et f}0_(x).

Posons W = f 1_{(U )}

\ f0 1_{(V ). L’ouvert W contient x. Donc W \ ([ fA A 2 g) 6= ;. Soit}

K _{2 tel que W \ K 6= ;. D’après le lemme 224, soit K}0 _{2 tel que K}0 _{W. Clairement}

[K0_{; U ]\[K}0_{; V ] =;. Soit y 2 K}0_{. On a f (y) 6= f}0_{(y). Soit 0tel que jf(y) f}0_{(y)j. Soit}

B _{2 tel que pour tout C 2 tel que B} C, fC 2 hf0; K0; i. En particulier fK0_[B 2 hf0; K0; i

et donc jfK0_[B(y) f0(y)j . D’autre part, f j_K0_[B = f(K0_[B)j

K0[B et donc jf(y) f

0_{(y)j ,}

ce qui est contradictoire. Donc f = f0 _{est continue. On en déduit que X est un}

R espace.

Théorème 2.0.5 Soit _{une famille admissible de compacts de X véri…ant [ fA A 2 g = X.}

Alors C2_{(X) est uniformément complet si et seulement si X est un}

R espace.

Preuve. Découle de 2.0.1 et 2.0.4.

2.0.3

Hémicompacité et complétude de

C(X)

Nous allons à présent caractériser la complète métrisabilité de C2_{(X): Auparavant nous}

donnons les lemmes suivants:

Lemme 2.0.5 _{Soit X et Y deux espaces topologiques. Si X = A [ B où A et B sont fermés}

(resp ouverts) et f : X ! Y est une fonction telle que fjA et f jB soient continues alors f est

continue.

Preuve. Supposons A et B fermés et soit F un fermé de Y . On a

f 1(F ) = f 1(F )_{\ A [ f} 1(F )_{\ B = fjA}1(F )_{[ fjB}1(F ):

Chacun des f jA1(F ) et f j

1

B (F ) est fermé dans A et B respectivement. Mais comme A et B

sont fermés dans X, il en est de même de f jA1(F )et de f j

1

B (F ) et aussi de leur réunion. Donc

Quelques propriétés de complétude dans C (X) 28

Lemme 2.0.6 Soit X un espace topologique et une famille de compacts de X recouvrant X.

Supposons que X soit -hémicompact. Si X est un _R-espace alors X est un -espace.

Preuve. Raisonnons par l’absurde et supposons que X ne soit pas un -espace. Soit A X

non fermé et tel que A \ K soit fermé pour tout K 2 . Fixons x 2 A A. L’espace X

étant hémicompact, soit 1 = fKn n2 Ng une suite croissante re…née par . On peut

supposer x 2 K0 et A \ (Kn+1 Kn) pour tout n. Soit f0 : K0 ! R continue telle que

f0(x) = 1 et f0(A\ K0) = f0g. Soit f00 le prolongement de f0 à K0 [ (K1\ A) obtenu en

posant f0(y) = 0 pour tout y 2 (K1\ A) K0. En vertu du lemme 2.0.4 est continue sur

K0 [ (K2\ A). On prolonge alors f00 à tout K1 en une fonction continue f1 et naturellement

on a f1(x) = 1 et f1(A\ K1) = f0g. L e processus se poursuit par récurrence. On obtient une

suite (fn) de fonctions dé…nies sur Kn respectivement et véri…ant fn+1j_Kn = fn;, fn(x) = 1 et

fn(A\ K1) = f0g. Dé…nissons f 2 RX telle que f jKn = fn pour tout n 2 N. La collection

1 étant -re…née, pour tout K 2 soit n tel que K Kn . On a alors f j_K = fnj_K et donc

f_jK est continue. On a donc f continue en vertu du fait que X est un _R-espace. Mais ceci est

impossible car f (x) = 1 et f (A) = f0g alors que x 2 A. Donc X est un -espace.

Lemme 2.0.7 Soit X et Y deux espaces topologiques, une famille de compacts de X

recou-vrant X. Soit : X _{! Y une application quotiente et} sa fonction induite. Alors (C(Y ))

est fermé dans C2_(X).

Preuve. _{Soit g 2 C}2_{(X) (C(Y )). Montrons qu’il existe x, x}0 _{2 X tel que g(x) 6= g(x}0₎

et (x) = (x0). Supposons le contraire. Alors pour tout x, x0 _{2 X, (x) = (x}0) entraine

g(x) = g(x0_{). Dé…nissons alors h : Y ! R telle que g(x) = h(y) pour n’importe quel x 2} 1_(y).

Ceci a bien un sens car g est constante sur 1(y) pour tout x0 _{2 Y . On a alors h} = g.

Soit W un ouvert de R. On a 1_(h 1_{(W )) = g} 1_{(W ). Comme g est continue et est}

quotiente, on a h 1(W ) ouvert de Y . Donc h est continue. Comme g = h = (h),

on a g 2 (C(Y )), ce qui est contradictoire. Soit donc x; x0 _{2 X tel que g(x) 6= g(x}0_{) et}

(x) = (x0). Soit U et U0 deux voisinages ouverts disjoints de g(x) et g(x) respectivement.

On a g 1_{(U ) et g} 1_(U0_{) ouverts de X disjoints. Comme recouvre X, il existe K; K}0 ₂

tels x 2 K1 g 1(U ) et x0 2 K10 g 1(U0). L’ensemble [K1; U ]\ [K10; U0] est un voisinage

de g dans C (X). Si h 2 [K1; U ]\ [K10; U0] alors h(x) 6= h(x0) tandis que (x) = (x0) donc

h =₂ (C(Y )). D’où (C(Y ))_{\ [K}1; U ]\ [K10; U0] =;. Donc (C(Y )) est fermé dans C2(X).

Théorème 2.0.6 Soit X un espace topologique et une famille admissible de compacts de X

recouvrant X. Alors C (X) = C ; (X) est complètement métrisable si et seulement si X est

-hémicompact -espace.

Preuve. Supposons que C ; (X) soit complètement métrisable. D’après le théorème 2.0.4,

l’espace X est un _R-espace. D’autre part C ; (X) étant métrisable, il est -hémicompact

d’après le lemme 2.0.5 . Réciproquement, supposons que X soit un -hémicompact -espace.

Montrons que C ; (X) est complètement métrisable. Soit 1 = fAn n 2 Ng telle que

re…ne 1. Pour tout An2 1, considérons les espaces produits A0n= An fng pour tout n 2 N.

Chaque A0

n est naturellement homéomorphe à chaque An respectivement par l’application

(x; n)_{! x. On considère maintenant Y =}X_fA0

n n 2 Ng la somme topologique des A0n et la

surjection canonique i de Y sur X; (x; n) ! x. L’espace X étant un -espace, on voit aisément i

est une application quotiente (en e¤et on véri…e que pour tout F X_{, si F \ A}n est fermé pour

tout n alors F est fermé). Considérons l’application induite i : C (X) ! C2₍X

fA0

n n2 Ng)

avec =_f(An fng) \ A0n A2 ; n 2 Ng. L’application i est injective du fait que i est

sur-jective et on véri…e que est admissible. De plus et i( ) s’approxime l’une l’autre. En e¤et,

on a i( ) 0 et on applique le lemme 1.2.9. Donc en appliquant les théorèmes 1.5.1

et 1.5.13 , on a que i est continue et ouverte sur son image et donc est un homéomorphisme sur son image. De plus i (C(X)) est fermé dans C (X). Comme C (X) est homéomorphe à Y

fC (A0

n) n2 Ng) d’après le théorème (2.1.2) [18], et que

Y

fC (A0

n) n2 Ng) est

claire-ment complèteclaire-ment métrisable, on obtient que i (C ; (X))est complètement métrisable. D’où

Quelques propriétés de complétude dans C (X) 30

2.0.4

Pseudocompacité et complétude de

C(X)

Nous allons maintenant énoncer deux théorèmes qui donnent des conditions nécessaires pour que C (X) soit un espace de Baire.

Théorème 2.0.7 Soit X un espace topologique et une famille admissible de compacts de

X. Si C (X) est un espace de Baire alors toute partie A pseudocompacte fermée telle que A

soit recouvert par , il existe un élément K de tel que A K (et donc A est compact).

Preuve. Soit A une partie pseudocompacte fermée recouverte par . Montrons que A K

pour un K 2 . Supposons A K 6= ; pour tout K 2 . Pour tout n, on pose

Gn =[ fhfn; K; 1i K 2 ; K \ A 6= ;g

avec fn constamment égale à n. Montrons que l’ouvert Gn est dense dans C (X) = C ; (X).

Soit f 2 C(X) et soit hf; B; i voisinage de f. Soit x 2 A B. Comme A fK K 2 g,

il existe K1 2 tel que x 2 K1. Par admissibilité de , il existe K10 2 tel que x 2 K10 et

K0

1 \ B = ;. Soit g1 dé…nie sur K10 [ B par g1(y) = f (y) pour y 2 B et g1(y) = n pour tout

y _{2 K1}0. La fonction g1 est continue. On la prolonge à tout X en une fonction g continue.

Clairement g 2 hfn; K10; 1i \ Gn et donc hf; B; i \ Gn 6= ;. D’où pour tout n, Gn = C (X).

L’espace C (X) étant supposé de Baire, on a \ fGn n 2 Ng 6= ;. Soit g 2 \ fGn n2 Ng

alors, pour tout n, il existe Kn 2 tel que Kn\ A 6= ; et g 2 hfn; Kn; 1i. Donc pour tout n,

il existe xn 2 A tel que g(xn) n 1, d’où g n’est pas bornée. Mais ceci est impossible car A

est pseudocompact. Donc on a A K _{pour un K 2 .}

Corollaire 2.0.2 Soit X un espace topologique et une famille admissible de compacts de

X recouvrant X. Si C (X) est un espace de Baire alors pour toute partie A pseudocompacte

fermée il existe K 2 tel que A K ( en particulier est re…née par l’ensemble des compacts

de X).

Théorème 2.0.8 Soit X un espace topologique et une famille admissible de compacts de

X recouvrant X. Si C (X) est un espace de Baire alors tout point de X admettant une base

Preuve. D’après le corollaire 2.0.2, su¢ t de montrer que tout point à base dénombrable admet

un voisinage compact. Soit x 2 X un point admettant une base dénombrable fBn n2 Ng

de voisinages. On peut supposer que la suite fBn n 2 Ng est décroissante. Supposons que x

n’ait pas de voisinage compact. Pour tout n 2 N, posons An= Bn Bn+1. Supposons que pour

tout n, An soit compact. Soit fxn n2 Ng une suite dans B1. Si fxn n 2 Ng est contenue

dans un nombre …ni de An, elle a une valeur d’adhérence. Autrement il y a une in…nité de An

contenant des points de fxn n 2 Ng. Mais alors on peut extraire de fxn n2 Ng une

sous-suite convergente ( de limite x ). Dans tous les cas de …gures, la sous-suite fxn n 2 Ng admet une

valeur d’adhérence et donc B1 est dénombrablement compact et donc pseudocompact. Comme

C (X) est un espace de Baire, B1 est compact d’après le corollaire 2.0.2. Mais ceci contredit le

fait que x n’admet pas de voisinage compact. Alors il existe n1 tel que An1 ne soit pas compact.

En appliquant le même raisonnement à Bn+1, on obtient An2 non compact. En poursuivant par

récurrence, on obtient une sous-suite fAnk k 2 Ng de la suite fAn n2 Ng telle que Ank ne

soit pas compact pour tout k 2 N. Par souci de simpli…cation, on peut supposer que les An ne

sont pas compacts. Soit pour tout n 2 N, l’ouvert

Gn =[ fhfn; Kn; 1i K 2 ; Kn\ An6= ;g

avec fn la fonction identiquement égale à n. En procédant comme dans la démonstration du

théorème 2.0.7, on montre que les Gn sont denses dans X. L’espace C2(X) étant de Baire,

\ fGn n 2 Ng est dense dans X. Soit g 2 \ fGn n2 Ng. Pour tout n, il existe Kn tel

que Kn \ An 6= ; et g 2 hfn; Kn; 1i. Soit pour tout n, xn 2 An tel que g(xn) n 1.

Nécessairement, la suite fxn n2 Ng converge vers x et donc par continuité fg(xn) n2 Ng

converge vers g(x) ce qui contredit le fait que fg(xn) n2 Ng n’est pas bornée. Donc x admet

un voisinage compact et la collection de compacts de X re…ne , il possède donc un voisinage compact.

Corollaire 2.0.3 Soit X un espace topologique véri…ant le premier axiome de dénombrabilité

et une famille admissible de compacts de X recouvrant X. Si C2(X) est un espace de Baire

CHAPTER 3

Y-compacité et topologies set-open sur

C(X; Y )

3.0.5

Introduction

Dans ce chapitre notre intérêt va se porter sur les topologies set-open sur C(X; Y ):Dans son article [28] S. Nokhrin a introduit la notion de R-compacité qui va être aussitôt étendue à la notion de Y -compacité par A. Osipov [33]. Cette notion va s’avérer fort intéressante et un outil très puissant pour l’étude comparative des topologies set-open. En combinant cette notions à celle de l’équiconnexité Önal [32] et en a¢ nant la notion de famille admissible par l’introduction de la notion de re…nement fonctionnel, nous avons réussi, dans ce travail, à faire des comparaisons entre des topologies set-open dé…nies par des familles toutes particulières de sous-ensembles de X et les topologies uniformes correspondantes.

3.1

Dé…nitions et Lemmes préliminaires

Dans la suite C(X; Y ) désigne l’ensemble des fonctions continues de X à valeurs dans un espace topologique Y , nous nous proposons de dé…nir à l’aide de la notion d’Y -compacité introduite par A. Osipov [33] une topologie set-open sur C(X; Y ) ( ici les ouverts élémentaires de C(X; Y )

sont de la forme [A; V ] = ff 2 C(X; Y ) : f(A) V_{g où A varie dans une collection non vide}

cette topologie à celle de la convergence uniforme lorsque Y est un espace métrique.

Dé…nition 3.1.1 Soit X et Y deux espaces topologique. On dit qu’une partie A de X est un

ensemble Y -compact si pour toute fonction continue f de X dans Y ; f (A) est compact dans

Y_{. Si Y = R on dit que A est R-compact.}

Remarquons que dans le cas où A = X, la R-compacité coïncide avec la propriété classique de pseudocompacité de X. Il est clair que tout ensemble compact est Y -compact, tout sous-ensemble fermé d’un espace dénombrablement compact est Y -compact.

Proposition 3.1.1 Soit X un espace topologique, et (Y; d) un espace métrique connexe par

morceau. Si A est un sous-ensemble Y -compact de X et n un entier naturel alors A est Yn

-compact (c-à-d, pour toute fonction continue f 2 C(X; Yn); f (A) est compact dans Yn).

Preuve. _{Soit f 2 C(X; Y}n_{). Notons que la projection de l’ensemble f (A) sur chaque axe est}

un compact; alors f (A) est un produit de compacts. Donc il su¢ t de montrer que f (A) est un

fermé dans Yn

. Soit y 2 f(A). On construit la fonction g : Yn

! I telle que g(x) soit égale la

distance entre x et y dans Yn et borné par 1. Cette fonction est continue et g 1(0) = y. Soit

p un chemin non trivial dans Y telle que p 1_{(p(0)) = 0. Posons h = p g f; alors h(A) est}

un compact dans Y et le point p(0) 2 h(A); Comme h 2 C(X; Y ) et A est un Y -compact, on

a p(0) 2 h(A) = h(A), y 2 f(A), alors f(A) est fermé, donc f(A) est compact dans Yn_:

Lemme 3.1.1 Soit (Y; d) un espace métrique connexe par morceau. Alors l’intersection d’un

Y-compact et de l’image réciproque de tout fermé de Y par toute application continue de X

dans Y est un Y -compact.

Preuve. Soit A un Y -compact de X et F un fermé de Y; soit f et g deux applications continues

de C(X; Y ). Montrons que f (A\g 1(F ))est compact dans Y: Posons B = g 1(F ). Considérons

la fonction h : X ! Y2 _{tel que h(x) = (f (x); g(x)): Il est claire que la fonction h est continue.}

D’après le lemme précédent, l’ensemble h(A) est compact dans Y2:Soit l’ensemble T = Y F

, alors h(A \ B) = h(A) \ T . En e¤et, si z 2 h(A \ B), alors il existe x 2 A \ g 1_{(F )}

3.1 Dé…nitions et Lemmes préliminaires 34

y = h(x) = (f (x); g(x)) _{pour un certain x 2 A. Comme y 2 T et y = (f(x); g(x)), on}

trouve que x 2 g 1_{(F )}

. Donc, x 2 A \ g 1_{(F )}

et y 2 h(A \ g 1_{(F )). D’où, l’ensemble}

h(A_{\ g} 1_{(F )) = h(A)}

\ T est compact comme est intersection d’un compact est d’un fermé.

Il est aisé de voir que f (A \ g 1_{(F ))}

est un projection de l’ensemble h(A \ g 1_{(F )) surT:}

Lemme 3.1.2 [33] La fermeture d’un Y -compact est un Y -compact.

Preuve. _{Soit A un Y -compact de X, et soit f 2 C(X; Y ): Montrons que f(A) = f(A).}

Supposons le contraire, alors il existe y 2 f(A)nf(A): Soit y = f(x), tel que x 2 A. Comme

f (A) _{est compact, Y nf(A) est un ouvert contenant y. Alors, f} 1_(Y

nf(A)) est un voisinage de

x tel que f 1_(Y

nf(A)) \ A = ;, ce qui contredit x 2 A: Donc f(A) = f(A):

Proposition 3.1.2 [33] Si A est un sous-ensemble fermé d’un espace topologique normal X:

Alors les conditions suivantes sont équivalentes -A est dénombrablement compact,

- A is pseudocompact, -A is R-compact.

Donnons deux propriétés importantes concernant les familles de Y compacts de X.

1) Une famille non vide de Y compacts de X est dite un re…nement fonctionnel si pour

tout A 2 , toute suite …nie V1; :::; Vn d’ouverts de Y et toute fonction f 2 C(X; Y ) tel que

A _[n

i=1f 1_(V

i), il existe une suite …nie A1; :::; Am d’éléments de re…nant f 1(V1); :::; f 1(Vn)

et recouvrant A.

2). Soit et deux familles de Y compacts de X. On dit que ( ; ; X; Y ) satis…t la

propriétés (P) si pour tout A 2 , tout ouvert V de Y; et toute fonction continue f 2 C(X; Y )

tel que A f 1_{(V ), il existe une suite …nie B}

1; :::; Bn d’éléments de telle que A

n

[

i=1Bi

f 1_{(V ).}

Remarque 3.1.1 Il est claire que tout re…nement fonctionnel est une famille admissible (ch

Lemme 3.1.3 Soit X un espace topologique, et (Y; d) un espace métrique. Alors la famille de tout les Y -compacts de X constitue un re…nement fonctionnel.

Preuve. _{Soit A un Y -compact , soit fU}1; :::; Ung une suite …nie d’ouverts de Y et soit f 2

C(X; Y ) tel que A _[n

i=1f 1_(U

i): Pour tout y 2 f(A); il existe iy 2 1; :::; n et "y 0 tel que

B(y; "y) Uiy, alors on a

f (A) _[

y2f (A)B(y; "y) y2f (A)[ B(y; "y) Uiy:

La famille fB(y; "y) : y 2 f(A)g est un recouvrement ouvert de f(A). comme f(A) est compact,

il existe un sous recouvrement …nie B(yj; "yj)

m

j=1. Pour tout j = 1; :::; m, choisissons iyj tel

que B(yj; "yj) Ui_yj. D’après le lemme 3.1.1, l’ensemble Aj = f

1 _B(y

j; "yj) \ A est un Y

-compact. La famille A1; :::; Am de Y -compacts de X recouvre A et re…ne f 1(U1); :::; f 1(Un).

Donc, la famille de tout les Y -compacts de X est un re…nement fonctionnel.

Lemme 3.1.4 Soient X et Y deux espaces topologiques, un re¢ nement fonctionnel de Y

-compacts de X, K un élément de _{, U un ouvert non-vide de Y et f 2 C(X; Y ) tel que}

K_{\ f} 1_{(U )}

6= ;. Alors il existe K0 2 tel que K0 _f 1_{(U ):}

Preuve. _{Soit x 2 K \ f} 1(U ). On a K f 1(_ff(x)gc)_{[ f} 1(U ). Comme est un re…nement

fonctionnel, il existe fK1; :::; Kng recouvrant K et re…nant ff 1(ff(x)gc); f 1(U )g : Soit

Ki tel que x 2 Ki. Nécessairement K0 = Ki f 1(U ):

Théorème 3.1.1 Soit un re…nement fonctionnel de Y _{compacts de X et B une base pour}

Y_{, alors, la famille f[A; V ] : A 2 ; V 2 Bg est une sous base pour l’espace C (X; Y ):}

Preuve. _{Soit f 2 [A; V ] , où A 2} et V un ouvert de Y . On peut écrire l’ouvert V comme

réunion d’une famille fVi : i2 Ig de B telle que f(A) [

i2IVi. Comme f (A) est compact, il

existe n 2 N telle que f(A) _i=1[n Vi. Puisque est un re…nement fonctionnel, il existe une

suite …nie Ai; ::::; Am d’éléments de recouvrant A et re…nant la famille f 1(V1); :::; f 1(Vn).

Pour tout j 2 f1; :::; mg, on peut choisir ij 2 f1; :::; ng telle que Ai f 1(Vij). Il est clair que

f ₂ m_\

3.2 Comparaison entre CB(X; Y ) et C ; (X; Y ) 36

3.2

Comparaison entre

C

(X; Y ) et C

(X; Y )

Théorème 3.2.1 Soit X un espace topologique, et (Y; d) un espace métrique, alors pour toute

famille de Y -compacts de X; on a C (X; Y ) C ; (X; Y ).

Preuve. _{Soit f 2 [A; V ], où A 2} et V un ouvert de Y . puisque f (A) V, alors pour tout

x_{2 A il existe un nombre réel positif "}x tel que B(x; "x) B(x; 2"x) V: Donc on a

f (A) _[

x2AB(x; "x) V

Comme f (A) est compact, alors il existe une suite …nie x1; :::; xn d’éléments de A telle que

f (A) _[n

i=1B(x; "xi) V

Posons " = min f"xi i = 1; :::; ng. On a alors

hf; A; "i = fg 2 C(X; Y ) 8x 2 A; d (f(x); g(x)) "_g [A; V ]

D’où C (X) C ; (X):

Lemme 3.2.1 Soit (Y; d) un espace métrique et soit une famille de Y -compacts de X, alors

C (X; Y ) = C (X; Y ) C ; (X; Y ) = C ; (X; Y )

Preuve. _{On a pour tout A 2 et toute fonction continue f 2 C(X; Y ); f(A) = f(A);}

alors C (X; Y ) = C (X; Y ). Montrons que C _; (X; Y ) = C ; (X; Y ): Soit A 2 ; " 0 et

f _{2 C(X; Y ): Comme A} A;entraîne que f; A; " _{hf; A; "i ; alors C} ; (X; Y ) C ; (X; Y ):

Montrons que f; A;"₃ f; A; " :

En e¤et, soit g 2 f; A;"3 ; et soit x 2 A: Comme g et f 2 C(X; Y ), alors pour tout " 0;

il existe y" 2 A telle que d (f(x); f(y")) "₃ et d (g(x); g(y")) "₃ ( car f 1(B(f (x);"₃))\

g 1_(B(g(x); "

3)est un voisinage ouvert de x et x 2 A ). Alors

d (f (x); g(x)) d (f (x); f (y)) + d (f (y); g(y)) + d (g(x); g(y)) "

3 + " 3 + " 3 = ": Donc C ; (X) = C ; (X):

Théorème 3.2.2 Soit X un espace topologique, et (Y; d) un espace métrique: Si est un

re…nement fonctionnel de Y -compacts de X alors C (X; Y ) = C ; (X; Y ):

Preuve. On a si est une famille de Y -compacts de X alors C (X; Y ) C ; (X; Y )en vertu

du théorème 3.2.1.

Montrons que si est un re…nement fonctionnel alors C ; (X; Y ) C (X; Y ):Soit f 2 C(X; Y )

et soit hf; A; i un voisinage ouvert de f dans C ; (X; Y ), avec A 2 , et 0. Comme f (A) est

compact, on peut choisir une famille …nie de fVi : i2 Ig d’ouverts de Y de diamètre inférieur à

telle que f (A) _[

i2IVi. Alors A i2I[f

1_(V

i). Comme est un re…nement fonctionnel, il existe

une suite …nie Ai; ::::; Am d’éléments de recouvrant A et re…nant la famille ff 1(Vi) : i2 Ig.

Pour tout j 2 f1; :::; mg , soit ij 2 I tel que Ai f 1(Vij).

Montrons que

f ₂ m_\

j=1 Aj; Vij hf; A; i :

En e¤et, soit g 2 _j=1\m Aj; Vij . Soit x 2 A. Pour un k 2 f1; :::; ng, on a x 2 Ak et g(x) 2 Vik.

Comme f (x) 2 Vik, on a d (f (x); g(x)) . Donc g 2 hf; A; i. On a bien C ; (X; Y )

C (X; Y ). D’où les égalités annoncées.

Dé…nition 3.2.1 Un espace topologique Y est dit équiconnexe s’il existe une application

con-tinue : Y Y [0; 1] _{! Y telle que (x; y; 0) = x; (x; y; 1) = y et (x; x; t) = x pour tout}

x; y de Y et tout t de [0; 1]:

L’application est appelée application équiconnectante. Un sous ensemble V d’un espace

équiconnexe Y est dit -convexe si (V; V; [0; 1]) V. Remarquons que tout espace vectoriel

topologique et tout sous ensemble convexe d’un espace vectoriel topologique est un espace équiconnexe et que tout espace équiconnexe est un espace connexe par morceau

Lemme 3.2.2 Soit (Y; d) un espace métrique équiconnexe et soit une famille de Y -compacts

de X, alors pour tout y 2 Y , f 2 C(X; Y ); A 2 et x 2 XnA il existe g 2 C(X; Y ) telle que

g(x) = y et g_jA= f_jA:

Preuve. _{Soit h : X ! I une fonction continue telle que h(x) = 0 et h(A) = f1g : Comme}

3.2 Comparaison entre CB(X; Y ) et C ; (X; Y ) 38

p(1) _{6= p(0) = y: Alors la fonction g : X ! Y dé…nie par g(t) = (p(0); f(t); h(t)) pour tout}

t _{2 X est continue telle que g(x) = y et gjA} = f_jA:

Corollaire 3.2.1 Soit (Y; d) un espace métrique équiconnexe, Alors pour toute collection …nie

A; A1; :::; Ande Y -compacts de X et toute collection V; V1; :::; Vn; W d’ouverts de Y . Si

n

\

i=1[Ai; Vi]

[A; W ] alors A _[n

i=1Ai.

Preuve. _{Supposons que An[}n

i=1Ai 6= ;, soit x 2 An n [ i=1Ai:Soit y =2 W et f 2 n \ i=1[Ai; Vi] [A; W ] :

Alors d’après le lemme 3.2.1, il existe une fonction continue g 2 C(X; Y ) telle que g(x) = y et

g_jA= f_jA:_{Donc g 2 \}n

i=1[Ai; Vi]et g =2 [A; W ], ce qui est impossible.

Remarque 3.2.1 _{Comme on a pour tout A Y -compact de X et pour toute application f 2}

C(X; Y ); f (A) = f (A); on peut considérer que les éléments de de fermés.

Théorème 3.2.3 Soit (Y; d) un espace métrique connexe par morceau, soit une famille de

Y-compacts de X tel que pour chaqu’un de ces éléments elle contient tout les sous ensembles

Y-compacts contenue dans cet élément. Alors C ; (X; Y ) = C (X; Y ):

Preuve. Puisque est une famille de Y compacts, on a C (X; Y ) C ; (X; Y ) en vertu du

Théorème 3.2.1. Montrons que C (X; Y ) C ; (X; Y ): Soit f 2 hf; A; "i avec A 2 ; " > 0.

Comme f (A) est compact, on peut choisir une famille …nie fB(yi;₃) : yi 2 f(A); i 2 f1; ngg du

boules ouvertes telle que f (A) _[n

i=1B(yi;3);Alors f

1_(B(y

i;₃))est un fermé, d’après la lemme

3.1.1, l’ensemble Ai = f 1(B(yi;₃))\ A est Y -compact; d’après l’hypothèse Ai est un élément

de la famille . On a donc l’ensemble Of =

n

\

i=1 Ai; B(yi;2) est un ouvert dans C (X; Y ).

Montrons que f 2 Of hf; A; "i

En e¤et, soit g 2 Of, et soit x 2 A. Pour un i 2 f1; ng on a x 2 Ai et donc d (g(x); yi) < "=2.

Comme f 2 Ai; B(yi;₂) ; on a d (g(x); f (x)) < ": Donc g 2 hf; A; "i :

D’où l’égalité annoncée.

0 _{= fA}0_nA0 _{Y-compacts de X et 9A 2 : A}0 _Ag