Méthodes à epsilon près pour un problème non linéaire mixte de type elliptique hyperbolique : formules d'estimation des sauts

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Méthodes à epsilon près pour un problème non linéaire

mixte de type elliptique hyperbolique : formules

d’estimation des sauts

Jean-Sébastien Le Brizaut, Marc Pogu

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Jean-Sébastien Le Brizaut, Marc Pogu. Méthodes à epsilon près pour un problème non linéaire mixte de type elliptique hyperbolique : formules d’estimation des sauts. 2005. �hal-00007607�

Rapport de Recherche

METHODES A ε PRES POUR UN

PROBLEME NON LINEAIRE MIXTE DE

TYPE ELLIPTIQUE / HYPERBOLIQUE :

FORMULES D'ESTIMATION DES SAUTS

Jean-Sébastien Le Brizaut et Marc Pogu

Laboratoire de Mathématiques Jean Leray

Université de Nantes / Centrale Nantes

SOMMAIRE

p.3 ... Introduction

p.4 ... 1. Présentation du problème et rappels de résultats

p.4 ...

1.1. Position du problème

p.4 ...

1.2. Formulation en projection

p.6 ...

1.3. Introduction d'un prolongement

p.9 ... 2. Formules pour l'estimation des sauts

p.15 ... 3. Un exemple explicite par discrétisation

p.20 ... Annexe 1

p.23 ... Annexe 2

p.24 ... Références

Introduction

Lorsque l'on considère des systèmes d'équations aux dérivées partielles non linéaires mixtes elliptiques hyperboliques, on est amené à chercher des solutions des systèmes avec restes. Ces derniers dont soit rendus inférieurs à ε>0 arbitraire (dans ce cas, on obtient des solutions à ε près), soit minimisés (on obtient alors des solutions généralisées à ε près).

Dans le cadre des espaces de Sobolev, il a été montré en [POG91] et [POG92] et plus récemment en [LEB01] [LEB03b] [JOL03] que pour une classe de systèmes mixtes, après prolongements adaptés des termes non linéaires, on obtient des solutions à ε près.

Ici, nous étudions le cas significatif du système associé au modèle de Karman et Guderley. Après avoir posé le système mixte (§1.1), on rappelle (§1.3) les résultats de [POG92] (Théorème 1 et Proposition 1) sur les solutions à ε près. Ensuite (§2), dans le cadre de la méthode des éléments finis P12D, on s'intéresse à des solutions généralisées à ε près du système sans prolongement. On établit des formules pour l'estimation des sauts (Théorème 2). Les arguments introduits sont différents de ceux utilisés lorsque les termes non linéaires des systèmes induisent des propriétés de contraction, continuité ou monotonie ; dans cette direction, on peut consulter par exemple [ZEN90]. Les formules pour l'estimation des sauts sont exploitées (§3) à partir d'un exemple numérique explicite et en utilisant les méthodes de discrétisation de [LEB02] et [LEB03a]. Nous donnons d'une part les restes selon les triangles et d'autre part le reste global correspondant à différents nombres de triangles dans la discrétisation.

1. Présentation du problème et rappels de résultats

1.1. Position du problème

On considère le modèle de Karman et Guderley modélisant les écoulements transsoniques par le système :

! " ! # $ % % & = = ' = ' + ' ' ) ' ( ) ( ) ( 0 0 )) ( ( 2 2 2 1 1 u g u u u ( (1)

où les données géométriques sont :

]

[

] [

{

}

]

[

{

}

, ' , 1 , 1 ), 0 , ( , 1 , 0 , 1 , 1 , 1 1 2 1 2 ! " # $ = ! " % = = ! % " % % = # x x x x x R x (2)

et les données fonctionnelles :

] [

0,1 M 1,2 l ) M 1 ( 6,25 k : où ailleurs 2 1 , 2 1 -s si 0 ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ! = " = #$ # % & '( ) *+ , ! " = " = M s M s g s ls k s (3)

L’inconnue est une fonction u : Ω→R.

1.2. Formulation en projection

On cherche u" H1(!)_{. En tenant compte du terme non linéaire et des} conditions aux limites de (1), on introduit l'espace :

Si (1) admet une solution u_!V _{alors, en utilisant la formule de Green}

généralisée, elle satisfait l’équation variationnelle :

V v , ) , ( ) ), ( (% $₁u $₁v ₀ + $₂u $₂v ₀ =#< g v > " ! (5) où : ) ) ( ), ( H ( dualité la désigne . , . . associée norme de ), ( L dans scalaire produit le désigne ) . , . ( 2 / 1 1/2 0 2 0 ! ! > < " # H .

Cette équation variationnelle peut s'écrire :

(

z(u),$v

)

₀ =#<g,v> "v!V (6) avec : _!! " # $$ % & ' ' = u u u z 2 1 ) ( ) ( ( . (7)

Introduisons la fonction u_g !V solution de :

) ' ( ) ( ) ( 0 0 2 ! ! " # $ # % & = ' = ( = ) ' g g g u g u u (8)

On en déduit que (7) équivaut à :

V v 0 ) ), ( (S u #v ₀ = " ! ₍₉₎ où S(u)=z(u)"!u_g

Soit PW la projection de (L !2( ))2 sur le sous-espace W =

{

"v,v!V

}

.

Résoudre le problème (1) revient alors à résoudre : 0

) (u =

S

1.3. Introduction d'un prolongement

On cherche à résoudre (10) avec :

+! < "

#u _! µ_{1 .}

Dans [POG92], on introduit un prolongement de S par Z : g u u z u Z( )=~( )"!~ (11) avec : ) ( ' ~ ) ( ) ( ~ u b u u u Q u z g g =! ! ! ! = o , où : ) ( ' ) ( ) ( ' ) ( : 2 2 2 1 1 1 2 2 x N x Q x N x Q R R Q = = ! avec : )] ( [ ) ( : )] ( [ ) ( : 2 2 2 1 1 1 s b L s N R R N s b L s N R R N = ! = ! et : ) ( . ) (s s s b _{= !} où, pour µ₂ >µ₁,

]

[

]

[ ]

[

]

[ ]

[

! " ! # $ % & & ' ( ( +) % & ) & ' = ' = ' * ) 2 1 1 2 2 2 1 1 , , 1 (s) 0 , , 0 (s) , -s 1 (s) ) ( : µ µ µ µ + µ µ + µ µ + + + s s R C R R et :

! ! " !! # $ = % = 2 ) ( 3 2 ) ( 2 2 3 2 1 s s L s l s k s L

Reportons (11) dans (9), on obtient [POG92] :

(

~( ~ ,

)

( , )₀ v V 0 = # " ! # # $ u v v u z _{% g} &_% où : ! "_{! 0} #

L'utilisation de la formule de Green généralisée conduit à :

! " # $ + % = & + ' = ) ( . ~ ). ( ~ ) ( ~ )) ( ~ ( n u n u z div u u z div g n g ( ( ( ( ) ) On a : Théorème 1 • '! > & _! %

(

_! $#

)

"! 0 ~ ) ( ~ que tel , 0 u V P_W z u u_g (12)

• De plus, la solution de (12) satisfait l'équation variationnelle :

(

~z(u_$),#v

)

₀ =(#u~_g,#v)₀ +(%_$,#v)₀ "v!V (13)

où "_{! 0} #! , et le problème aux limites :

! " ! # $ % = % + & = ' + ( = ) ' ( 0 ) ( . ~ ). ( ~ ) ( ) ( ~ )) ( ~ ( ) ) ) ) ) * * u n u n u z div u u z div g n g (14)

Proposition 1 Si la solution de (12) satisfait : 1 µ ! " #u _{$ ,} alors : • '! > & _! % _! $# "! 0 ) ( ( que tel , 0 u V P_W z u u_g (15)

• De plus, la solution de (15) satisfait l'équation variationnelle :

(

z(u_%),#v

)

₀ =$<g,v >+(&_%,#v)₀ "v!V (16) et le problème aux limites :

! " ! # $ % = % + = & ' = ) ' ( 0 ) ( . ) ( ) ( )) ( ( 2 ( ( ( ( ( ) ) u n g u div u z div (17)

2. Formules pour l'estimation des sauts

La figure ci-dessous présente une discrétisation du domaine (Ω) en triangles. Les pas de discrétisation en espace h et ₁ h sont pris égaux à h. On désigne par ₂

!

T l'ensemble des triangles T ayant une frontière commune avec Γ et par T_!

l'ensemble des autres. On pose : T =T_" #T_!. La zone foncée correspond à l'ensemble T_!.

Utilisant la méthode des éléments finie P12D, on est amené à chercher u h

solution du problème discret analogue à (1).

Pour obtenir une relation comparable à (16), on estime, avec la définition (7) :

(

z(u_h),"v

)

₀!< g,v >. (18) On obtient :

(

z u_h #v

)

=E_" + E_! 0 ), ( où l'on pose :

(

)

(

)

! " = ! " = # $ % $ % $ T T T T h T T h v u z E v u z E , 0 , 0 ), ( ), ( (19) Théorème 2 h g h W h V P z u u u h > & % $# "! ' 0 ) ) ( ( que tel , 0 (20) où : h h h C g g C C r 2 1 , 0 2 ! + = " # (21) et : ! + ! = " $ #" $ _% %T T T T T T h T T s s r ₍ 2 _,2 2 ₎1/2 , 0 , 0 (22)

avec sT sauts de z(uh)sur les normales unitaires extérieures de T, sT_,2saut de )

(uh

z _{sur les normales unitaires verticales et diagonales.}

De plus la solution de (20) satisfait l'équation variationnelle :

(

z(u_h),!v

)

₀ ="<g,v >+(#_h,!v)₀ (23) où h h h =!# "!w $ (24) avec !hsolution de : ! " ! # $ % = % & = ' ( = ) & ) ' ( 0 ) ( ) ( 0 h h h n h g g * * * (25) et w vérifie : h

(

,

)

₀ ) ( que tel F v w v V w_{h" h = ! h !} # (26) avec : h h r C C F 2 1 '! (27)

et au problème aux limites :

! " ! # $ % = % + = & ' = ) ' ( 0 ) ( . ) ( )) ( ( 2 h h h h h u n g u div u z div ( ( (28) Démonstration

Dans chaque carré de la discrétisation, les normales unitaires extérieures aux triangles sont notées sur les figures suivantes :

B T H T n₂ n₁
n₃ et : B T H T H n 1 H n₂ H n₃

Puisque !uh est constant sur chaque triangle et que, sur les diagonales

communes, on a : B H n n_{3 =! 3 ,} il vient :

(

)

(

)

> ! < + > < + > < + > < ! > < ! = " + " v n u z u z v n u z v n u z v n u z v n u z v u z v u z H B h H h H H h H H h H B h H B h T h T h B H , ). ( ) ( ( , ). ( , ). ( , ). ( , ). ( ), ( ), ( 3 2 1 2 1 , 0 , 0

Sur les verticales et horizontales communes, on a : 2 , 1 , = ! = n i n_iH _iB _.

De (19) on déduit la formule suivante :

(

"

)

= !< > + ! < > # $ $T % T T B h T T T h v s v z u n v u z_{( ), , ( ). ,} 1 0

où l'on pose : T T zn s _=! . avec : z

! : saut à travers les frontières communes aux triangles

T

n : normale unitaire extérieure au triangle T.

Sur Γ', les sauts sont calculés par prolongement par 0 en dehors de Ω. Dans la première somme sur T_{!, on ne compte que les sauts sur les verticales et les}

diagonales des triangles. On a :

! < > !< >="< >+ # # $ $T _T T T T h B h n v g v s v u z( ). ₁ , , _,2,

où sur Γ, on pose :

h h

T g u

s _,2 = "!₂ , ce qui permet d'écrire :

(

( )

)

, , ( ) 0 g v g g v F v v u z _h " =!< >+< ! _h >+ _h où : > ! < " !< > = # $ % %T & T T T T T T h v s v s v F _{( ) , ,2, (29)} On a : ! + ! " # $ & %# & %# $T & & T T T T T T T T T h v s v s v F , 0 , 0 2 , , 0 , 0 ) ( . Majorons : 2 / 1 2 2 / 1 2 2 , 2 / 1 2 2 / 1 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , 0 , 0 , 0 , 0 ! ! + ! ! " # # $ % # % $# % % & & & & T T T T T T T T T T h T T T T v s v s v F 2 / 1 2 ) ( ) ( " h ! h v r v F

! + ! = " $ #" $ _% %T T T T T T h T T s s r 2 1/2 2 , 2 ) ( , 0 , 0 Comme on a : T T C v v , 1 1 , 0$ #" ! (30)

(on trouvera une estimation de la constante C_{1dans l'annexe 1), il vient :}

2 / 1 2 1 ( ) ) ( , 1 ! " # $+ %T T T h h T v r C v F ou encore : ! " , 1 1 ) (v C r v F_{h h} d'où : 0 2 1 ) (v C r C v F_{h " h !}

On trouvera une estimation de la constante C_{2 dans l'annexe 2.}



F est linéaire et continue sur V avec :

h h C C r F 2 1 '! .

En appliquant le théorème de Riesz, on a :

(

,

)

₀ ) ( que tel F v w v V w_{h" h = ! h !} # avec : h h h F   r w 2 1 0 = '! " . On a donc, avec (26) et (29) :

(

z(u_h),!v

)

₀ ="<g,v >+<g "g_h,v>+

(

!w_h,!v

)

₀ (31) En introduisant : ! " ! # $ % = % & = ' ( = ) & ) ' ( 0 ) ( ) ( 0 h h h n h g g * * * (32)

on peut réécrire (31) : (  (  0 0 0 , ( , ) ,  (_{u v g v v w} v z _h ! ="< >+ !#_h ! + ! _h ! ou encore :

(

z(u_h),!v

)

₀ ="<g,v >+(#_h,!v)₀ où : h h h =!" +!w # et : h h h 0 0 C1C₂r + ! " # $ . A partir de (32), on a :

(

"#_h,"v

)

₀ =<g !g_h,v > ce qui donne : 0 , 0 2 , 0 , 0 2 0 h h h h h g g  C g g   $ # $ # " " % % % et : h h ! " ₀ # avec : h h h =C2 g!g _0," +C1C2r # . Remarques :

• !h ne tend vers 0 que si la dicrétisation implique r petit. Dans ce cas, on h

obtient une solution à ε près comme dans le Théorème 1, mais sans prolongement.

• Dans la démonstration précédente, une autre majoration de

F _{peut être} obtenue : ! " ! " # ! " ! # " # $ % $ % $ % $ % < > & & & & s v C v s h C v s h v s v s T T T T T L T T T T T , , 0 ) (   T T T T où :

}

3. Un exemple explicite par discrétisation

La solution uhest représentée sous la forme d'une somme de polynômes de

degré 1 définis sur chaque triangle :

(

)

! + + = "T T T T T T h a x a x a u 2 ₂ 1 ₁ 0 .# ₍₃₃₎

où !_T est la fonction indicatrice de T.

On a calculé des valeurs approchées de uh pour chaque point de la discrétisation

présentée au paragraphe 2 (pour des détails sur les méthodes utilisées, on pourra se reporter à [LEB02] et [LEB03a]). On considère dans la suite une grille de 8x4 carrés.

Si on considère un carré du maillage (les pas de discrétisation sont égaux) :

(i,,j+1) (i+1,,j+1)

(i+1,,j) (i,,j)

TB

TH

on cherche à déterminer les coefficients de (32) dans chaque triangle. Compte tenu des informations aux sommets de chaque type de triangle, on obtient pour les triangles du type (TB) :

j i T h j i j i T h j i j i T u a u h u u a u h u u a , 0 1 , , 1 1 2 , 1 , 2 = ! = " " # $ % % & ' ( = ! = " " # $ % % & ' ( = + +

et pour les triangles de type (TH) : j i j i j i T h j i j i T h j i j i T u u u a u h u u a u h u u a , 1 1 , 1 1 , 0 , , 2 , 1 1 , 1 2 + + + + + + + + + + +  = " = # # $ % & & ' ( ! = " = # # $ % & & ' ( ! =

En numérotant les triangles de la discrétisation de la manière suivante :

...

1 2 3 4 5 6 7 8 2N1+1 2N1+2 2N1+3 2N1+4 2N1+5 2N1+6 4N1+1 4N1+2 4N1+3 4N1+4

où N1 désigne le nombre d'intervalle de discrétisation horizontalement, on obtient les valeurs suivantes (les valeurs inférieures à 10!2 _{sont grisées) :}

T a0 a1 a2 T a0 a1 a2 T a0 a1 a2 1 0 -0.105 0 23 -0.036 0.144 0.100 45 0.011 -0.019 -0.032 2 -0.011 -0.062 0.043 24 -0.011 0.044 0 46 0.009 -0.006 -0.018 3 -0.026 -0.147 0.043 25 0 0.144 0 47 0.007 -0.028 -0.018 4 -0.049 -0.057 0.132 26 0.025 0.044 -0.100 48 0.003 -0.010 0 5 -0.063 -0.265 0.132 27 0.036 -0.025 -0.100 49 0 -0.010 0 6 -0.123 -0.025 0.372 28 0.029 0.003 -0.072 50 -0.003 0 0.010 7 -0.129 0.516 0.372 29 0.030 -0.057 -0.072 51 -0.003 -0.006 0.010 8 -0.036 0.144 0 30 0.020 -0.019 -0.034 52 -0.004 0 0.016 9 0 0.516 0 31 0.016 -0.062 -0.034 53 -0.004 0.003 0.016 10 0.093 0.144 -0.372 32 0.007 -0.028 0 54 -0.003 0 0.013 11 0.129 -0.265 -0.372 33 0 -0.028 0 55 -0.003 0.013 0.013 12 0.069 -0.025 -0.132 34 -0.005 -0.010 0.018 56 0 0 0 13 0.063 -0.147 -0.132 35 -0.007 -0.019 0.018 57 0 0.013 0 14 0.041 -0.057 -0.043 36 -0.010 -0.006 0.032 58 0.003 0 -0.013 15 0.026 -0.105 -0.043 37 -0.012 0.003 0.032 59 0.003 0.003 -0.013 16 0.016 -0.062 0 38 -0.012 0.003 0.032 60 0.004 0 -0.016 17 0 -0.062 0 39 -0.011 0.044 0.031 61 0.004 -0.006 -0.016 18 -0.008 -0.028 0.034 40 -0.003 0.013 0 62 0.003 0 -0.010 19 -0.016 -0.057 0.034 41 0 0.044 0 63 0.003 -0.010 -0.010 20 -0.025 -0.019 0.072 42 0.008 0.013 -0.031 64 0 0 0 21 -0.030 -0.025 0.072 43 0.011 0.003 -0.031 22 -0.037 0.003 0.100 44 0.011 0.003 -0.032

Compte tenu des valeurs numériques obtenues, on peut simplifier le nombre de paramètres en se limitant au domaine [-1,1]x[0,0.75] ce qui correspond aux triangles numérotés de 1 à 48. Le nombre de paramètres passerait alors de 192 à 144.

Avec cette discrétisation (8x4), aucune des valeurs des dérivées par rapport à la première variable n'est supérieure à :

l

k

u_C

2 =

ce qui caractérise le passage d'un système de type elliptique à un système de type hyperbolique (voir [LEB02] pour cette notion). Quand on traite de la même manière une discrétisation plus fine (64x32 ou 32x16), on obtient effectivement une zone hyperbolique et une elliptique (voir [LEB03a] pour des exemples de résultats numériques dans ce sens).

On peut également illustrer numériquement les sauts sT introduits dans le

T S T S T S T S T S T S 1 0.029 12 0.257 23 0.161 34 0.023 45 0.032 56 0.016 2 0.097 13 0.138 24 0.116 35 0.020 46 0.022 57 0.026 3 0.116 14 0.101 25 0.106 36 0.021 47 0.024 58 0.010 4 0.236 15 0.059 26 0.129 37 0.016 48 0.015 59 0.010 5 0.312 16 0.040 27 0.089 38 0.028 49 0.013 60 0.005 6 0.466 17 0.036 28 0.067 39 0.052 50 0.010 61 0.008 7 0.360 18 0.051 29 0.084 40 0.040 51 0.014 62 0.009 8 0.307 19 0.053 30 0.051 41 0.036 52 0.005 63 0.012 9 0.274 20 0.046 31 0.047 42 0.035 53 0.008 64 0.006 10 0.537 21 0.045 32 0.028 43 0.016 54 0.009 11 0.418 22 0.111 33 0.023 44 0.019 55 0.020 où : ! = = 3 1 . 3 1 i i n z S _{" .}

La répartition dans le domaine des sauts les plus importants est donnée par la figure suivante :

0,537 de 0,2 à 0,5 de 0,05 à 0,2 moins de 0,05

Une estimation de r introduit en (22) peut également être donnée pour toutes h

Nb d'intervalles en x1 Nb d'intervalles en x2 rh

8 4 0.913

16 8 1.213

32 16 1.362

64 32 1.528

On observe une augmentation de r en fonction du nombre de points de h

discrétisation, cette augmentation proviendrait des erreurs d'arrondi. On remarquera enfin que la résolution numérique du rotationnel est exacte (pas de sauts) quand les pas de discrétisation utilisés pour les deux variables spatiales sont identiques. C'est le cas dans tous les exemples traités dans ce rapport.

Annexe 1

On veut montrer : T T C v v ,   , 0" !

Dans le triangle de référence T : 0

0 1 1 on a : 0 0 0 1, , 0 T T v C v _! "

Dans un triangle de la discrétisation, on a : ! ! = " h h  dx dx x x v v 0 0 1 2 2 2 1 2 2 , 0 ( , )

Par changement des variables pour se ramener au triangle de référence, on montre que : ! ! " + ! ! " + ! ! # " 1 0 10 22 1 2 2 1 2 2 1 0 1 0 1 2 2 2 1 2 1 2 1 0 1 0 1 2 2 2 1 2 2 0 2 2 , 0 ) , ( ) , ( ) , ( ( dX dX hX hX v h dX dX hX hX v h dX dX hX hX v C h v T soit : ! ! " + ! ! " + ! ! # " h h h h h h T dx dx x x v dx dx x x v dx dx x x v h C h v 0 0 22 1 2 2 1 2 0 0 1 2 2 2 1 2 1 0 0 1 2 2 2 1 2 2 2 0 2 2 , 0 ) , ( ) , ( ) , ( 1 ( ou encore : ) ( ₀2_, 2 2_0, 2 0 2 , 0" $C v ! +h #v ! v T .

Estimation de C0

On considère le carré [0,1]x[0,1] suivant :

X2 X1 t et on peut écrire : ! " + =u x t u x s ds t x u 0 2 1 1 1, ) ( ,0) ( , ) (

comme t<1, et en appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwartz, on obtient : ! " # $ % & _{+' (} ) ₁ 2 1_{0 2 1} 2 2 1,0) 2 ( , ) ( , ) (x u x t u x s ds u _.

En intégrant successivement par rapport à t et par rapport à x_{1, on a :}

! " # $ % & ' _{+ (} ) 1 0 2 0 2 2 0 1 1 2 2 ) 0 , (x dx u u u _{. (i)}

On découpe en deux triangles le carré [0,1]x[0,1] :

T1

T2

! " # $ $ = 2 ) 1 , 1 ( 1 ) , ( ) , ( 2 1 2 1 2 1 _T x x u T x x u x x v et sur la diagonale, on a : ! " + = # 1# 1 0 2 1 1 1 1,1 ) ( ,0) ( , ) (x x u x x u x s ds u

Avec des méthodes comparables à celles utilisées pour déterminer (i), on a :

! " # $ % & ' ! + ( ) * 1 0 1 0 2 , 0 2 1 1 2 1 1 1 2 ) 0 , ( 2 ) 1 , (x x dx u x dx u _T u On a :  , 0 1 0    1 0 1 1  1 0 1 0 1 0 1 1 1     1 1    ) , 0 ( ) 0 , ( 3 ) 1 , ( ) , 0 ( ) 0 , ( T T u dx x u dx x u dx x x u dx x u dx x u d u ! +  + ! # ! +! +! $ = !_& %

Avec (i) et le prolongement, on a :

2 , 1 2 , 1 1 0 1 0 2 1 1 1 1 2_{( ,0) ( ,0) 2 4} T C u v dx x v dx x u ! " =" ! ce qui donne : 2 , 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 2 18 2 4 12 _{T T T T} Tu d ! u + u + u = u "_$ #

et la constante est majorée par :

2 3

0 ! C

Annexe 2

On veut estimer la majoration :

0 2 , 1 C v v _{" !} # Par définition : 2 0 2 0 2 , 1 v v v _{" + !} # . On peut écrire : ! ! = _"1₁ 1₀ 2 _{1 2 1 2} 2 0 v (x ,x )dx dx v et, en utilisant : ! " + = 2 1 2 1 1 2 1, ) ( ,1) ( , ) (x x v x x v x  d v

Compte tenu des conditions aux bords, il suffit d'intégrer deux fois pour avoir :

2 0 2 2 0 v v _{" !} et par conséquent : 2 0 2 , 1 2 v v _{" !} # ce qui donne : C₂ = _2.

Références

[JOL03] J.C.Jolly, Solutions à ε près de systèmes d'équations aux dérivées partielles non linéaires de type mixte posés sur des ouverts non bornés, Annales Mathématiques Blaise Pascal, Vol.10, n°1, 2003 [LEB01] J.S.LeBrizaut, Méthodes à ε près et applications à des problèmes

aux limites, Bulletin des Sciences Mathématiques, Vol.125, 2001 [LEB02] J.S.LeBrizaut, M.Pogu, A mixed non linear boundary value

problem appearing in gas dynamics : generalized solutions and numerical results, International Journal of Engineering Science, Vol.40, 2002

[LEB03a] J.S.LeBrizaut, Numerical study of the effect of an entropy parameter in an elliptic hyperbolic non linear boundary value problem, Systems Analysis Modelling Simulation, Vol.43, n°4, 2003 [LEB03b] J.S.LeBrizaut, Méthodes d'optimisation pour l'approche de problèmes aux limites non linéaires mixtes elliptiques hyperboliques, Bulletin des Sciences Mathématiques, Vol.127, 2003

[POG91] M.Pogu, G.Tournemine, Une méthode fonctionnelle de résolution approchée d'un problème transsonique, CRAS, II, 1991

[POG92] M.Pogu, G.Tournemine, Functional approach to the solution of the Karman-Guderley equation, Bulletin of the Polish Academy of

Sciences, Technical Sciences, Vol.40, n°4, 1992

[ZEN90] A.Zenisek, Nonlinear elliptic and evolution problems and their