Les processus additifs markoviens et leurs applications en finance mathématique

Les pro essus additifs markoviens et

leurs appli ations

en nan e mathématique

par

Romuald Hervé MOMEYA OUABO

Départementdemathématiquesetdestatistique

Fa ultédesartsetdess ien es

Thèseprésentéeà laFa ulté desétudes supérieures

envue del'obtention du gradede

Philosophiæ Do tor(Ph.D.)

en Statistique

juin 2012

Cettethèse intitulée

Les pro essus additifs markoviens et

leurs appli ations

en nan e mathématique

présentée par

Romuald Hervé MOMEYA OUABO

aété évaluée par un jury omposé des personnes suivantes :

François Perron (président-rapporteur) Manuel Morales (dire teurdere her he) Louis Doray ( o-dire teur) GhislainLéveillé (membredujury) Tak Kuen Siu (examinateurexterne) Yoshua Bengio

(représentantdudoyendelaFES)

Thèse a eptée le:

SOMMAIRE

Cette thèse porte sur les questions d'évaluation et de ouverture des options

dansun modèleexponentiel-Lévyave hangementsde régime.Un telmodèleest

onstruit sur un pro essus additifmarkovien un peu ommele modèle de

Bla k-S holes est basé sur un mouvementBrownien.Du fait de l'existen e de plusieurs

sour es d'aléa, nous sommes en présen e d'un mar hé in omplet et e fait rend

inopérant les développements théoriques initiés par Bla k et S holes et Merton

dans le adre d'un mar hé omplet.

Nousmontronsdans ettethèsequel'utilisationde ertainsrésultatsdelathéorie

despro essus additifsmarkovienspermetd'apporterdessolutionsauxproblèmes

d'évaluation et de ouverture des options . Notamment, nous arrivons à

ara -tériser la mesure martingale qui minimise l'entropie relative à la mesure de

pro-babilité historique; aussi nous dérivons expli itement sous ertaines onditions,

le portefeuille optimal qui permet à un agent de minimiser lo alement le risque

quadratiqueasso ié. Par ailleurs,dans une perspe tive plus pratiquenous

ara -térisons le prix d'une option Européenne omme l'unique solution de vis osité

d'unsystèmed'équationsintégro-diérentiellesnon-linéaires.Ils'agitlàd'un

pre-mierpas pour la onstru tiondes s hémasnumériques pourappro her leditprix.

Cette thèse est omposée prin ipalement de quatre arti les soumis à diérentes

revues s ientiques. L'un a été publié etdeux autres ontété revisés et resoumis.

Plus pré isément :

(1) OnthePri eofRiskoftheUnderlyingMarkovChaininaRegime-Swit hing

ExponentialLévy Model [101℄, revisé etresoumis à la revue Methodology

and Computingin Applied probability;

(2) The Minimal entropy martingale measure for a Markov-modulated

expo-nential Lévy model [102℄, a epté dans la revue Asia-Pa i Finan ial

Markets et disponible en ligne;

(3) Lo al risk-minimizationunder a partially observed Markov-modulated

ex-ponential Lévy model [97℄, révisé et resoumis à la revue Applied

Mathe-mati al Finan e;

(4) Vis ositySolutionsandthepri ingofEuropean-styleoptionsin a

Analy-Cetteformede présentation induitinévitablementde nombreuses répétitions

no-tamment au niveau de la présentation du modèle, de sa motivation et aussi au

niveau des on epts de base. Nous nous en ex usons auprès du le teur.

Mots-Clés

Pro essus additif markovien, In omplétude du mar hé, minimisation du risque

SUMMARY

Thisthesisfo usesonthepri ingandhedgingproblems ofnan ialderivativesin

a Markov-modulated exponential-Lévy model. Su h model is built on a Markov

additivepro essasmu hastheBla k-S holesmodelisbasedonBrownianmotion.

Sin ethereexistmanysour es ofrandomness,weare dealingwithanin omplete

market and this makes inoperative te hniques initiated by Bla k, S holes and

Merton inthe ontext of a omplete market.

Weshowthat,byusingsomeresultsofthetheoryofMarkovadditivepro essesit

ispossibletoprovidesolutionstothepreviousproblems.Inparti ular,we

hara -terize the martingale measure whi hminimizesthe relative entropy with respe t

tothephysi alprobabilitymeasure. Alsoundersome onditions,wederive

expli- itlythe optimalportfoliowhi hallows anagenttominimizethe lo alquadrati

riskasso iated. Furthermore,ina more pra ti alperspe tivewe hara terize the

pri e of a European type option as the unique vis osity solution of a system of

nonlinear integro-dierentialequations. This isarst step towards the

onstru -tion of ee tive numeri als hemes to approximate options pri e.

Thisthesis ismainly omposedof fourpapers, one a eptedand tworevised and

resubmitted.More spe i ally, we have :

(1) OnthePri eofRiskoftheUnderlyingMarkovChaininaRegime-Swit hing

ExponentialLévy Model[101℄,revisedandresubmittedinthejournal

Me-thodology and Computing in Applied Probability;

(2) The Minimal entropy martingale measure for a Markov-modulated

expo-nentialLévy model[102℄,forth ominginthe journalAsia-Pa i

Finan- ial Markets and available online;

(3) Lo alrisk-minimizationPartiallyObservedUnderaMarkov-modulated

ex-ponentialLévy model[97℄,revisedandresubmittedinthejournalApplied

Mathemati al Finan e;

(4) Vis ositySolutionsandthepri ingofEuropean-styleoptionsin a

Markov-modulated exponential Lévy model submitted in the journal Stoa hasti

Analysis and Appli ations.

This form of presentation leads inelu tably tomany repetitions : in the

Keywords

Markov additive pro ess, In ompleteness of the market, lo al-risk minimization,

TABLE DES MATIÈRES

Sommaire... iii

Mots-Clés... iv

Summary... v

Keywords... vi

Liste des tableaux ... xi

Liste des gures ... xii

Remer iements... xiv

Introdu tion générale... 1

Motivation... 1

Le problème de l'in omplétudedu (modèlede) mar hé... 2

Les problèmes numériques liésà l'évaluation des options etla alibration du modèle... 4

Contributions etStru ture de lathèse... 4

Chapitre 1. Preliminaries... 7

1.1. Review of Sto hasti Cal ulus... 7

1.1.1. Sto hasti Notation and Denitions... 7

1.1.2. Basi s onSemimartingales... 9

1.1.3. AdditivePro esses( Lévy Pro esses)... 13

1.1.4. Markov AdditivePro esses... 15

Basi sabout Markov Pro esses... 15

Denitionof a Markov additivepro ess (MAP)... 16

Examplesof Markov Additive Pro esses... 18

1.2.2. Equivalent Probabilitiesand Change of Measure... 22

1.2.3. FundamentalTheorems of Asset Pri ing... 23

Chapitre2. On the Pri e ofRisk of the UnderlyingMarkovChain in a Regime-Swit hing Exponential Lévy Model.... 26

Résumé... 26

Abstra t... 26

2.1. Introdu tion... 27

2.2. A General Regime-Swit hing Exponential Lévy Model... 28

2.2.1. Des ription of the Model... 28

2.2.2. Some Parti ular Models... 30

The Regime-Swit hing Bla k-S holes Model... 30

The Naik Model... 31

OtherModels... 31

2.3. Two Con eptually Dierent Pri ingKernels... 31

2.3.1. Pri ingKernelthatIgnorestheRiskAsso iatedwiththe Markov Chain... 32

2.3.2. Pri ing Kernelthat takes intoA ountthe Risk Asso iated with the Markov hain... 33

2.3.3. MartingaleCondition... 35 2.3.4. Some Approximations... 38 A Comparisonbetween

Q

θ

and

Q

θ

∗

... 39 FurtherApproximation... 40 2.4. Parti ular Cases... 41

2.4.1. The Regime-swit hing Bla k-S holes model... 41

2.4.2. The Regime-swit hing MertonJump-Diusion Model... 42

2.4.3. The Regime-swit hing Varian e-GammaModel... 43

2.4.4. Criterion for Sele ting Ess her Parameters... 45

2.5. Numeri alAnalysis... 45

2.5.1. Dis retization... 45

2.5.2. Monte Carlo Simulations... 46

2.5.3. Experimentsand Results... 47

2.6. Con lusion... 51

2.7. Appendix... 52

2.7.1. An expli it Comparisonbetween

Λ

and

Λ

∗

... 52

Chapitre 3. Lo al risk-minimization under a partially observed

Markov-modulated exponential Lévy model... 53

Résumé... 53 Abstra t... 53 3.1. Introdu tion... 54 3.2. The Model... 55 3.2.1. Framework... 55 3.2.2. Market Information... 57

3.2.3. Ess her TransformChange of Measure... 58

3.3. The Lo ally Risk-MinimizingHedging Problem... 60

3.3.1. Review of Some Notions onThe Risk-MinimizationApproa h.. 60

3.4. MainResults... 63

3.4.1. A MartingaleRepresentation Property... 63

3.4.2. TheLo allyRisk-MinimizingHedgingProblemunderFullInformation for The Model(3.4)-(3.2)... 69

3.4.3. The Lo ally Risk-Minimizing Hedging Problem under Partial Information... 73

3.5. Con luding Remarks... 75

A knowledgements... 76

Appendix... 76

Chapitre 4. Vis osity Solutions and the pri ing of European-style options in a Markov-modulated exponential Lévy model... 78

Résumé... 78

Abstra t... 78

4.1. Introdu tion... 79

4.2. Preliminaries... 79

4.2.1. The modelsetup... 80

4.2.2. A system of se ond-order oupled linear IPDE veried by an European option... 82

4.3.2. Vis osity Solution... 88

4.3.3. ComparisonPrin iple:Existen eandUniquenessoftheVis osity Solution... 95

4.3.4. Existen e of a vis osity solution for the system

(P)

...102

4.4. Con luding Remarks...107

A knowledgment...108

Appendix...108

Chapitre5. Numeri alissuesaroundtheRegime-swit hing exponential-Lévy model : Pri ing and Calibration... 109

5.1. Introdu tion... 109

5.2. Fourier Methods for anEuropean OptionValuation... 110

5.2.1. Basi s onthe Fourier Transform... 110

5.2.2. Algorithm of Ja kson, et al.[82℄... 111

5.2.3. Algorithm of Carrand Madan ([26℄)...113

5.2.4. Comparison of the Algorithms "Fourier-Stepping Time(FST)" and "Carr-Madan(CM)"... 118

5.3. Calibration of a Family of Regime-Swit hing Exponential Lévy Models ... 120

5.3.1. Problem Setting... 120

Problem 1 : Case of the Regime-Swit hingBla k-S holes...121

Problem 2 : Case of the Regime-Swit hingJump-Diusion Model....122

Problem 3 : Case of the Regime-Swit hingVarian e-Gamma Model..122

5.3.2. Numeri al Results... 123

Appendix...128

LISTE DES TABLEAUX

2.1 Comparison with existing results for

T = 1

,

X

0

= 1

and

a

1

= a

2

= 0.5

... 47

2.2 Comparison with existing results for

T = 1

,

X

0

= 2

and

a

1

= a

2

= 0.5

... 48 5.1 Expression of

R

_∞

−∞



e

i

ωx

_{− 1 − iω(e}

x

_{− 1)}



_ρ

j

(dx)

depending on the type of model...116

5.2 FST versus Carr-Madan : European all pri es ina two-state RS-Bla k-S holes model... 119

5.3 FST versus Carr-Madan : European all pri es ina two-state RS-Jump-Diusion model... 119

5.4 Usual loss fun tions used for model alibration... 121

5.5 Calibrated parameters for problem 1...123

5.6 Calibrated parameters for problem 2...124

5.7 Calibrated parameters for problem 3...126

LISTE DES FIGURES

0.1 évolution historiquede l'indi eboursierSP500... 1

1.1 Samplepath of a regimeswit hing VGpro ess... 20

2.1 European Callpri es versus Moneyness... 48

2.2 European Callpri es versus Time to maturity... 49

2.3 European Callpri es versus intensity rate... 49

2.4 RSBla k-S holes vs RSJump-Diusion: Call pri es a ross Strikes.... 50

2.5 RSBla k-S holes vs RSJump-Diusion: Callpri es a ross Maturities. 50 2.6 RSVarian e-Gammamodel: Callpri es a ross Maturities... 50

2.7 RSVarian e-Gammamodel: Callpri es a ross Strikes... 50

5.1 Comparison of the two algorithms "FST" and "Carr-Madan" by the impliedvolatilitygenerated... 118

5.2 RSBla k-S holes model : Comparison between the market pri es 'o' and modelpri es '*'... 123

5.3 RSJump-Diusion model: Comparison between the market pri es 'o' and modelpri es '*'... 125

5.4 RSVarian e-gammamodel:Comparisonbetween the marketpri es'o' and modelpri es '*'... 127

à Claire, Shani e et Celui qui s'en vient

REMERCIEMENTS

Arrivéautermed'un périplequi aquandmêmeduré inqbonnesannées, je

vou-draisproterde l'o asionpourexprimertoutemagratitudeàtous eux quim'en

ontfa ilitélepar ours.Memontranttelpanneausignalétiquepar- i,m'indiquant

lesé ueils àéviter par-làet surtoutm'en ourageant lorsde mes passages àvide.

Ah oui, ily en aeu!

Enpremierlieu,jevoudraisdiretoutemare onnaissan eàManuelMorales,mon

dire teur de re her he qui m'a laissé toute la latitude de hoisir mes hemins

es arpés, tout en gardant un oeil à e que je ne me perde pas. Manuel a été un

mentorpourmoi,toujoursdisponiblepourdis uterde quelqueaspe t que e soit.

Le stage Mita s qu'il a trouvé pour moi à Desjardins GIA m'a permis de voirle

té pratique de la nan e mathématique. En se ondlieu, je remer ie Louis

Do-ray, mon odire teur pour ses pré ieux onseils et les ressour es nan ières qu'il

aobtenues pour moi.

Aussi, je remer ie très humblement le professeur Tak Kuen Siu de l'Université

Ma Quarie qui a bien voulu examiner ette thèse. Asso iés à e même élan, les

professeurs François Perron de l'Université de Montréal et Ghislain Leveillé de

l'é oled'a tuariatdel'UniversitéLavalm'ontaidéparleursremarquesàaméliorer

laqualité de e do ument.

Qu'il me soit permis de remer ier tout le personnel du département de

Mathé-matiques et de Statistique pour leur a ueil et leur sympathie. J'y ai passé de

bons moments durant es dernières années. Je remer ie l'Institut des S ien es

Mathématiques (ISM) et le Centre de Re her hes Mathématiques (CRM) pour

leur soutiennan ier sans lequel ette thèse n'auraitpu être menéeà terme.

Je voudrais remer ier mes nombreux amis et onnaissan es, en parti ulier

Mo-hammedHaddouquim'apris sousson ailedèsmon arrivéeaudépartement,Zied

Ben Salah, Serge Barbeau, Blas he Akpoue, Valéry Dongmo, Foutse Khomh,

Aimé Kuiteng, Olivier Pamen-Menoukeu ainsi que tout le groupe des

Statisti- iens/é onomistes venus d'Abidjan, je ne iterai au un nom i i de peur d'en

ou-blier ertains.

Enn, je distoutema gratitude àtoute mafamilleetma belle-familleau

onstant je n'auraispu a hever e travail.

Je rends grâ e au Très Haut, l'Eternel des armées, d'avoir gardé madroite forte

Motivation

Les hangements brusques et imprévisibles de la tendan e générale des ours

boursiers sont une réalité stru turelle des mar hés nan iers notamment sur le

moyenetlelong terme.Ces hangementsfontalternerdes périodes de roissan e

(rapide ou lente) et de dé roissan e omme l'illustre la gure 0.1 tirée de [120℄

etreprésentant l'évolutionhistorique de l'indi eboursier

SP 500

oté àla Bourse de New-York.

Fig. 0.1. évolution historiquede l'indi e boursier SP500.

Ces ruptures de tendan e trouvent souvent leur origine dans les évènements

ex-térieurs aumar hé à l'instar des hangements dans la politique é onomique, des

hangementsdans l'environnementso io-politiqueouen oredes modi ationsde

la stru ture d'information des agents é onomiques. Hamilton [75℄ en 1989 fut

l'un des premiers à rendre ompte de la présen e d'une telle non-linéarité dans

les séries ma roé onomiques à travers un modèle dont les paramètres sont des

réalisations d'une haîne de Markov à espa ed'états dis ret.

De fa on générale, la modélisation des systèmes évoluant dans un

environne-ment sus eptible de onnaître des hangements est ommune à de nombreux

domaines omme par exemple, les phénomènes de les d'attente (voir

Asmus-sen [7℄); lestélé ommuni ations (voirBreuer [21℄ etlesréféren es in luses)etla

bio-informatique (voir Hansen [76℄). Ellea par ailleurs onnu au ours des deux

dernièresdé enniesunregaind'intérêtdansle hampdelanan emathématique

([18, 24, 25, 30, 39, 50, 74, 87, 103℄, et .) omme une alternative à la

mo-délisationde Bla k-S holes, apable de générer des modèles qui prennent mieux

en ompte la réalité des données boursières. Car en eet, de nombreux travaux

empiriques à l'instar de Mandelbrot [96℄ et Fama [61℄ parmi les plus an iens,

Jorion[84℄etEberleinetKeller[47℄pourlesplusré ents,ontmisen éviden ela

présen e des queuesépaissesdans ladistributiondes ours boursiersetun

ara -tère totalement dis ontinu pour la dynamique de es prix. Ces faits dis réditent

rende-Bla k-S holes. D'autrepart, en onfrontantlesprixd'une option(d'a hat)

Euro-péenne prédits par le modèle de Bla k-S holes à eux réellement observés sur le

mar hé, Ma Beth etMerville[94℄ ontmisen éviden eune diéren estru turelle

ayant l'allured'une ourbe en forme de U en fon tion du prix d'exer i e et de la

maturitéaulieud'être onstanteselonBla ketS holes: ephénomèneest onnu

sous le nom de "smile" de la volatilité (voir [46 ℄pour une re ension).

Le sujet entral de ette thèse est l'étude de la famille des modèles

exponentiel-Lévy ave hangementsde régime markoviens dans la perspe tive de leur

utilisa-tionen ingénierienan ière.Cesmodèlessupposent unereprésentationduprix

S

d'una tifboursierbaséesurunpro essusadditifmarkovien

(X, Y )

, on rètement

S

t

= S

0

exp(Y

t

(X)

),

t

≥ 0

(0.1)

où

Y

(X)

est un pro essus onditionnellementadditifdont les ara téristiques

dé-pendent d'une haîne de Markov

X

.

Ce type de modélisation asso ie les avantages des modèles exponentiel-Lévy

ba-sés sur lespro essus de Lévy à une dépendan e sto hastique dans le temps. Elle

permet notamment une exibilité apable de saisir les prin ipaux faits observés

dansles ours boursiersàl'instarde lavariabilité(sto hastique)temporelle dela

volatilité et des moments d'ordre supérieur, de la distribution (des rendements)

asymétriqueave desqueuesépaisses,du"volatility lustering", -à-d.,lesgrandes

variations de rendements ont tendan e à être suivies par d'autres grandes

varia-tions, de signe opposé, et de fa on analoguepour lespetites variations.

Le point de départ de notre re her he est qu'une meilleure ompréhension de

la théorie des pro essus additifs markoviens élaborée dans les années 70 par

Ez-hov et Skorohod ([59, 60℄), Cinlar ([?, ?℄) et Grigelionis[73℄ permet de donner

des solutions aux prin ipaux problèmes inhérents à l'utilisation de es modèles

pour l'évaluationetla ouverture des produitsdérivés. A et eet,deux typesde

problèmes nous intéressent. Sur un plan théorique d'abord, il s'agit d'étudier le

problème de l'in omplétude du modèle de mar hé basé sur un pro essus additif

markovien, et sur un plan pratique de voir omment les outils de l'ingénierie

-nan ièrepeuventêtreadaptés pourladéterminationdeprixdesproduitsdérivés 1

et des paramètres du modèle qui soient onformes ave les prix observés sur le

mar hé.

Le problème de l'in omplétude du (modèle de) mar hé

L'unedesinnovationsdes travauxde Bla ketS holes[15℄etMerton[98℄aétéde

montrer que, sous l'hypothèse d'absen e d'opportunités d'arbitrage( -à-d.,

l'im-possibilitéde faireduprotsansprendrederisque),ensupposantunedynamique

1

-à-d., desproduits dont lavaleurdépend de l'évolution des ours du mar hé d'una tif

de l'a tifboursier

S

dirigéeparun mouvementBrowniengéométriqueetun mar- hé parfait

2

, la valeur d'une option Européenne ne dépend pas des préféren es

de l'agent investisseur et s'obtient omme solution d'une équation aux dérivées

partielles-l'équation de Bla k-S holes. Ces travaux ont posé le premier jalon de

la nan e mathématique et leurs reformulations par Harrison et Kreps [78℄ et

Harrison et Pliska([79, 80℄) dans le langage de la théorie des martingales etde

l'intégration sto hastique ont donné lieu à une théorie générale de l'évaluation

des options par arbitrage.

Cette théorie stipule notamment que l'hypothèse d'absen e d'opportunités

d'ar-bitrageéquivautàl'existen e d'unemesuredeprobabilitééquivalenteàlamesure

historique sous laquelle tous les (pro essus de) prix a tualisés d'a tifs sont des

martingales (premier théorème fondamental de l'évaluation par arbitrage) et de

plus si le mar hé est omplet, 'est-à-dire pour tout produit dérivé de payo

H

il est toujours possible de onstruire une stratégie de portefeuille dont la valeur

terminale o n ideave

H

,ilyauni itéde lamesuredeprobabilitééquivalente pré édente. Enparti ulier,HarrisonetKreps[78℄etHarrisonetPliska([79, 80 ℄)

montrent que le modèle de Bla k-S holes onduit à un mar hé omplet et par

onséquent, le "juste" prix d'une option Européenne d'a hat de payo

H

est le oûtinitialduportefeuillelerépliquantets'obtient ommel'espéran ede

H

sous l'unique mesurede probabilitémartingale équivalente.

L'un des traits ara téristiques des modèlesqui généralisentle modèle de

Bla k-S holes, àl'instar des modèlesexponentiel-Lévy ave hangements de régime,est

l'in omplétude du mar hé à laquelle ils onduisent, -à-d.,littéralement,

l'impos-sibilitépour un investisseur dans un telmar hé de se ouvrirparfaitement ontre

le risque dû aux u tuations des a tifs.Dès lors, les problèmatiquesde

l'évalua-tion et de la ouverture des produits dérivés dans un tel mar hé se posent ave

une ertainea uité.Notamment,l'on her heàrépondreauxquestionssuivantes:

•

Comment hoisirun opérateurd'évaluationparmilamultitudepour détermi-nerle"juste"prixpourunproduitdérivé,dèslorsquel'uni itédelamesurede

probabilitémartingale équivalenten'est plusgarantiemalgrél'hypothèse

d'ab-sen e d'opportunités d'arbitrage?

•

Comment onstruireune stratégiedeportefeuillequiassure àl'investisseur le minimumde risque maintenantqu'une ouvertureparfaiten'est plus possible?

Cesquestionsontdonnélieuàunevastelittérature([63,64,67,100,109,115 ℄)

désormais lassiqueet ontinuenten oreaujourd'huiào uperunepla ede hoix

en nan e mathématique ave la théorie des mesures de risque developpée par

Artzner,et al.[6℄etDelbaen[40℄entre autres.Cettethèseexplorequelques-unes

desappro hes lassiquesdesolutionauproblèmede ouvertureetd'évaluationdes

optionsdans le adre spé ique des modèles exponentiel-Lévy ave hangements

de régime.

2

Lesproblèmesnumériques liésà l'évaluation des options

et la alibration du modèle

L'une des prin ipales raisonsd'être d'un modèle nan ier est de fournir un

algo-rithmepour déterminerle"juste" prix d'un produit dérivé.Un telprixfournit à

l'investisseurune base rationnellepour jugersilesprixobservés réellementsur le

mar hé sont raisonnableset, don de pourvoirdé iderde l'opportunitéd'a heter

oupas.

Les modèles de mar hé basés sur des pro essus de Markov ont la parti ularité

que lesprix des a tifssont solutions d'équations aux dérivées partielles. Ainsila

résolutionde elles- ifournitdes approximationsdu prixde es a tifs.De fa on

spé ique, le modèle exponentiel-Lévy ave hangements de régime est onstruit

sur un pro essus additifmarkovien etladétermination du prixd'une option

Eu-ropéennedansun telmodèle donnelieuàlarésolutiond'unsystème

d'équations-intégro-diérentielles qui est l'analogue de la élèbre équation de Bla k-S holes

pour le modèle éponyme. Un tel système n'admet généralement pas de solution

ausens lassiquenotammentenraisondelapossibledégénéres en edu oe ient

de diusion. Ce i rend sa résolution omplexe et requiert alors l'utilisation des

méthodes numériques. Ainsidon , ledé onsiste àtrouver un adre fon tionnel

adéquat qui assure l'existen e et l'uni ité de la solution et par suite de fournir

des algorithmes numériques e a es.

Parailleurs, ommesignalépré édemment lemodèle de mar hé basé sur un

pro- essus additif markovien est in omplet e qui implique l'existen e d'une

multi-pli ité de mesures martingales. Dans la pratique de l'ingénierie nan ière, il est

ourant de prendre omme mesure martingale d'évaluation elle " hoisie" par le

mar hé. Con rètement, il s'agit de prendre omme paramètres du modèle eux

qui permettent de répliquer ou du moins de se rappro her le plus possible des

prixobservés sur le mar hé pour lesproduits dérivés liquides :Ce quiest l'objet

de la alibration du modèle.

Contributions et Stru ture de la thèse

Après avoir présenté les notions et on epts utiles à la ompréhension de ette

thèse dans le hapitre ??, la dis ussion des deux problèmatiques évoquées plus

haut onstitue l'essen e des hapitressuivants. De fa on spé ique,

•

La question de l'in omplétude du mar hé asso ié à un modèle exponentiel-Lévy ave hangements de régime est dis utée dans les hapitres ??, ?? et 3.

Cha un de es hapitres onstitue en soi un arti le é rit en ollaboration et

soumis pour publi ation;

•

Les deux derniers hapitres ?? et ?? élaborent sur les questions relatives à l'utilisationpratique du modèle.

Nousprésentons dans lasuite le résuméde nos ontributions.

Dans e hapitre, nous illustrons le ara tère in omplet du modèle de mar hé

en dérivantdeux opérateurs d'évaluationgrâ e àlatransformation d'Ess her qui

dans e adre prend une forme parti ulière en raison de la présen e de la haîne

de Markov

X

.Cedéveloppementthéoriques'inspirede SiuetYang[123℄etnous sert à dis uter de l'hypothèse de la non-prise en ompte du risque liéaux

han-gements de régime généralement invoquée dans la littérature (voir par exemple

[18, 20℄). A l'aidedes simulationsde MonteCarlo, nous montrons que e risque

est substantielpour leprixd'uneoptionEuropéenne.Enparti ulier, pour le

mo-dèle de Bla k-S holes ave hangements de régime nos simulations onrment a

posteriori ertains résultats de la littérature (Naik [103℄ et Boyle et Draviam

[20℄). Dans un se ond temps, nous étudions l'inuen e des sauts sur e risque

à travers les modèles diusion-sauts et Varian e-Gamma ave hangements de

régime.Là aussi, nous notonsune inuen e signi ative du risque de régimesur

leprix de l'option.

Dans le Chapitre ?? basé sur l'arti le Momeya et Ben Salah [102℄, publié dans

la revue Asia-Pa i Finan ial Markets et disponible en ligne, nous abordons

plus dire tement le problème de l'in omplétude à travers le hoix d'une

me-sure équivalente martingalepour évaluer un produit dérivé.Le ritère(de hoix)

retenu du minimum de l'entropie relative est ouramment utilisé dans la

litté-rature notamment en raison de sa relation (par dualité) ave le problème de

ouverture du risque pour un agent ayant une utilité exponentielle. Notre

prin- ipale ontribution est la ara tèrisation de la mesure équivalente martingale

quiminimisel'entropie relativedans le adre d'unmodèleexponentiel-Lévyave

hangementsde régime.Ce résultat est obtenuen travaillant onditionnellement

à la traje toire entière de la haîne, -à-d., en supposant onnue la ltration

F

X

T

:= σ(X

u

: 0

≤ u ≤ T )

. En pro édant ainsi, nous ramenons le problème à la situation d'un modèle exponentiel-additif pour lequel un travail ré ent de F

uji-wara [70℄ donne une solution. Des exemples de al ul sont donnés pour illustrer

laméthodologieproposée.

Le Chapitre ?? dis ute omme le pré édent des onséquen es de l'in omplétude

dumodèledemar héàladiéren equ'i i,ilest moinsquestiondel'évaluationdu

prix d'un produit dérivé que de la détermination d'une stratégie de portefeuille

qui minimise le risque asso ié suivant un ritère quadratique. Il existe dans la

littérature deux appro hes pour e problème selon quela ontrainte

d'autonan- ement oude reprodu tibilité est satisfaite :

•

l'appro hemean-varian ehedging (voir[19,45, 117℄) onsistantàminimiser sur l'ensembledes portefeuillesautonan éslerisque quadratiqueglobal

inter-preté ommeladistan e

L

2

entrelegain

G

T

asso iéàlagestionduportefeuille et lepayo

H

du produit dérivéque l'on her he à ouvrir;

•

l'appro he (lo al) risk-minimization (voir [64 , 114, 115℄) qui onsiste à mi-nimiser, sur l'ensemble des portefeuilles répliquant

H

et non né essairement autonan és, le risque quadratique lo al déni omme la varian e

C'est ette dernière appro he que nous avons suivie. Partant du fait que sous

uneltrationélargiequisuppose la onnaissan ede latraje toire entièrede

X

le pro essus

S

est une semimartingale,nous montrons quele problème seramèneà eluidelaminimisationdu risquelo alsousinformationpartielle.Lastratégiede

solution onsistealorsde résoudre leproblèmesous informationtotaleen suivant

une méthodologie due à Colwell et Elliott [33℄. Pour e faire, nous établissons

un théorème de représentation martingale pour un produit dérivéde type

Euro-péen. Ce qui permetd'obtenir sous une formeexpli ite leportefeuilleoptimalen

as d'informationtotale. Par lasuite, nous obtenons lasolutionsous la ltration

disponibleél'agentpar proje tion. Ce travailfaitl'objet de l'arti le[97℄, oé rit

ave Menoukeu-Pamen, révisé et resoumis.

Dansle Chapitre ??,nous dérivons formellementle système d'équations

intégro-dierentielles non-linéaires vérié par le prix d'une option Européenne. Ensuite,

nous ara térisons e prix omme étant l'unique solution de vis osité d'un tel

système.Le hoixde e adrede solutionsditesgénéralisées est qu'ilimpose peu

de ontraintes derégularité, e quiest parti ulièrementintéressant ar,lorsquele

modèlefaitintervenirdes sauts,ilest engénéraldi iled'assurer larégularitéde

lasolution.Cetravailestl'objetd'unarti lesoumisàlarevueSto hasti Analysis

and Appli ations.

Le Chapitre ?? porte sur des problématiquesnumériques asso iées à l'ingénierie

des modèles de Lévy ave hangements de régime à travers d'une part

l'évalua-tion numérique des options et l'exer i e de alibration qui onsiste à ajuster les

paramètres du modèle an de retrouver les prix d'options ee tivement

obser-vés sur lemar hé. Ledé onsisteà développer des algorithmes de minimisation

qui fournissent des résultats stables dans le temps. Notre appro he se veut plus

exploratoire, en parti uliernous présentons les méthodes de Fourier d'évaluation

PRELIMINARIES

This hapter summarizes the basi terminology and notions of Sto hasti

Cal- ulus and the Mathemati al Finan e. We fo us our attention on denitions and

properties we willneed in the rest of the thesis.

1.1. Review of Sto hasti Cal ulus

The main purpose of this se tion isto re allthe basi on epts of sto hasti

al- ulusneeded inthisthesis.Theseelementsaretakenfromvarioussour esbut we

referthe interestedreadertothemonographsofJa odand Shiryaev[83℄,Protter

[111℄ and Sato [113℄ todeepen various aspe ts dis ussed here.

In parti ular, we present the main lasses of sto hasti pro esses whi h are

fore-groundobje tsinthemodelingofnan ialmarkets.Insubse tion1.1.1,wedene

some on epts and notationused in the sequel. In subse tion 1.1.2 we dene the

important lass of semimartingalespro esses whereas subse tion 1.1.3deals with

additive, lass of pro esses whi hin ludethe Lévy pro ess. Subse tion 1.1.4

des- ribes and presents some results of the literature on Markov additive pro esses

whi h are the main building blo k fo us of our modeling.

1.1.1. Sto hasti Notation and Denitions

We start by xing

•

a set

T

whi h represents the time paramater set. This general set an be

T = {0, 1, 2, ...}

, or

T = [0, ∞)

or also

T = [0, T ]

. In this thesis, we will make lear whi hset weare working onwhen needed;

•

a measurable spa e

(K,

K)

;

•

a ltered probability spa e

(Ω,

F, F, P)

where the ltration

F

= (

F

t

)

{t∈T}

is supposed toberight- ontinuous,i.e.,

F

t

=

T

s>t

F

s

.

Thelteredprobabilityspa e

(Ω,

F, F, P)

is alledsto hasti basis.

(Ω,

F, F, P)

issaid omplete,or equivalently, issaid to satisfythe usual onditions if the

σ

-algebra

F

is

P

- ompleteandif ea h

F

t

ontainsall

P

-nullsets of

F

.By onven-tion, we denote

F = F

Denition1.1. A sto hasti pro ess (or, a

K

-valuedpro ess)is afamily

Y =

(Y

t

)

{t∈T}

of mappings

Y

t

: Ω

−→ K

. When

T = {0, 1, 2, ...}

,

Y

is alled dis rete-time pro ess and when

T = [0, ∞)

or

T = [0, T ]

,

Y

is alled ontinuous-time pro ess.

(K,

K)

is alled the state spa e of

Y

.

In this thesis, we onsider unless otherwise stated that

K = R

and then all pro esses used inthe sequel willbe real-valued.

The pro ess

Y

may be onsidered asa map from

Ω

× T

into

R

via

(ω, t)

_{7→ Y (ω, t) = Y}

t

(ω).

In this ase,

t

7→ Y

t

(ω)

for

ω

∈ Ω

xed is alled sample path ortraje tory of the pro ess

Y

.

Denition1.2. Apro ess

Y

is àdlàgifallofthetraje toriesareright- ontinuous (inother words,for almost all

ω

∈ Ω

the mapping

t

7→ Y

t

(ω)

is right- ontinuous, i.e.,

lim

s→t

+

Y

_s

= Y

_t

) and admits leftlimits (i.e.,

∃ lim

s→t

−

Y

_s

=: Y

_t

−

).

Similarly, a pro essis àglàd if allhis traje tories are left- ontinuous and admit

right limits.

Denition 1.3. The jump of a àdlàg pro ess

Y

at time

t

is dened as

∆Y

t

:=

Y

t

− Y

t

−

.

Denition1.4. Apro ess

Y

isadaptedtotheltration

F

if

Y

t

is

F

t

-measurable, for every

t

∈ T.

Denition 1.5. A stopping time is a mapping

T : Ω

→ [0, ∞]

su h that

{T ≤ t} ∈ F

t

for all

t

∈ T

.

For a stopping time

T

, the pro ess

Y

T

dened as

Y

T

t

= Y

T Λt

, is alled pro ess stopped at time

T

. Denition 1.6.

1) The

σ

-algebra on

Ω

× T

generated by all àg adapted pro esses, namely

P := σ{Y : Ω × T → R|Y

is àg

}

is alled predi table

σ

-algebra.

2) The

σ

-algebra on

Ω

× T

generated by allthe àdlàg adapted pro essesis alled optional

σ

-algebra and denoted by

O

.

3)A pro essissaidtobe predi tableor optional ifitismeasurablewithrespe t

1.1.2. Basi s on Semimartingales

The lass of semimartingales is probably the most important in the theory of

sto hasti al ulussin e it an providein allitsgenerality the theory of

sto has-ti integral. Also, be ause it remains stable with respe t to various operations

like,forexample, hangeofmeasure, hangeofltrationandsto hasti hangeof

time.It in ludesinparti ular the lass ofmartingales and that ofpro esses with

nite orbounded variation.

Before dening the lass of semimartingaleswe need a fewdenitions.

Denition1.7. Let

p

≥ 1.

Thefamily of random variables

Y : Ω

→ [0, ∞]

, su h that

||Y ||

L

p

:= (E

P

[

|Y |

p

])

1

p

=

 Z

Ω

|Y |

p

_dP



1

p

<

_∞,

is denoted by

L

p

_(Ω,

_{F, P)}

.

A random variable

Y

issaid to be integrable (resp. square-integrable) if

Y

∈

L

1

_(Ω,

_{F, P)}

(resp. if

Y

∈ L

2

_(Ω,

_{F, P)}

. We dene an equivalen e relation on

L

p

_(Ω,

_{F, P)}

, by setting

X

∼ Y

i

X = Y P

-a.s.

,

for all

X, Y

∈ L

p

_(Ω,

_{F, P)}

. Then

L

p

_(Ω,

_{F, P)}

is dened as the orresponding

family of equivalen e lasses.

Denition 1.8. A pro ess

Y

is said to be uniformly integrable(UI) if it sa-tises the ondition

lim

n→∞

sup

_t∈T

Z

{|Y

t

|≥n}

|Y

t

|dP = 0.

Now, we denethe notion of martingale.

Denition 1.9. A pro ess

M

is alled a martingale if

• M

is adapted with respe t to

F

;

• M

t

is integrable, for all

t

∈ T

;

• E

P

_[M

t

|F

s

] = M

s

P

-a.s., for all

s

≤ t ∈ T

(known as Martingale property).

Wedenoteby

M

thefamilyofalluniformlyintegrablemartingalesandby

H

2

the

sub- lass of

M

whose elements are square-integrable martingales (i.e.,

M

∈ M

and

sup

t∈T

E

P

[M

t

2

] <

∞

).

Denition 1.10. A pro ess

M

is a lo al martingale if and only if there exists an in reasing sequen e

(T

n

)

n∈N

of stopping times (depending on

M

) su h that

lim

_n→∞

T

n

=

∞ a.s.(almost surely)

andthatea hstoppedpro ess

M

T

n

isa

mar-tingale.Thesequen e

(T

n

)

n∈N

ofstoppingtimesis alledaredu ingorlo alizing sequen e.

The family of all lo al martingales (resp. square-integrable lo al martingales) is

denoted by

M

loc

(resp.

H

2

loc

).Thefollowingresultgivesane essary onditionfor alo almartingale tobe a UI martingale.

Theorem 1.1. (Protter [111 ℄, Thm I.51) Let

Y

be a lo al martingale su h that

E

P

_[sup

0≤s≤t

|Y

s

|] < ∞

for every

t

∈ T

. Then

Y

is a martingale. If

E

P

_[sup

s∈T

|Y

s

|] < ∞

, then

Y

is an uniformly integrable martingale.

Anotherimportantsub lass offamilyofsemimartingalesisthatofpro esseswith

nite orbounded variation whi h wenow dene .

Denition 1.11. A àdlàg and adapted pro ess

A

su h that

A

0

= 0

is alled a bounded variation pro ess if almost all of its sample paths

t

→ A

t

(ω)

are fun tionswithboundedvariationoverea h ompa tinterval

[0, t]

. Inotherwords, for every

t

∈ T

we require

Z

t

0

|dA

s

| := lim

n→∞

m

X

n

−1

i=0

|A

t

n

i+1

− A

t

n

i

| < ∞, a.s.

(1.1)

for all partitions

π

n

₌

_{t

n

0

, t

n

1

, ..., t

n

m

n

}

of

[0, t]

su h that

lim

n→∞

||π

n

|| = 0

with

||π

n

|| := sup

0≤i<m

n

|t

n

i+1

− t

n

i

|,

denoting the mesh of the partition.

Thefamilyofallboundedvariationpro essesisdenoted by

V

. Thesub- lassof

V

whose elements are integrable(resp. lo ally integrable) (i.e.,

E

P

_[

R

∞

0

|dA

s

|] < ∞

) isdenoted

A

(resp.

A

loc

).

Now, we an give the denition of a semimartingale.

Denition 1.12. A semimartingale is a pro ess

Y

of the form

Y = Y

0

+ M + A

(1.2)

where

Y

0

is a nite-valued random variable

F

0

-measurable,

M

is a lo al martin-gale beginning at 0, and where

A

a bounded variation pro ess.

Aspe ial semimartingaleisasemimartingale

Y

whi hadmitsade omposition

Y = Y

0

+ M + A

as above, with a pro ess

A

that is predi table.

Thespa e ofallsemimartingales(resp.spe ial semimartingales)isdenoted by

S

(resp.

S

p

)

.

Remark 1.1.1. If

Y

is a spe ial semimartingale then its de omposition

Y =

Y

0

+ M + A

with

A

that is predi table, is unique and is alled the anoni al de omposition of

Y

.

Inthis thesis, we willuse the notionof quadrati ovariationof semimartingales.

We introdu e it inthe following.

Denition 1.13.

Let

Y

a semimartingale.Thequadrati variation pro essof

Y

, denoted by

[Y ]

, dened by setting,

[Y ]

t

:= Y

t

2

− Y

0

2

− 2

Z

t

0

Y

s

−

dY

_s

,

for all

t

∈ T.

Denition 1.14. Let

Y, Z

∈ S.

By using the polarization identity, we dene the quadrati ovariation pro ess of

Y

and

Y

as

[Y, Z] :=

1

2

([Y + Z]

− [Y ] − [Z]).

Remark 1.1.2. Let

Y, Z

∈ S

. By It
's dierentiation rule, we have that

[Y, Z]

t

= Y

t

Z

t

− Y

0

Z

0

+

Z

t

0

Z

s

−

dY

_s

+

Z

t

0

Y

s

−

dZ

_s

,

(1.3) for every

t

∈ T

.

Also, we introdu e the notion of ompensatoror dual predi table proje tion for

anite variationpro ess.

Proposition 1.1 (Ja od etShiryaev [83℄,Prop. 3.18).

Let

A

∈ A

loc

. There exists a pro ess, alled the ompensator ou the dual pre-di table proje tion of

A

and denoted by

A

e

, whi h is unique up to indistingui-shability, and whi h is hara terized by being a predi table pro ess of

A

loc

su h that

A

− e

A

∈ M

loc

.

Proposition 1.2 (Ja od etShiryaev [83℄,Prop. 4.50).

Let

M, N

∈ M

2

loc

. Then

[M, N]

∈ A

loc

and its ompensatoris

hM, Ni

. If

M, N

∈

M

2

_MN

_{− [M, N] ∈ M}

.

Withtheabove,wegeneralizethe on ept of ompensatortothesemimartingales

with lo allyintegrablevariation.

The notion of orthogonality of two semimartingalesis dened as

Denition1.15. Two

P

-semimartingales

Y

and

Z

are alled orthogonal under a measure

P

if

[Y, Z]

isa lo al martingale under

P

.

In this ase, we have

hY, Zi = 0

and some authorsused this lastproperty as the denition of orthogonality.

We nowintrodu ethe notion ofrandom measures, namelythe random measures

asso iatedwith the jumps of asemimartingale,and their ompensators.

Denition 1.16.

1) A random measure on

T × R

is a family

π =

{π(ω; dt, dx) : ω ∈ Ω}

of non-negativemeasures on

(T

×R, B(T)⊗B)

satisfying

π(ω;

{0}, dx) = 0

forall

ω

∈ Ω

.

2) Let

π

be a random measure and let

U

be an optional fun tion, i.e.,

O ⊗ B

-measurable. The integral pro ess

U

∗ π

is dened as

U

_{∗ π}

t

(ω) =

( R

[0,t]×R

U(ω, s, x)π(ω; ds, dx)

if the integral onverges

+

_∞

otherwise.

(1.4)

3) A random measure is said to be optional (resp. predi table) if the integral

pro ess

U

∗ π

is optional (resp. predi table) for any optional(resp. predi table) fun tion

U

.

Denition1.17. Let

Y

be asemimartingale. Therandommeasure

N

asso iated to the jumps or jump measure of

Y

is dened as

N(dt, dx) =

X

s>0,s∈T

1

_{∆Y

s

6=0}

δ

{s,∆Y

s

}

(ds, dx),

(1.5)

where

δ

a

denotes the Dira measure at point

a

.

Remark 1.1.3 (Ja od and Shiryaev[83 ℄, Prop II.1.14, II.1.16).

N(

_{·, ·)}

is integer-valued and optional. For any nonnegative optional fun tion

U

, we have

U

∗ N(t, ·) =

X

0<s≤t

U(s, ∆Y

s

)1

∆Y

s

6=0

.

(1.6)

Theorem 1.2 (Ja od and Shiryaev [83 ℄,Prop II.1.8).

Let

N(

·, ·)

be thejump measure of

Y

.The dualpredi table ompensator under

P

of

N(

·, ·)

, denoted

ν

P

(whi h is unique up to a

P

-null set) is the predi table random measure whi h satises one the followingequivalent properties :

(i)

E

P

_(U

_{∗ ν}

P

∞

) = E

P

(U

∗ N

∞

)

for every nonnegative predi table fun tion

U

; (ii) Forevery predi tablefun tion

U

su hthat

|U|∗N

isnite-valuedandlo ally

P

-integrable (whi h is equivalent to

|U| ∗ ν

P

being nite-valued and lo ally

P

-integrable),

U

∗ N − U ∗ ν

P

is a lo al

P

-martingale.

Akeyresultinthe theoryofsto hasti integrationisIt
'slemma.This isatool

Theorem 1.3 (GeneralizedIt
's Formula, see [111℄).

Let

Y

be a semimartingale and let

f

be a real-valued fun tion twi e ontinuously dierentiable, i.e.

f

∈ C

2

_((R))

. Then

f (Y )

is again a semimartingale, and the followingformula holds :

f (Y

t

)

− f(Y

0

) =

Z

(0,t]

f

′

(Y

s

−

)dY

_s

+

1

2

Z

(0,t]

f

′′

(Y

s

−

)d[Y, Y ]

c

_s

+

X

0<s≤t

{f(Y

s

)

− f(Y

s

−

)

− f

′

(Y

_s

−

)∆Y

_s

}.

(1.7)

1.1.3. Additive Pro esses ( Lévy Pro esses)

The most used semimartingales in mathemati al nan e are Lévy pro esses or

more generally additive pro esses (see Cont and Tankov [34℄). The main reason

of this omes fromthe property of independen e of in rements whi hallows

nu-meri al al ulations. The denition given below istaken fromSato [113℄.

Denition 1.18.

i)Asto hasti pro ess

L =

{L

t

}

t≥0

on

R

is alleda Lévypro ess ifthefollowing onditions are satised :

(1) it has independent in rements, that is, for any hoi e of

n

≥ 1

any parti-tion

0

≤ t

0

< t

1

< ... < t

n

, the random variables

L

t

0

, L

t

1

− L

t

0

, ..., L

t

n

−

L

t

n−1

are independent;

(2) it starts at the origin,

P(L

0

= 0) = 1

, or

L

0

= 0

a.s.;

(3) it is time homogeneousor stationary, that is, the distribution of

{L

t+s

−

L

s

: t

≥ ǫ}

does not depend on

s

;

(4) it is sto hasti ally ontinuous, that is, for any

ε > 0

,

lim

h→0

P(|L

t+h

− L

t

| ≥ 0) = 0;

(5) as a fun tion of

t

,

L

t

(ω)

is àdlàga.s. ii) A sto hasti pro ess

L =

{L

t

}

t≥0

is alled an additive pro ess if it satises (1),(2),(4) et (5).

Additive pro esses are intimately related to the innitely divisible distributions

Theorem 1.4 ( Lévy-Khint hine representation).

Let

Y

be a real-valued additive pro ess.Then, there is a unique ontinuous fun -tion

ψ : (u, t)

7→ ψ

t

(a)

dened from

R × T

to

C

su h that

ψ

0

(u) = 0

and

E

P

h

_e

i

u(Y

t

−Y

0

)

i

_{= e}

ψ

t

(u)

_,

(1.8)

for all

u

∈ R

and

t

∈ T

. Also,

ψ

t

(u)

an be written as

ψ

t

(u) = iuγ

t

−

1

2

u

2

_Σ

t

+

Z

R

×[0,t]



e

i

ux

− 1 − iu x1

|x|<1



ν(ds, dx)

(1.9)

where

Σ

t

,

γ

t

, and

ν

are uniquely determined and satisfy the following

(1)

t

7→ Σ

t

is a ontinuous fun tion from

T

to

R

+

su h that

Σ

0

= 0

and

Σ

t

− Σ

s

≥ 0

for all

s

≤ t ∈ T

.

(2)

t

7→ γ

t

isa ontinuous fun tion from

T

to

R

su h that

γ

0

= 0

.

(3)

ν

is a Borel measure on

T × R

with

ν(T,

{0}) = 0

,

ν(

{t}, R) = 0

for all

t

∈ T

and,

Z

R

×[0,t]

(

|x|

2

_{∧ 1) ν(ds, dx) < ∞.}

(1.10)

Furthermore,

{(Σ

t

, γ

t

, ν) : t

∈ T}

uniquely determines all nite distributions of the pro ess

Y

− Y

0

.

Conversely, if

{(Σ

t

, γ

t

, ν) : t

∈ T}

is any triplet satisfying the three onditions above, then there exists an additive pro ess satisfying (1.8) and.(1.9).

Thisextensionofthe lassi Lévy-Khint hineformulatoadditivepro essistaken

fromLowther[93℄ where the interested readers an nd the proof.

The fun tion

ψ

t

is alled the hara teristi exponent of pro ess

Y

. Another im-portant hara teristi property of additive pro ess is obtained by studying its

samplepaths.

Proposition 1.3 ( Lévy-It
de omposition, Sato [113℄).

Let

Y =

{Y

t

}

t∈T

be a real-valued additive pro ess with the system of triplets

{(Σ

t

, γ

t

, ν(

·, t))}

.

For any

G

∈ B(T) × B(R)

, let

N(G) = N(ω; G)

be the number of jumps at time

s

with height

Y

s

(ω)

− Y

s

−

(ω)

∈ G

. Then

N(G)

has a Poisson distribution with mean

ν(G)

.

If

G

1

, ..., G

n

aredisjoint, then

N(G

1

), N(G

2

), ..., N(G

n

)

are independent. We an dene, for any

t

∈ T

and

P

-a.s forevery

ω

Y

_t

1

(ω) = lim

ε↓0

Z

ε≤|x|<1,s∈(0,t]

x

{N(ω; ds, dx)−ν(ds, dx)}+

Z

|x|≥1,s∈(0,t]

xN(ω; ds, dx),

(1.11)

wherethe onvergen eintheright-handisuniformin

t

foranynitetimeinterval of

T

a.s. The pro ess

{Y

1

triplets

{(0, 0, ν(·, t))}

. Let

Y

2

the pro ess dened as

Y

2

t

(ω) := Y

t

(ω)

− Y

t

1

(ω).

(1.12)

Then

Y

2

₌

_{Y

2

t

}

t∈T

is a real-valued additive pro ess ontinuous in

t

(a.s.) with thesystem of triplets

{(Σ

t

, γ

t

, 0)

}

. Thetwo pro esses

Y

1

and

Y

2

are independent.

The proof of this an result an be found in Sato[113℄.

1.1.4. Markov Additive Pro esses

In this se tion, we introdu e the notion of Markov additive pro ess (MAP) as

dis ussed in the seminal papers of Ezhov and Skorohod ([59℄,[60℄) and Çinlar

([?℄),[?℄). Formaking this presentation learly, were all the basi on epts from

the theory of Markov pro esses theory asfound inBlumenthal and Getoor[17℄.

We followthe samenotationasinsubse tion1.1.1 and we onsider ameasurable

spa e

(E,

E)

where

E

is a lo ally ompa t separable metri spa e and

(F,

F) =

(R

m

_{, B(R}

m

₎

the Eu lidean spa e of dimension

m

≥ 1

equipped with its Borel

σ

-algebra.

Basi s about Markov Pro esses

Denition 1.19. A fun tion

P

s,t

(x, A)

dened for

s

≤ t ∈ T

,

x

∈ E

,

A

∈ E

and taking its values in

[0, 1]

is a transition probability measure on

(E,

E)

if

• A → P

s,t

(x, A)

is a probability measure on

E

, for any

(s, t, x)

∈ T × T × E

xed;

• (t, x) → P

s,t

(x, A)

isa measurablefun tion,for ea h

A

∈ E

and

(s, t)

∈ T × T

xed;

• P

s,s

(x, A) = δ

x

(A)

for

s

∈ T

;

•

for

s

≤ u ≤ t

in

T

and for

x

∈ E, A ∈ E

P

s,t

(x, A) =

Z

P

s,u

(x, dy)P

u,t

(y, A).

(1.13)

A transition probability measure

P

s,t

(x, A)

on

(E,

E)

is temporally homoge-neous if there exists a measurable fun tion

P

t

(x, A)

dened for

t > 0

,

x

∈ E

, and

A

∈ E

su h that

In this ase

P

t

(x, A)

is alled a temporally homogeneous transition proba-bilitymeasure on

(E,

E)

.

Denition 1.20. Let

F

X

t

:= σ(X

s

: 0

≤ s ≤ t)

be the natural ltration of

X

augmented with

P−

null sets of

Ω

.

1)

X

is a Markov pro ess if

P

h

X

t

∈ A





F

s

X

i

= P

h

X

t

∈ A





σ(X

s

)

i

,

for all

s < t

∈ T

and

A

∈ E.

(1.15)

2) If

{G

t

: t

∈ T}

is a ltration with

F

X

t

⊂ G

t

,

∀t ∈ T

,

X

is a Markov pro ess with respe t to

{G

t

: t

∈ T}

if (1.15) holds with

F

X

t

repla ed by

G

t

.

Remark1.1.4. Theproperty1.15 isgenerallyknownasthe Markovproperty.

Denition 1.21.

X

is a Markov pro ess with transition probability measure

P

s,t

(x, A)

if

E

P

h

f

◦ X

t





F

s

X

i

=

Z

f (y)P

s,t

(X

s

, dy)

(1.16)

for any

s < t

∈ T

and

f

a bounded test fun tion dened on

E

.

Denitionof a Markov additive pro ess (MAP)

Let

(X, Y ) =

{(X

t

, Y

t

), t

∈ T}

be a bivariate Markov pro ess on

(E

× F, E ⊗ F)

with respe t to the ltration

{F

t

, t

∈ T}

with transition probability measure

P

s,t

(x, y; A

× B)

. Let

{Q

s,t

: s < t; s, t

∈ T}

be a family of transitionprobability measures dened from

(E,

E)

into

(E

× F, E ⊗ F)

and satisfying

Q

s,t

(x, A

× B) =

Z

E×F

Q

s,u

(x, dy

× dz)Q

u,t

(y, A

× (B − z))

(1.17) forany

s < u < t; s, t, u

∈ T

,

x

∈ E

,

A

∈ E, B ∈ F

where

B + a =

{b + a : b ∈ B}

for any

a

∈ F

.

Denition 1.22. (Çinlar [?℄)

Let

(X, Y ) =

{(X

t

, Y

t

), t

∈ T}

.

(X, Y )

is a Markov additive pro ess with respe tto theltration

{F

t

, t

∈ T}

andwith semi-Markovtransitionfun tion

Q

s,t

if

P

s,t

(x, y; A

× B) = Q

s,t

(x, A

× (B − y)),

(1.18) The above ondition means that :

P

s,t

(x, y; A

× B) = P

s,t

(x, 0; A

× (B − y)).

(1.19) Equation (1.19) justies the name Markov pro esses with homogeneous

Denition 1.23. (Grigelionis [73℄)

Let

(X, Y ) =

{(X

t

, Y

t

), t

∈ T}

.

(X, Y )

is a Markov additive pro ess with respe t to the ltration

{F

t

, t

∈ T}

if

P

h

X

t

∈ A, Y

t

− Y

s

∈ B





F

s

i

= P

h

X

t

∈ A, Y

t

− Y

s

∈ B





X

s

i

P

-a.s. (1.20) for all

0

≤ s ≤ t ∈ T

and

A

∈ E

,

B

∈ F

.

The rst result we an dedu e from the denition above is

Proposition 1.4. (Ezhov and Skorohod [59℄)

Let

(X, Y ) =

{(X

t

, Y

t

), t

∈ T}

be a Markov additive pro ess with respe t to the ltration

{F

t

, t

∈ T}

. Then

X

isa Markov pro esswith respe t to

{F

t

, t

∈ T}

. Proof.Indeed, for any

s < t

∈ T

and

A

∈ E

P

h

X

t

∈ A





F

s

i

= P

h

X

t

∈ A, Y

t

∈ F





F

s

i

= P

h

X

t

∈ A, Y

t

∈ F





(X

s

, Y

s

)

i

= P

h

X

t

∈ A, Y

t

− Y

s

∈ F





X

s

i

= P

h

X

t

∈ A





X

s

i

,

(1.21)

wherewehavesu essivelyused theMarkovpropertyof

(X, Y )

,thefa tthat the transitionprobability measure asso iated to

(X, Y )

is translation invariant in

Y

and the denition of Markov additivepro ess.

Remarque 1.1.1. From the denition 1.22, if

{Q

s,t

: s < t; s, t

∈ T}

is the semi-Markovtransition fun tion asso iated to

(X, Y )

then the omponent

X

is a Markov pro ess with state spa e

(E,

E)

and transition probability measure

{P

s,t

:

s < t; s, t

∈ T}

dened for all

x

∈ E, A ∈ E P

s,t

(x, A) := Q

s,t

(x, A

× F ).

Now, we introdu e the notation

F

X

s,t

:= σ(X

u

: s

≤ u ≤ t)

,

F

X

T

:=

F

0,T

X

and

α

t

_s

(z) = E

P

h

_e

i

_hz,Y

t

−Y

s

i





F

s,t

X

i

,

for

0

≤ s < t

and

z

∈ R

m

_,

whi h represents the onditional hara teristi fun tion of

Y

t

− Y

s

given

F

X

s,t

.

We give here the hara teristi properties of a Markov additive pro ess

(X, Y )

withoutproofs, the interested reader an onsult the referen es [59℄ and [73℄.

Proposition 1.5 (Grigelionis[73 ℄). For all

0

≤ s < t

and

z

∈ R

m

,

E

P

h

e

i

hz,Y

t

−Y

s

i





F

s

∨ F

T

X

i

= α

t

_s

(z),

P

-a.s. (1.22) Proposition 1.6 (Ezhov and Skorohod [59℄,Grigelionis[73℄).

σ

-algebra

F

X

T

generated by all the traje tories of

X

. In other words, for any

0

_{≤ s < t ∈ T}

and

B

∈ F

we have

P[Y

t

− Y

s

∈ B|F

s

∨ F

T

X

] = P[Y

t

− Y

s

∈ B|F

T

X

],

P

-a.s. (1.23) or equivalently,

for any integer

n

≥ 1

and subdivision

0

≤ t

1

< t

2

< ... < t

n

of

T

, if

(h

i

)

n

1

are

F

-measurablebounded fun tions then

E

P

h

n

Y

i=1

h

i

(Y

t

i

− Y

t

i−1

)





F

T

X

i

=

n

Y

i=1

E

P

h

_h

i

(Y

t

i

− Y

t

i−1

)





F

T

X

i

,

P

-a.s. (1.24)

From these denitions, we an say that a Markov additive pro ess is a bivariate

Markov pro ess

(X, Y )

su h that

• X

is alsoa Markov pro ess;

•

the future of

Y

orany measurablefun tion of

Y

willbeindependentfromits past given the present state of

X

.

Therefore,

X

is alled the Markov omponent and

Y

is the additive omponent for the MAP

(X, Y )

.

Examples of Markov Additive Pro esses

We give here some examples of Markov additive pro esses. These examples are

dened by spe ifyingsome onditions onone orthe other omponent of aMAP.

Mostof the subje tof this se tionare based onthe book ofPa he o etal.[106℄.

Example 1 : The state spa e

E

is a singleton

{e}

Forany

0

≤ s < t ∈ T

,

P[Y

t

∈ B|Y

s

= y] = P[X

t

= e, Y

t

∈ B|X

s

= e, Y

s

= y]

= P[X

t

= e, Y

t

− Y

s

∈ B − y|X

s

= e]

= P[Y

t

− Y

s

∈ B − y],

(1.25)

wherewe have used su essively thefa t that

(X, Y )

isaMAP and thefa t that

Y

is onditionally independent. In this ase,

Y

is a pro ess with independent in rementsoranadditivepro ess.Thisallowsustoseethat thefamilyofMarkov

additivepro esses isanextension ofthat of additivepro esses. However, itmust

be said that in general, the additive omponent

Y

of a MAP does not have independent in rements.

Example 2 :

T = N

and

E

is dis rete

In this ase, the Markov additive pro ess

(X, Y )

is a Markov Random Walk on spa estate

E

×F

withtransitionprobabilitymeasure satisfying,forany

1

≤ m <

n

integers,

B

∈ F

;

j, k

∈ E

and

y

∈ F

P[X

n

= k, Y

n

∈ B|F

m

] = P[X

n

= k, Y

n

∈ B|X

m

= j, Y

m

= y]

= P[X

n

= k, Y

n

− Y

m

∈ B − y|X

m

= j]

= P[Y

n

− Y

m

∈ B − y|X

n

= k, X

m

= j]

× P[X

n

= k

|X

m

= j],

(1.26)

wherewehaveusedtheMarkovpropertyandthefa tthat

(X, Y )

isMAP.Noting that the additive omponent

Y

an be written as

Y

n

=

P

n

l=1

(Y

l

− Y

l−1

)

, whi h is like a random walk in the usual sense. When

E

is nite, the Markov additive pro ess an be hara terized by a matrix of transitionprobabilities

F (dx) = (F

ij

(dx))

i,j∈E

.

Indeed, by setting

• Z

n

= Y

n

− Y

n−1

;

• F

ij

(dx) = P

i,0

(X

1

= j, Z

1

∈ dx)

;

• p

ij

= F

ij

(F )

the

(i, j)

−

element,

i, j

∈ E

, of the matrix of transition proba-bilities of

X

,we have

F

ij

(dx) = P[Z

1

∈ dx|X

0

= i, X

1

= j]

× p

ij

.

(1.27) Therefore, given

H

ij

(dx) := P[Z

1

∈ dx|X

0

= i, X

1

= j]

we an determineentirely the traje toryof

Y

on easamplepath of

X

isknown. This ishowwepro eedto simulate a sample path of

(X, Y )

or

(X, S)

(see Figure 1.1) as we will see later in hapter2.

Itisworth notingthattheexample ofMAPdes ribed aboveisused tomodelling

theregimeswit hes inE onometri s(see, e.g.,[75℄)and intheswit hingARCH 1

modellingof volatilityin the sto k market.

Example 3 :

T

is ontinuous time parameter set and

E

is nite Here, the omponent

X

is spe iedby anintensity matrix

Λ = (λ

ij

)

i,j∈E

, and

•

On an interval

[s, s + t)

where

X

s

≡ i

,

Y

s

evolves like a Lévy pro ess with hara teristi triplet

(σ

2

i

, γ

i

, ν

i

(dx))

depending on

i

;

•

A transition of

X

from

i

to

j

,

j

6= i

has a probability

q

ij

of giving rise to a jump of

Y

at the same time, the distribution of whi h has some distribution

B

ij

.

Forthe lasttwoexamples,as thestate spa e

E

of the omponent

X

isnite, the Markov additivepro ess an be ompletely hara terizedby itsmoment

genera-ting fun tion whi hhere an be expressed as a matrix. Thus, for a MAP

(X, Y )

if

F

b

t

[α]

is the matrix with

(i, j)

−

element,

i, j

∈ E E

P

_[e

αY

t

₁

{X

t

=j}

|X

0

= i]

then

1