A teoria dos Campos Conceituais foi desenvolvida por Vergnaud, psicólogo francês, no período compreendido entre os anos 1970 e 1980, com a finalidade de explicar a formação e o desenvolvimento de conceitos matemáticos.
Vergnaud (1993, 2009b) afirma que a formação de um conceito requer uma relação estreita entre o conceito e um conjunto de situações. Porque o sujeito não forma um conceito por meio da resolução de um tipo de problema ou de problemas similares, assim como, não resolve uma situação com apenas um conceito. Desta forma, não é coerente falar na formação de um conceito, mas de um campo conceitual.
Para Vergnaud (2009b, p. 29) um campo conceitual é
[...] ao mesmo tempo um conjunto de situações e um conjunto de conceitos: o conjunto de situações cujo domínio progressivo pede uma variedade de conceitos, de esquemas e de representações simbólicas em estreita conexão; o conjunto de conceitos que contribuem com o domínio dessas situações.
Assim sendo, pesquisadores e/ou professores, interessados em compreender a aprendizagem e o desenvolvimento dos estudantes, são conduzidos a análise de um conjunto de situações e um conjunto de conceitos. Na definição de campo conceitual identificam-se três conjuntos distintos, que juntos constituem o tripé que subjaz a formação de um campo conceitual (Figura 11).
Figura 11: Tripé que subjaz a formação de um campo conceitual
Fonte: Elaborada pela autora com base em Vergnaud (2009b)
Conforme Vergnaud (1993, 2009b), é por meio do conjunto de situações que os sujeitos atribuem sentindo ao conceito e, progressivamente, permite significá-lo. O conjunto de invariantes operatórios estruturam as formas de organização da atividade (esquemas). Em outros termos, é neste conjunto de objetos, propriedades e relações que baseia-se a operacionalidade do conceito. Cabe ao conjunto de representações (linguísticas e simbólicas) representar os conceitos e suas relações (propriedades, procedimentos). Assim, a aquisição de um campo de conceitual não pode ser resumida a um conjunto de regras, fórmulas ou definições, também, não pode ser explorada em uma única etapa da escolaridade.
Percebe-se que a teoria dos Campos Conceituais enfatiza a noção de conceito e o tripé que subjaz a sua formação para a aprendizagem e desenvolvimento cognitivo, entendendo a situação como referência para os objetos matemáticos, os invariantes como significado e as representações como significante. Do ponto de vista de Duval (204, 2011) a conceitualização em Matemática é eminentemente semiótica, centrando-se na diversidade de registros de representação semiótica e na coordenação destes registros para aprendizagem desta disciplina, conforme mencionado na seção 2.2. Assim, há diferenças e aproximações entre estas teorias que merecem ser analisadas para a compreensão da aprendizagem matemática.
A noção de esquema44, identificada na definição de campo conceitual, é a organização invariante das atividades para uma certa classe de situações. Em outras palavras, tem uma parte estável na organização da atividade, por isso, que o termo invariante não trata da atividade, mas da organização desta. Um esquema se dirige a uma classe de situações e não apenas a uma situação. O esquema, assim como o conceito, tem caráter universal para todas as situações de
uma classe. Além disso, ele possui um “papel central no funcionamento da representação dos conceitos, pois proporciona o vínculo entre a conduta do sujeito e a representação e, consequentemente, a conceitualização” (COLOMBO, 2008, p. 123).
O desenvolvimento de esquemas é um dos objetivos da instituição escolar. Para tanto, é preciso analisar quais situações serão propostas aos estudantes. Vergnaud (1996, p. 156) descreve duas classes de situações, a saber:
1 - classes de situações para as quais o sujeito dispõe, no seu repertório, num dado momento do seu desenvolvimento, e em determinadas circunstâncias, das competências45 necessárias ao tratamento relativamente imediato da situação;
2 - classes de situações para as quais o sujeito não dispõe de todas as competências necessárias, o que o obriga a um tempo de reflexão e de exploração, a hesitações, a tentativas abordadas, conduzindo-o, quer ao êxito, quer ao fracasso.
Propor situações em que os estudantes não dispõem dos esquemas necessários para resolvê-las e, portanto, precisam aceitar a mudança de esquema, são importantes porque possibilitam uma nova organização da atividade.
Entende-se que, sob a ótica dos RRS, a primeira classe de situações quando relacionadas a conceitos matemáticos, pode ser interpretada, como problemas em que os sujeitos conseguem discriminar as unidades de sentido pertinentes do registro de representação, no qual a situação foi proposta, e transformá-lo em outro(s) registro(s). Caso a situação seja dada no registro da língua natural, o sujeito conseguiu mobilizar representações auxiliares de transição. No caso da segunda classe de situações, o sujeito ainda não consegue converter espontaneamente um registro de representação em outro do mesmo objeto.
Ainda, em relação a noção de esquema, Vergnaud (2009b, p. 21) analisa a formação destes a partir de quatro componentes, a saber: “um objetivo, subobjetivo e antecipações; regras em ação de tomada de informação e de controle; invariantes operatórios: conceitos em ato e teoremas em ato; possibilidade inferências em situação”. O primeiro componente refere-se as antecipações das finalidades a serem alcançadas, dos efeitos a considerar e das etapas intermediárias eventuais. O segundo componente trata das regras de ação que possibilitam gerar a sequência de ações e levantar informações, bem como das ações controle que permitem ao sujeito verificar o que está realizando.
O terceiro componente do esquema, invariantes operatórios, recebe uma atenção especial na teoria de Vergnaud (1996, 2009b), sendo considerado um dos três elementos que compõem a base da formação de uma campo conceitual (Figura 11). Os invariantes operatórios são os conhecimentos contidos nos esquemas de ação do sujeito. Estes conhecimentos são
denominados de teorema-em-ato e conceito-em-ato. Os teoremas-em-ato referem-se as relações matemáticas utilizadas por sujeitos aprendizes, que as tomam como proposições verdadeiras, mesmo sem argumentos formais, para resolver uma situação. Assim, os teoremas-em-ato não são teoremas no sentido utilizado em Matemática. Os conceitos-em-ato são conceitos considerados pertinentes na ação em situação.
Com base em Merlini (2012) e Santos (2012) apresenta-se um exemplo de teorema-em- ato: Uma pessoa deveria beber em média 10 litros de água em 4 dias. Qual é o consumo em 4
semanas de uma família com 6 pessoas? Uma resolução correta para esta situação seria o sujeito
aprendiz apresentar a seguinte expressão: 10 𝑥 6 𝑥 7 = 420 litros de água. Analisando a resposta dada percebe-se que por traz deste raciocínio, há o seguinte teorema-em-ato: 𝑓(𝑛1𝑥1, 𝑛2𝑥2) = 𝑛1𝑛2𝑓(𝑥1, 𝑥2), ou seja, 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜 (6 𝑥 1, 7 𝑥 4) = 6 𝑥 7 𝑥 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜 (1, 4).
Este teorema pode ser representado na língua natural: o consumo de água é proporcional ao número de pessoas quando o número de dias é mantido constante e é proporcional ao número de dias quando o número de pessoas é mantido constante. Também, pode ser representado algebricamente: 𝐶 = 𝐾𝑃𝐷, 𝐶 é o consumo; 𝑃 o número de pessoas, 𝐷 o número de dias e 𝐾 a constante de proporcionalidade (neste caso, dada por consumo por pessoa por dia). São exemplos de conceitos-em-ato, implícitos nos esquemas de ação do sujeito: proporcionalidade, correspondência um para muitos e razão (em seu caso específico de taxa). Cabe destacar que, mesmo separando os teoremas-em-ato e os conceitos-em-ato para analisar a situação anterior, conforme Vergnaud (1996), há uma relação dialética entre eles, pois conceitos são ingredientes dos teoremas e teoremas são propriedades que fornecem aos conceitos seus conteúdos.
Moreira (2012, p. 16), fundamentado em Vergnaud, chama atenção para o fato de que Em geral, os alunos não são capazes de explicar ou mesmo expressar em linguagem natural seus teoremas e conceitos-em-ação. Na abordagem de uma situação, os dados a serem trabalhados e a sequência de cálculos a serem feitos dependem de teoremas- em-ação e da identificação de diferentes tipos de elementos pertinentes.
Assim, muitos conceitos e teoremas-em-ato permanecem implícitos, mas podem tornar- se explícitos por meio do ensino. Ao propor um conjunto de situações o professor pode analisar as estratégias intuitivas utilizadas pelos estudantes e ajudar a tornar este conhecimento implícito em conceitos e teoremas explícitos, e cientificamente aceitos, mas este processo demanda tempo e os resultados são identificados a longo prazo. Neste sentido, as representações semióticas assumem um lugar importante, no que tange ao “papel mediador que as representações simbólicas têm no sentido de prover situações frutíferas para aumentar o repertório de esquemas dos alunos e, assim, auxiliar em seu desenvolvimento cognitivo” (COLOMBO, 2008, p. 125). Entende-se que as atividades de reconhecimento propostas por
Duval (2011), mencionadas na seção anterior, podem contribuir para identificar os elementos pertinentes citados por Moreira (2012) como uma das dificuldades dos estudantes na resolução de situações.
Quanto ao quarto componente dos esquemas, possibilidade de inferências em situações, Vergnaud (1996, 2009b) refere-se a possibilidade de determinar as regras e as antecipações por meio das informações e do sistema de invariantes operatórios de que dispõe o sujeito.
Diante desse contexto, é relevante registrar que o binômio sujeito-situação é outro conceito-chave da teoria dos Campos Conceituais. Vergnaud (2010)46 afirma que, para aprender, os sujeitos se adaptam as situações e estas não são apenas uma, mas um conjunto de situações. Esta adaptação se dá por meio de uma organização da atividade (mobilização de esquemas). Assim, não é por meio de uma única situação que o sujeito se apropria dos conceitos, porque os conceitos não se formam sozinhos e uma situação não é resolvida por um único conceito, é preciso um campo conceitual.
O conceito de situação utilizado por Vergnaud (1993, 1996, 2009b) refere-se a “um dado complexo de objetos, propriedades e relações num espaço de tempo determinado, envolvendo o sujeito e suas ações” (FRANCHI, 2002, p. 158). Para o autor, o primeiro ato de mediação do professor é a escolha das situações. Nesta perspectiva, é importante selecionar situações que permitam aos estudantes ampliarem seu repertório de esquemas e representações. Ao mesmo tempo torna-se necessário um olhar cuidadoso para as situações propostas em cada ano letivo, pois muitas vezes o professor propõe uma situação porque está nos livros didáticos ou em outros materiais, mas desconhece a importância futura, podendo não atuar de maneira adequada na problematização das mesmas, dificultando a elaboração de generalizações e abstrações por parte dos estudantes. Por exemplo, o trabalho com padrões e sequências numéricas, frequentemente realizado nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, pode contribuir na familiarização da noção de variável, relevante para a aquisição do conceito de proporcionalidade. (PAVAN, 2010). Para tanto, precisa explorar a atividade matemática “colocar em correspondência”, destacada por Duval (2011).
Vergnaud (2011), também, chama atenção para a importância das diferentes etapas do ensino ao tratar dos conceitos de longo prazo e curto prazo na aprendizagem da matemática. O longo prazo refere-se a perspectiva de desenvolvimento, visto que não é num ano letivo que o estudante adquire um conceito, mas, sim, ao longo da escolarização, passando por numerosos
46 Anotações da palestra intitulada “Design e Engenharia em Didática das Matemáticas” proferida por Vergnaud,
na Universidade Bandeirantes (UNIBAN), em 2010, no Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática. Disponível em <https://www.youtube.com/watch?v=pU7um4GX5XQ>. Acessado em maio de 2016.
processos de filiações (competências e conceitos novos apoiam-se, em parte, nos adquiridos antes) e rupturas (novas competências e conceitos exigem que o estudante rejeite, naquele momento, o que foi construído antes). Já o curto prazo refere-se as situações que são propostas aos estudantes em um ou outro momento do seu desenvolvimento, dependendo das competências e conceitos já adquiridos ou parcialmente adquiridos. A partir dessas ideias cabe um questionamento: quais elementos do processo de ensino e aprendizagem permitem aos professores analisarem as filiações e rupturas? Conforme Vergnaud (2011, p. 17) “o conteúdo conceitual específico das situações, dos enunciados e das representações simbólicas permite melhor captar as filiações e as rupturas”.
Considerando que na seção anterior foram apresentados os pressupostos teóricos da teoria dos RRS e nesta fez-se uma breve descrição dos Campos Conceituais, é importante expor diferenças e possíveis aproximações destas teorias para a análise do processo de ensino e aprendizagem de Matemática. Percebe-se que Duval (2004, 2011, 2012) não aprofunda a discussão em relação aos tipos de situações que podem ser propostas aos estudantes para a aprendizagem dos objetos matemáticos. O autor sugere atividades que evidenciem as conversões e apresenta, rapidamente, as tarefas de reconhecimento, exemplificando para o caso das representações gráficas. Quanto as atividades que envolvem enunciados no registro da língua natural, o autor destaca a necessidade da mobilização de uma representação auxiliar de
transição, em particular, para os problemas aditivos. A teoria dos RRS centra-se na análise do
acesso aos objetos matemáticos (diversidade de representações semióticas) e suas especificidades no funcionamento cognitivo do pensamento em matemática.
Vergnaud (1996) questiona-se quanto as funções cognitivas que podem ser atribuídas à linguagem e às representações simbólicas na atividade matemática. Segundo o autor, responder a esta questão é um trabalho teórico e empírico indispensável, trabalho este realizado por Duval (2004, 2011) e considerado pela comunidade acadêmica (FERREIRA et al., 2013; BRANDT; MORETTI, 2014), principalmente, no Brasil. Nos Campos Conceituais, as representações (semióticas) desempenham uma função tripla: “[na] designação, e portanto à identificação, das invariantes: objetos, propriedades, relações, teoremas; [no] raciocínio e inferência; [e na] antecipação dos efeitos e dos objetivos, ao planejamento e ao controle da ação” (VERGNAUD, 1996, p. 180). Constata-se que, na teoria dos Campos Conceituais as transformações cognitivas não recebem a atenção dada nos RRS, mas as representações, nessa teoria, vão além da designação de um objeto, elas tem papel importante no funcionamento cognitivo do pensamento em matemática.
Concorda-se com Colombo (2008) ao afirmar que uma das principais diferenças entre a teoria dos RRS e a dos Campos Conceituais está no fato de que Vergnaud, mesmo considerando a importância das representações, entende que a fonte e o critério da conceitualização referem- se a ação do sujeito aprendiz na resolução de um conjunto de situações. No entanto, as diferenças identificadas nas teorias não impedem a utilização de alguns dos seus pressupostos para analisar o processo de ensino e aprendizagem da Matemática. Assim, da teoria dos RRS evidencia-se as noções de transformações cognitivas (tratamento e conversão), em particular, a noção de representação semiótica de transição. Da teoria dos Campos Conceituais toma-se a noção de situações para referenciar os objetos matemáticos e as categorias da estrutura multiplicativa (descritas na subseção 2.3.1.2). Porque compreende-se que ao se deparar com uma variedade de situações, em especial, envolvendo o raciocínio proporcional e a proporcionalidade, o estudante terá que mobilizar e coordenar diversos registros de representação semiótica para resolvê-las, atribuindo significados para os procedimentos utilizados. O esquema (Figura 12) apresenta conceitos das duas teorias (RRS e Campos Conceituais) essenciais para a aprendizagem matemática.
Figura 12: Esquema relacionando conceitos das teorias dos RRS e Campos Conceituais para a compreensão de aspectos essenciais à aprendizagem matemática