Analiza częstotliwościowa sygnałów analogowych
3.2. Widmo sygnału 69
Wymienione właściwości przestają być słuszne dla sygnałów zespolonych.
Dla dowolnych sygnałów spełnione są natomiast następujące właściwości związa-ne z operacją odbicia sygnału względem osi rzędnych i operacją sprzężenia. Jeśli x(t)→X(ω), to:
x(−t)↔X(−ω), (3.16)
x∗(t)↔X∗(−ω), (3.17)
x∗(−t)↔X∗(ω). (3.18)
3.3. Twierdzenia
Omówimy obecnie dalsze właściwości przekształcenia Fouriera. Ze wzglę-du na ich znaczenie będą one ujęte w formie twierdzeń. Twierdzenia te dotyczą operacji wykonywanych na sygnale lub na sygnałach w dziedzinie czasu lub dzie-dzinie częstotliwości i stanowią swojego rodzaju „słownik” tłumaczący efekt wy-konania danej operacji w jednej dziedzinie na efekt towarzyszący mu w drugiej dziedzinie. Ułatwiają one wyznaczanie widm sygnałów, bez konieczności często skomplikowanego obliczania tych widm na podstawie wzoru definicyjnego (3.1).
Twierdzenia przytoczymy bez dowodów (niektóre z nich można bez trudu przeprowadzić, korzystając wprost z definicji 3.1). Pominiemy także dyskusję warunków, przy których są one spełnione. Podamy natomiast ich interpretację.
Przyjmiemy założenie, że x(t)↔X(ω) oraz y(t)↔ Y(ω) są parami trans-format Fouriera, przy czym sygnałyx(t)iy(t) są rzeczywiste lub zespolone.
Twierdzenie 3.1 (o liniowości)
ax(t) +by(t)↔aX(ω) +bY(ω). (3.19) Przekształcenie Fouriera jest operacją liniową, tzn. widmo sygnału będącego kombinacją liniową pewnych sygnałów jest kombinacją liniową o tych samych współczynnikach widm tych sygnałów. Właściwość liniowości wynika wprost z definicji 3.1prostego przekształcenia Fouriera.
Twierdzenie 3.2 (o symetrii)
x(t)↔X(ω)⇒X(t)↔2πx(−ω). (3.20)
3.3. Twierdzenia 70
Z twierdzenia tego wynika, że przy przekształceniu Fouriera kształt sygna-łu i widma jest cechą wymienną, tzn. jeżeli sygnał o kształcie x(t) ma widmo X(ω), to sygnał X(t) o kształcie tego widma ma widmo o kształcie sygnału pierwotnego, odbite zwierciadlanie względem osi rzędnych i pomnożone dodat-kowo przez2π. Właściwość ta jest jednym z przejawów dualizmu, jaki występuje między dziedziną czasu a dziedziną częstotliwości.
Twierdzenie 3.3 (o zmianie skali) x
t a
↔aX(aω), a ∈R+. (3.21)
Zmianie skali czasu sygnału, a więc jego „rozciągnięciu” (a > 1) lub „ści-śnięciu” w czasie (a < 1), towarzyszą w dziedzinie częstotliwości dwa efekty.
Rozciągnięcie sygnału w czasie oznacza jego spowolnienie. Zmniejszają się tym samym prędkości jego zmian. Widmo skupia się wówczas wokół mniejszych pul-sacji i jednocześnie gęstość widmowa w tym zakresie proporcjonalnie wzrasta.
W przypadku ściśnięcia sygnału, efekty są przeciwne.
Twierdzenie 3.4 (o przesunięciu w dziedzinie czasu)
x(t−t0)↔X(ω) e−jωt0. (3.22) Opóźnienie sygnału w czasie (t0 > 0) lub jego przyspieszenie (t0 <0) od-powiada mnożeniu widma przez czynnik e−jωt0. Widmo amplitudowe nie ulega przy tym zmianie, a widmo fazowe zmienia się o składnik −ωt0. Widmo fazo-we maleje (t0 >0) lub rośnie (t0 <0) liniowo w funkcji pulsacji z szybkością proporcjonalną do wartości bezwzględnej przesunięciat0. Wnioski te są w pełni zgodne z intuicyjną interpretacją operacji przesunięcia sygnału, która nie zmienia struktury amplitudowej sygnału, a wpływa jedynie na jego strukturę fazową.
Twierdzenie 3.5 (o przesunięciu w dziedzinie częstotliwości)
x(t) ejω0t↔X(ω−ω0). (3.23) Twierdzenie to jest dualne do twierdzenia 3.4. Przesunięcie widma sygna-łu x(t) wzdłuż osi pulsacji w prawo o wartość ω0 > 0 uzyskujemy w wyniku mnożenia tego sygnału przez zespolony sygnał harmoniczny ejω0t o pulsacjiω0. Operacja mnożenia sygnału harmonicznego przez sygnałx(t)jest nazywana ope-racjąmodulacjisygnału harmonicznego. Z tego względu twierdzenie to nosi także nazwętwierdzenia o modulacji.
Przesunięcie widma sygnału w lewo o wartość ω0 >0odpowiada mnożeniu tego sygnału przez sygnałe−jω0t:
x(t) e−jω0t↔X(ω+ω0). (3.24)
3.3. Twierdzenia 71
Dodając i odejmując stronami wzory (3.23) i (3.24) i korzystając ze wzorów Eulera:
cosω0t= ejω0t+ e−jω0t
2 , sinω0t= ejω0t−e−jω0t
2 j , (3.25)
otrzymujemy dwa warianty twierdzenia o modulacji dla przypadku modulacji rzeczywistego sygnału harmonicznego:
x(t) cosω0t↔ 1
2[X(ω−ω0) +X(ω+ω0)], (3.26) x(t) sinω0t↔ 1
2 j[X(ω−ω0)−X(ω+ω0)]. (3.27) Ze wzoru (3.26) wynika, że modulacja rzeczywistego sygnału harmoniczne-go cosω0t sygnałem x(t) powoduje rozszczepienie widma X(ω) tego sygnału na dwie części o tym samym kształcie, przesunięte po osi pulsacji do punktów
±ω0. Gęstość widmowa tych części maleje przy tym dwukrotnie. Podobny efekt uzyskuje się w wyniku modulacji sygnałusinω0t. Widma amplitudowe są w obu przypadkach identyczne. Różnice występują tylko między widmami fazowymi.
Na twierdzenie o modulacji będziemy się niejednokrotnie powoływać w roz-dziale9, w którym omawiać będziemy analogowe systemy modulacji.
Twierdzenie 3.6 (o różniczkowaniu w dziedzinie czasu) d
dtx(t)↔jωX(ω). (3.28)
Różniczkowaniu sygnału w dziedzinie czasu odpowiada mnożenie jego wid-ma przezjω w dziedzinie częstotliwości. Operacja ta zwiększa gęstość widmową sygnału w zakresie dużych pulsacji.
Twierdzenie 3.7 (o całkowaniu w dziedzinie czasu)
t
Z
−∞
x(τ) dτ ↔ 1
jωX(ω). (3.29)
Całkowaniu sygnału w dziedzinie czasu odpowiada dzielenie jego widma przez jω w dziedzinie częstotliwości. Całkowanie sygnału uwypukla fragmenty jego widma z zakresie małych pulsacji i zmniejsza gęstość widmową w zakresie dużych pulsacji.
Twierdzenie 3.8 (o splocie w dziedzinie czasu)
x(t)∗y(t),
∞
Z
−∞
x(t−τ)y(τ) dτ ↔X(ω)Y(ω). (3.30)
3.3. Twierdzenia 72
Twierdzenie to odgrywa kluczową rolę w zagadnieniach przetwarzania sygna-łów przez układy liniowe. Orzeka ono, że splataniu sygnasygna-łów w dziedzinie czasu odpowiada mnożenie ich widm w dziedzinie częstotliwości. Tym samym z reguły złożoną obliczeniowo operację na sygnałach można zastąpić prostą operacją na ich widmach. W konsekwencji umożliwia to algebraizację problemu obliczania sygnału na wyjściu układu (por. p.7.3.2).
Twierdzenie 3.9 (o splocie w dziedzinie częstotliwości)
x(t)y(t)↔ 1 Mnożeniu sygnałów w dziedzinie czasu odpowiada splatanie ich widm w dzie-dzinie częstotliwości. Twierdzenie 3.9 jest dualne względem twierdzenia 3.8 o splocie w dziedzinie czasu. Zauważmy, że korzystając z tego twierdzenia moż-na dowieść twierdzenia o modulacji. Wystarczy w tym celu przyjąć, że jednym z mnożonych sygnałów jest sygnał harmoniczny:ejω0t, cosω0tlub sinω0t.
Twierdzenie o splocie w dziedzinie częstotliwości może być także sformuło-wane w bardziej ogólnej formie (por. wzór (3.17)):
x(t)y∗(t)↔ 1
2π[X(ω)∗Y∗(−ω)]. (3.32) Twierdzenie 3.10 (uogólnione twierdzenie Rayleigha)
∞ Twierdzenie to, bardzo ważne w teorii sygnałów, odzwierciedla w jeszcze innej formie wieloraką strukturę powiązań między dziedziną czasu i dziedziną częstotliwości. Jak pamiętamy (por. komentarz w p. 3.2.3), przekształcenie Fo-uriera można traktować jako odwzorowanie przestrzeniL2t sygnałów w przestrzeń L2ωtransformat. Twierdzenie Rayleigha orzeka, że (z dokładnością do współczyn-nika2π) odwzorowanie to zachowuje iloczyn skalarny w tych przestrzeniach, tzn.
iloczyn skalarny dwóch sygnałów w przestrzeniL2t jest równy iloczynowi skalar-nemu ich widm w przestrzeniL2ω podzielonemu przez2π.
Twierdzenie 3.11 (twierdzenie Parsevala)
∞ Twierdzenie Parsevala, nazywane również twierdzeniem o energii, wynika z twierdzenia Rayleigha przy podstawieniu y(t) = x(t). Wyraża ono równość
3.3. Twierdzenia 73
(z dokładnością do współczynnika2π) norm w przestrzeniachL2t orazL2ω. Zgod-nie z tym twierdzeZgod-niem energię sygnału możemy także obliczać w dziedziZgod-nie częstotliwości jako całkę z kwadratu widma amplitudowego|X(ω)|2 sygnału po-dzieloną przez2π. Z tego względu funkcja|X(ω)|2 =A2(ω)jest nazywana wid-mem energii. Widmo energii jest także oznaczaneΦx(ω). Jest ono jeszcze jedną charakterystyką sygnału w dziedzinie częstotliwości opisującą rozkład (gęstość widmową) jego energii wzdłuż osi pulsacji. Do charakterystyki tej powrócimy jeszcze w p.5.1.4, gdzie uzasadnimy przyjęte oznaczenie Φx(ω).