Equador. Posteriormente os participantes serão questionados se a menor distância entre dois ponto sobre um paralelo é sobre o paralelo ou sobre uma circunferência máxima.
Triângulos na superfície esférica. Sabendo o que é o equivalente a reta em uma superfície esférica, é possível construir polígonos conectando segmentos dessas “retas”. Assim como na geometria plana, os triângulos tem grande importância sobre uma esfera.
Antes de dar a definição de triângulo esférico se faz necessário outra definição. Diz-se que três pontos são colineares se for possível traçar uma circunferência máxima que os contenha. Além disso, será considerado como arco de circunferência entre dois pontos o menor arco formado entre esses pontos.
Portanto, dados três pontos A, B e C, distintos e não colineares, de uma esfera de centro O e raio dado, chama-se de triângulo esférico ABC a união dos arcos de circunferências máximas AB, BC e CA . Os pontos A, B e C são os vértices desse triângulo e os arcos AB, BC e CA são seus lados. A superfície desse triângulo é a região compreendida entre os três arcos. A figura 22 apresenta um triângulo esférico.
Figura : triângulo sobre a superfície esférica. Fonte: http://www.ime.unicamp.br
Por definição o ângulo interno de um triângulo esférico é o ângulo formado pela intersecção entre os planos que contém os arcos que formam dois lados adjacentes do triângulo. O ângulo entre dois planos é o ângulo formado entre os segmentos de retas perpendiculares a intersecção desses planos com ponto de origem comum.
Excesso Esférico. O excesso esférico é o nome dado à soma das medidas dos ângulos de um triângulos esférico. Pode-se provar que sempre ele é maior que 180°. Para tanto é necessário comparar área do triângulo esférico com a soma dos ângulos internos.
Sabemos que uma esfera S de raio r possui área igual a 4πr2. A partir disso, é possível calcular a área
esférico. Chama-se de fuso a região da superfície esférica compreendida entre duas semicircunferências de circunferências máximas e seus dois pontos de intersecção. Um fuso completo é a região compreendida entre duas circunferências máximas. O ângulo do fuso é o menor ângulo formado entre as circunferências ou entre os dois meridianos.
Figura: à direita fuso e a esquerda o fuso completo. Fonte: autor.
A área de um fuso é dada por uma relação de proporção. Um fuso de ângulo π tem área igual 2πr2,
assim um fuso de ângulo α terá uma área A dada por A = 2αr2. Dessa forma, também podemos concluir que a área do fuso completo é 4αr2. É importante destacar que devido à simetria da esfera, qualquer circunferência máxima divide os fusos completos em duas regiões de mesma área e, também, divide a superfície esférica em duas regiões de mesma área conhecidas como hemisférios.
Figura: superfície esférica dividida em dois hemisférios. Fonte: autor.
Para um triângulo ABC com o ângulo α oposto ao lado BC, o ângulo β oposto ao lado AC e o ângulo γ oposto ao lado AB. Ao prolongar nos dois sentidos os lados que formam o ângulo, obtemos um fuso completo. Considerando que o triângulo em questão encontra-se no hemisfério H que é delimitado pela circunferência que forma o lado BC, temos que a região do fuso completo contida no hemisfério H tem área igual 2αr2, chamaremos essa área de R
α
Figura : região Rα Fonte: autor.
Observando os ângulos β e γ, obtemos dois fusos contidos no hemisfério H com áreas 2β r2 e 2 γ r2, essas regiões serão chamadas Rβ e Rγ Observando a figura 27, temos a soma das áreas das regiões Rα, Rβ e Rγ
Figura: a direita o fuso de ângulo γ. No centro o fuso de ângulo β e á direita a região Rα
Fonte: autor.
Assim, 2αr2 + 2βr2 + 2γr2 = 2πr2 + 2A, onde 2πr2 é a área do hemisfério H. Simplificando temos que
α + β + γ - π = A/ r2, ou seja, A = r2 (α + β+ γ – π). Por fim, como A/r2 é positivo temos que α + β+ γ > π, isto
é, a soma dos ângulos do triângulo esférico é maior que 180º. Dessa dedução podemos concluir que quanto menor a área do triângulo menor é a soma de seus ângulos.
5. Mapas e Projeções
Durante um longo período, principalmente durante as Grandes Navegações, a principal questão da cartografia estava em torno da construção de um mapa perfeito, isto é, um mapa que mantivesse a forma e a área da região representada em proporção em relação à realidade e que as distâncias entre quaisquer dois pontos fossem representadas por um segmento de reta. Isso equivale a dizer que é possível planificar uma esfera.
No tópico anterior foi provado que a soma dos ângulos internos de um triângulo esférico é maior que 180º. Esse fato já mostra um problema para se planificar a esfera, pois a soma dos ângulos internos de um triângulo plano é igual a 180º. No entanto, apenas em 1775, com a demonstração apresentada por Euler, a questão sobre a construção dos mapas foi definitivamente respondida. Com o Teorema de Euler temos que não é possível construir um mapa plano sem distorções do globo terrestre, mais especificamente, para o qual a distância entre dois pontos quaisquer do mapa plano é sempre igual a um múltiplo fixo da distância ao longo dos correspondentes pontos no globo.
A prova de Euler. Para iniciar a prova suponha que um mapa esférico já foi construído na mesma escala do mapa plano e que é possível planificar a esfera. Dessa forma, um arco de circunferência máxima com comprimento r se transformaria em um segmento de reta de comprimento r no mapa plano. Agora, considere um ponto P e os pontos Q da esfera, tais que dist(PQ)=r. Assim, observa-se que o conjunto dos pontos P formam uma circunferência de raio s. No entanto, essa região no mapa deveria ser uma circunferência com raio r, que é o comprimento da corda que forma essa circunferência. Portanto, verifica-se uma incoerência, pois o arco que forma a região no globo não tem a mesma medida do raio de sua projeção no plano.
Figura : Modelo sugerido para interpretação da demonstração feita por Euler. Fonte: Ávila.
Projeções. Um mapa é uma representação plana do globo terrestre ou de parte dele. Como não é possível construir um mapa “perfeito” há vários tipos de mapas que alguns elementos são preservados dependendo do interesse. Há mapas que preservam áreas, mas distorcem a forma das regiões; mapas conformes, que mantém a forma (ângulos), mas distorcem a área; mapas equidistantes, onde, em algumas
direções, a distância se mantém em proporção com a realidade.
A atividade proposta nessa parte é a análise de diferentes mapas e a construção das projeções cilíndrica e a estereográfica, discutindo-se suas características.
6. Projeção de Mercator
Um dos métodos mais fáceis de navegar é seguir pela linha de rumo que é o caminho que forma sempre o mesmo ângulo com os meridianos. Em geral, desde que o ângulo formado seja diferente de 90º, essas linhas são espiraladas e quanto mais próximo dos polos, mais espiraladas se tornam. Quando ângulo formado com os meridianos for igual a 90º se navegará por algum paralelo.
Figura: Linha de rumo. Fonte: Ávila.
Observando a figura acima, fica claro que a linha de rumo não é uma circunferência máxima, ou seja, não indica o menor caminho entre dois pontos, no entanto com a utilização de uma bússola é fácil saber qual é o ângulo que o barco está navegando em relação a um meridiano. Dessa forma, para que a linha de rumo funcionasse perfeitamente, foi necessário a criação de um mapa onde essa linha pudesse ser traçada com régua e transferidor e o ângulo formado com a projeção dos meridianos fosse igual ao ângulo formado entre os meridianos e a linha de rumo no globo terrestre, ou seja, foi necessário construir um mapa conforme. Com isso a navegação fica fácil, pois basta calcular no mapa o ângulo formado entre o meridiano e a linha que liga os pontos de partida e de chegada e durante a navegação utilizar uma bússola para corrigir a rota.
Baseado na projeção cilíndrica, o geógrafo Gerhard Kremmer (1512-594), cujo nome em latim é Gerard Mercator, propôs em 1569 um mapa para revolucionar a cartografia, ideal para os navegadores. Para manter o ângulo entre os paralelos e os meridianos, estes foram construídos perpendiculares entre si, meridianos representados como segmentos de retas paralelas verticais e os paralelos representados como segmentos de retas paralelas e horizontais. Assim, para que a linha de rumo fosse projetada como um segmento de reta no plano seria necessário que a distorção provocada na projeção dos paralelos fosse igual a provocada nos meridianos.
Nessa parte várias atividades serão propostas visando a compreensão da construção da projeção de Mercator, baseado no que é feito em [1], simulando o que realmente foi feito por este genial cartógrafo.
Referências
[1] ÁVILA, Geraldo. 2008. A Matemática e a Cartografia. Revista do Professor de Matemática. São Paulo, no 65, p. 4-11.
[2] FEEMAN, G. Timothy. 2002. Portraits of the Earth A Mathematician: Looks at Maps.Mathematical World, Volume 18. United States of America. American Mathematical Society.