Vortex de SO(2) - Transition de Kosterlitz-Thouless

Pour se convaincre du lien entre la topologie non triviale de l’espace des pa-ram`etres d’ordre et l’existence de d´efauts topologiques on consid`ere le cas plus simple d’un Hamiltonien de Heisenberg ferromagn´etique (de constante d’´echange J = −1) sur le r´eseau carr´e pour des spins XY : ici encore le groupe de sym´etrie SO(2) du Hamiltonien est compl`etement bris´e. L’espace des param`etres d’ordre est donc SO(2) dont la topologie est non triviale : π1(SO(2)) = Z. C’est une cons´equence directe de la cyclicit´e des variables angulaires : un mˆeme ´el´ement de SO(2) peut ˆetre `a la fois repr´esent´e par les angles θ et θ + 2kπ, k ∈ Z.

Vorticit´e Z Prenons une configuration quelconque des spins, non ordonn´ee, et d´efinissons une boucle ferm´ee sur le r´eseau, par exemple autour d’une plaquette carr´ee. En circulant le long de la boucle l’orientation des spins successifs d´efinit une trajectoire ferm´ee sur le cercle unit´e.

On peut se convaincre qu’aucune d´eformation continue de la configuration ne change le nombre (alg´ebrique) de tours n effectu´es autour du cercle : si n 6= 0 on a une singularit´e, appel´ee vortex, topologiquement stable. A l’inverse, deux singularit´es de mˆeme nombre d’enroulement n se transforment l’une dans l’autre par d´eformation continue, et on dit qu’elles sont topologiquement ´equivalentes. Le lien avec le groupe d’homotopie est maintenant clair : on peut trier les singula-rit´es en classes topologiquement distinctes et index´ees par leur nombre d’enroule-ment, ou vorticit´e, c’est `a dire un entier. L’ensemble de ces classes est simplement le groupe d’homotopie Z de l’espace des param`etres d’ordre [57].

Notons que le nombre d’enroulement n est ind´ependant du contour utilis´e pour le d´efinir. En particulier si l’on consid`ere une configuration contenant un seul vor-tex, on calcule le mˆeme nombre d’enroulement n 6= 0 sur n’importe quel contour, aussi grand soit-il : un vortex seul est une “perturbation” de port´ee infinie et on montre en effet que l’´energie de cr´eation d’un seul vortex de nombre d’enroule-ment n est πn2ln L, avec L la taille de l’´echantillon.

En revanche, en circulant le long d’une boucle qui contient deux singularit´es ±|n|, soit une paire vortex-antivortex, on mesure un nombre d’enroulement alg´ebrique total nul : par d´eformation continue on peut donc se ramener `a une configuration

de l’espace des param`etres d’ordre et sont donc compl`etement insensibles `a sa topologie, qui est une propri´et´e globale de l’espace. En particulier les mod`eles sigma non-lin´eaires, qui d´ecrivent la physique des ondes de spin, sont d´epourvus d’excitations topologiques.

sans singularit´e `a l’int´erieur de la boucle, i.e. on peut annihiler continuement une paire vortex-antivortex. En particulier, loin d’une paire de singularit´es la pertur-bation est faible : on montre que l’´energie d’une paire vortex-antivortex distants de r est ∼ n2ln r.

Transition de confinement/d´econfinement Dans le mod`ele XY la contribu-tion des d´efauts topologiques `a la thermodynamique est remarquable et se d´eduit directement des consid´erations pr´ec´edentes. Nous avons vu en effet que le coˆut en ´energie de la cr´eation d’un vortex seul ´etait prohibitif (∼ ln L) : `a basse temp´erature les vortex Z n’existent donc jamais seuls, mais plutˆot par paires d’´energie finie (∼ ln r).

En revanche, lorsque l’on augmente la temp´erature, la cr´eation de vortex seuls est favoris´ee par la contribution entropique `a l’´energie libre.

Plus pr´ecis´ement on estime que l’on peut localiser le centre d’un vortex de L2

fa¸cons possibles : l’´energie libre d’un vortex seul vaut donc Fv(L, T ) = π ln L − T ln L2 = (π − 2T ) ln L21.

Pour T < TKT = ^π₂, Fv(L, T ) → +∞ lorsque L → ∞ et on retrouve que les vortex ne peuvent exister que li´es par paires. En revanche, pour T > TKT Fv(L, T ) → −∞ lorsque L → ∞, i.e. la cr´eation d’un vortex seul est infiniment favoris´ee : les vor-tex sont libres.

A partir d’arguments ´energ´etiques simples Kosterlitz et Thouless [42] pr´edisent donc une transition de confinement-d´econfinement des paires vortex-antivortex `a temp´erature finie22, qui porte leurs noms. On remarque que la d´ependance loga-rithmique de l’´energie d’un vortex seul, en ln L comme l’entropie, est essentielle pour qu’une telle transition existe.

M´ecanisme de dissociation KT La transition de Kosterlitz-Thouless est un peu `a part dans la nomenclature usuelle puisque les ondes de spin restaurent SO(2) d`es que T > 0 (MermWagner) mais pr´edisent une longueur de corr´elation in-finie `a toute temp´erature [97] : les corr´elations spin-spin < S_i · Sj >_T∼ rij^{−η(T )}

d´ecroissent alg´ebriquement avec un exposant η(T ) d´ependant de la temp´erature, i.e. le syst`eme est critique `a toute temp´erature.

En fait ce r´esultat est obtenu `a partir du mod`ele sigma non-lin´eaire qui ignore

21

On a suppos´e l’existence d’un vortex d’enroulement n = ±1. Comparativement, les vortex d’enrou-lement plus ´elev´e sont en effet ´energ´etiquement d´efavoris´es (leur ´energie croˆıt comme le carr´e de leur enroulement) et contribuent, en premi`ere approximation, pour une part n´egligeable `a la transition de Kosterlitz-Thouless.

22On peut se convaincre du lien entre le mod`ele de vortex et le gaz de Coulomb 2D sur r´eseau en remarquant que l’´energie d’une paire vortex-antivortex est simplement l’´energie d’interaction cou-lombienne d’un dipˆole de charges ±|n| en deux dimensions. En fait il s’agit d’un gaz de Coulomb globalement neutre puisqu’on peut montrer que les seules configurations de vortex d’´energie finie ont un nombre d’enroulement totalP ni= 0. Dans ce langage la transition de Kosterlitz-Thouless s´epare donc une phase gaz de dipˆoles vortex-antivortex pour T < TKT, d’une phase plasma neutre de vortex pour T > TKT.

D´efauts topologiques dans la phase cuboc 49

les vortex. Il est clair cependant que les corr´elations de spin sont tu´ees par la prolif´eration des vortex libres `a la transition.

A mesure que la temp´erature T < TKT augmente, quelques paires vortex-antivortex tr`es li´ees apparaissent. On a vu qu’elles ne perturbaient la configuration que lo-calement (elles sont donc libres en premi`ere approximation) et les corr´elations restent donc critiques : dans ce domaine de temp´eratures la physique reste do-min´ee par les ondes de spin.

A l’approche de la transition les paires prolif`erent et commencent `a interagir : sous l’effet de la temp´erature on trouve quelques paires suffisamment distantes pour que leur interaction confinante puisse ˆetre ´ecrant´ee par une autre paire situ´ee `a proximit´e. En retour, ces paires ´eloign´ees perturbent la configuration sur des distances de plus en plus grandes et ´ecrantent un nombre croissant de paires. Glo-balement les paires sont donc moins li´ees `a mesure que la temp´erature augmente. A T ∼> TKT les paires les plus distantes se dissocient, i.e. leurs singularit´es s’´echappent `a l’infini. Comme on l’a vu, les vortex lib´er´es perturbent l’ensemble de la confi-guration et interagissent avec toutes les paires, dont elles favorisent ´egalement la dissociation.

Qualitativement on comprend donc que les corr´elations de spin soient tu´ees `a T ∼> TKT avec la loi exponentielle ξKT(T ) ∼ eA/√

T −TKT, `a comparer avec la d´ecroissance simplement alg´ebrique ξ(T ) ∼ |T − Tc|−ν `a l’approche d’une transi-tion continue usuelle.

Transition topologique Le caract`ere pathologique de la transition KT est ´evident si on remarque qu’aucune brisure de sym´etrie ne l’accompagne. D’apr`es le th´eor`eme de Memin-Wagner, les phases basse et haute temp´erature ont en effet la sym´etrie O(2) du Hamiltonien et les deux phases ne diff`erent donc que par leur topologie. En particulier, aucun param`etre d’ordre local ne distingue les deux phases : au contraire nous avons dˆu d´efinir les d´efauts au moyen de boucles, `a la mani`eredes th´eories de jauge 23.

Sans pr´etendre que le mod`ele XY peut s’´ecrire comme une th´eorie de jauge sur r´eseau, on peut poursuivre l’analogie en se souvenant que π1(SO(2)) = Z est la cons´equence de la multiplicit´e des repr´esentations d’une mˆeme rotation de SO(2) par θ + 2kπ, k ∈ Z, qu’on peut voir comme autant de choix de jauge.

Dans ce language, pour d´efinir les vortex de SO(2) on a d’abord fix´e la jauge arbitrairement en orientant la boucle et en imposant implicitement que l’angle θ entre deux spins voisins soit compris dans l’intervalle [0, 2π[, puis on a caract´eris´e les vortex de SO(2) par leur nombre d’enroulement, i.e. la circulation de θ au-tour de la boucle, qui ne d´epend pas du choix de jauge arbitraire utilis´e pour la calculer : c’est une quantit´e bien d´efinie, i.e. invariante de jauge24.

23Plusieurs propri´et´es des mod`eles de spin sur r´eseau 2D (resp. 1D) sont communes aux th´eories de jauge sur r´eseau 4D (resp. 2D) [40].

24De la mˆeme mani`ere, en ´electrodynamique le potentiel vecteur d´epend de la jauge mais pas sa circulation sur un contour ferm´e, qui est juste le flux du champ magn´etique `a travers ce contour.