Annexe B Milieu poreux
1. Définition du milieu poreux :
2.1 Volume Elémentaire Représentatif (V.E.R)
L'échelle du pore d varie généralement de 0.05μm pour les nano pores, à 0.5mm pour les macrospores. Or la distribution des pores et des grains est généralement très irrégulière. A cette échelle, la pression, la vitesse et la température varient donc très irrégulièrement d'un point à l'autre du domaine. On est donc amené à effectuer une moyenne spatiale de ces grandeurs. Elles ont pour but d'éliminer les fluctuations à l'échelle du pore, mais pas les fluctuations à l'échelle macroscopique du milieu poreux L. Cette moyenne s'effectue donc sur des nombreux pores par l'intermédiaire d'un Volume Elémentaire Représentatif V.E.R (figure 1) du milieu. De plus, l'échelle l du V.E.R doit donc vérifier :
d≤ l ≤ L
On obtient donc les grandeurs caractéristiques de la vitesse, la pression et la température, en les moyennant sur le V.E.R. Cela permet de représenter un point dans un nouveau milieu continu fictif par changement d'échelle. Il est équivalent au domaine poreux étudié mais à l'échelle macroscopique. Lorsque les propriétés locales, définies sur le V.E.R, sont indépendantes de la position de celui-ci, le milieu est dit homogène, à l'échelle macroscopique.
Sauf au cas particulier, toutes les grandeurs (pression, vitesse, température) apparaissant dans les différents modèles seront définies sur le V.E.R.
2.2Porosité :
Le paramètre principal d´écrivant un milieu poreux est la porosité définie par :
qui varie donc entre 0 (solide plein) et 1 (volume complètement vide). Ce paramètre de porosité est complémentaire de la fraction volumique de solide
La proportion occupée par la matrice solide est donc donnée par: 1-ε En fait ε est plus exactement appelé porosité totale. En effet, cette définition prend en compte les pores fermés. On introduit donc une porosité accessible, définie comme le rapport du volume des pores connectés sur le volume total. Cela n'est possible que si on connaît suffisamment la structure du milieu poreux, elle est peu utilisée en pratique. Cette distinction n'aura pas lieu dans l'étude qui suit, les milieux expérimentaux se font par empilement (matrice solide non consolidée). Pour les milieux poreux naturels ε n’excède pas 0.66 (pour l'ardoise en poudre). Néanmoins cela peut être plus élevé pour des milieux poreux industriels (0.9 en moyenne pour les fibres de verre).
Beaucoup de résultats sont issus de modèles géométriques particuliers de grains ou de pores. Ils sont obtenus dans le cas d'empilements réguliers de sphères de même diamètre. Ces empilements forment des réseaux et la porosité dépend fortement de l'arrangement (figure 2). Dans le cas d'un réseau cubique il y a beaucoup plus d'espace pour le fluide (ε = 0.476) que dans le cas d'un réseau cubique à face centré (ε = 0.255) qui est le réseau régulier, le plus compact que l'on puisse obtenir avec des sphères de même diamètre.
RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES
Des mesures expérimentales donnent dans le tableau (1) ci dessous quelques valeurs de la porosité pour différents matériaux
Matériaux porosité Matériaux porosité
Matériau mousseux 0.98 Sable 0.37-0.5
Fibrd de verre 0.88-0.93 Poudre de silice 0.37-0.49
Fil à tisser 0.68-0.76 Sphère bien empilée 0.36-0.43
Grain de silice 0.65 Filtre de cigarette 0.17-0.49
Poudre d’ardoise noir 0.57-0.66 Brique 0.12
Cuir 0.56-0.59 Poudre de cuivre 0.09-0.34
Catalyseur 0.45 Pierre à chaud Dolomite 0.04-0.10
Granulé de pierres 0.44-0.45 Terre 0.43
Tableau 1: Porosité de quelques matériaux 2.3Perméabilité
La perméabilité K se réfère à la capacité du milieu poreux à laisser passer le ou les fluides à l'intérieur des pores. Elle ne dépend que de la géométrie de la matrice solide, en particulier de la porosité. Ainsi le milieu est d'autant plus perméable que les pores sont connectés entre eux.
Généralement K est déterminée par des mesures expérimentales, par le biais de la loi de Darcy régissant le mouvement du fluide dans le milieu poreux. Il existe de nombreux travaux répertoriant la perméabilité pour différents milieux. Elle se situe entre 10-7 et 10-9 pour le gravier et 10-13 et 10-16m2 pour l'argile stratifié.
Il est possible d'évaluer la perméabilité K grâce à des géométries particulières du milieu, par l'intermédiaire de ε et d'une dimension caractéristique de la matrice solide à l'échelle du pore.
On note notamment :
- la relation de Kozeny-Carman (1937), qui donne une estimation satisfaisante de K dans le cas d'un empilement de grains de formes à peu prés identiques et dont la distribution des tailles des grains n'est pas trop éloignée d'une taille moyenne D :
C0 est un coefficient de forme, il est compris entre 3.6 et 5. Il est égal à 4.8 pour les grains sphériques et dans ce cas D représente le diamètre de la sphère. Le tableau ci-dessous représente
La perméabilité de quelques matériaux poreux :
Matrice Perméabilité [m2] Matrice Perméabilité [m2]
Briques 4.8.10-15-2.2.10-13 Sable 2.10-11-1.8.10-10
Pierre à chaud, Dolomite 2.10-15-4.5.10-14 Cheveux artificiels 8.3.10-10-1.2.10-9 Cuir 9.5.10-14-1.2.10-13 Plaque de liège 3.3.10-10-1.5.10-9 Poudre d’ardoise noire 4.9.10-14-1.2.10-13 Fils à tisser 3.810-9-2.2.10-8
Terre 2.4.10-11-1.4.10-13 Cigarette 1.1.10-9
Fibre de verre 2.4.10-11-5.1.10-11
RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES
RÉFÉRENCES
BIBLIOGRAPHIQUES
[1] D. Nield, A. Bejan, Convection in Porous Media, 3rd ed. Spingerverlang, New York Inc. (2006).
[2] S. Bories, Natural convection in Porous Media, in Advances in Transport in Porous Media (Edited by J. Bear and M. Y. Corapcioglu). MartinusNijhoff, Dordrecht (1987).
[3] J.P. Caltagirone, Thermoconvective instabilities in a Porous Medium bounded by two concentric horizontal cylinders, J. Fluid Mech.vol 76, pp. 337-362 (1976). [4] M.C. Charrier-Mojtabi, A. Mojtabi, M. Azaiez, G.Labrosse, Numerical and
experimental study of multicellular free convection in an annular porous layer, Int.J. Heat Mass Transfer 34, pp. 3061-3074 (1991).
[5] M.C. Charrier-Mojtabi, Numerical simulation of two and three-dimensional free convection flows in a horizontal porous annulus using a pressure and temperature formulation, Int. J. Heat Mass Transfer 40, pp. 1521-1533 (1997).
[6] K. Himasekhar, H.H. Bau, Two-dimensional bifurcation phenomena in thermal convection in horizontal concentric annuli containing saturated porous media, J. Fluid Mech 187, pp. 267-300 (1988).
[7] J.P.B. Mota, E. Saatdjian, Natural convection in a porous horizontal cylindrical annulus, J. Heat Transfer 116, pp 621-626 (1994).
[8] E. Saatdjian, R. Lam, J.P.B. Mota, Natural convection heat transfer in the annular region between porous confocal ellipses, Int. J. Numer. Meth. Fluids 31, pp. 513-522 (1999).
[9] A. Bejan, The boundary layer regime in a porous layer with uniform heat flux from the side, Int. J. Heat Mass Transfer 26, pp. 1339-1345 (1983)
.
[10] T. Masuouka, Y. Yokote et T. Katsuhara, Heat transfer by natural convection in vertical porous layer, Bull. JSME 24, pp. 995-1001 (1981).
porous medium with internal heat generation, Int. J. Heat Mass Transfer 26, pp. 451- 458 (1983).
[12] H. Ineba et N Seki, A numerical study on transient heat transfer in a vertical porous layer, Bull. JSME 25, pp. 934- 938 (1982).
[13] G. Lauriat et V. Prasad, Natural Convection in a Vertical Porous Cavity: a Numerical Study for Brinkman extended Darcy Formulation in Natural Convection in Porous Media.109, pp. 295. ASME, New York (1987).
[14] W. J. Chang et C. H. Hsiao, Natural convection in a vertical cylinder filled with anisotropic porous media, Int. J. Heat Mass Transfer 36, pp. 3361 (1993).
.
[15] B. D. Young, D. F. Williams and A. W. Bryson, Two dimensional natural convection and conduction in packed bed containing a hot spot and its relevance to the transport of air in a coal dump, Int. J. Heat Mass Transfer 29, pp. 331-336 (1986).
[16] B. Nasrallah, T. Amara et M. A. Du Peuty Convection naturelle instationnaire dans un cylindre rempli de grains ouvert ses extrémités et dont la paroi est chauffée par un flux de chaleur constant: validité de I’ hypothèse de 1'équilibre thermique local, Int. J. Head Mass Transfer 40, pp. 1155-1168 (1997).
[17] Philip, J. R. Free convection at small Rayleigh number in porous cavities of rectangular, elliptical, triangular and other cross-sections, Int. J. Heat and Mass Transfer, 25, pp. 1503-1509 (1982).
[18] Khanafer, K.; Al-Amiri, A.; Pop, I. Numerical analysis of natural convection heat transfer in a horizontal annulus partially filled with a fluid-saturated porous substrate, Int. J. Heat and Mass Transfer, 51, pp. 1613-1627 (2008).
[19] Kumari, M.; Nath, G. Unsteady natural convection from a horizontal annulus filled with a porous medium, Int. J. Heat and Mass Transfer, 51, pp. 5001-5007 (2008). [20] Leong, J.C.; Lai, F.C.: Natural convection in a concentric annulus with a porous
sleeve, Int. J. Heat and Mass Transfer, 49, pp. 3016-3027. (2006)
[21] Sankar, M. et al.: Numerical study of natural convection in a vertical porous annulus with discrete heating, Int. J. Heat and Mass Transfer, 54, pp. 1493–1505 (2011) [22] S.V. Patankar, Numerical Heat Transfer and fluid flow, McGraw-Hill book
company, New York, (1980).
[23] E.F. Nogotov, Applications of Numerical Heat transfer, McGraw-Hill book company, New York, (1978)
ناونعلا : تساسذنا نا تٍمقش جرىمىن .ًوىتىٍو عئامب عبشم ًماسم ظسىب ءىهمم ًجٍهٍهها ًقهح ءاضفن ًعٍبط ممح صخلم ءاضف مخاد، شقتسم ًقئاقس واظو ًف، ًعٍبط ممح تطساىب يساشحنا لاقتولاا و ناٌشسهن تٍمقس تساسد حشتقو ٍهٍهها ًقهح و تٍهخاذنا ناسذجنا سابتعلاا هٍعب زخأوو. ًوىتىٍو ظغضىم شٍغ عئامب عبشم ًماسم ظسىب ءىهمم مكشنا ًج نىواق وذختسو تٍضاٌشنا تجزمىهن . تىٌابتم و تتباث ةساشح ثاجسذب تٍجساخنا Darcy تبساقم، كسىٍسىب ( جرىمو و ، تٌسودسد -نأ امك. )ساٍت تناد ًتنداعم نا تٍمك و تٌساشمتسلإا كنر و"تٍجهٍهها" ةامسمنا ثاٍثاذحلإا تهمج ًف غاصت تكشح جرىمو ممعتسو تىكممنا لىهحنا داجٌلإو. مٍطتسم ىنإ ًىحىم هم سوسذمنا لاجمنا مٌىحت و تٌذحنا طوششنا تباتك مٍهستن تٍهتىمنا وىجحنا , ىت جئاتو عٌص ثا تٌواستمنا طىطخنا و ةساشحنا تٌواستمنا طىطخنا مذقم ساٍتنا ت ٍهحتنا عم سابتخاب كنرو م ًهٌاس دذعو تٍسذىهنا مماىعنا، مٍمنا شٍثأت -.ًسساد حیتافملا ׃ ممحنا ،ًعٍبطنا تبساقم كسىٍسىب ، ًجٍهٍهها ًقهح ءاضف ،ًماسم ظسو تقٌشط، وىجحنا تٍهتىمنا .
Title: Contribution to the study of the natural convection, in confocal elliptic annular space, filled with a fluid saturated porous medium
Abstract:
The purpose of the present paper is to analyze numerically the flow and heat transfer by steady laminar natural convection in a elliptical horizontal annulus filled with a Newtonian incompressible fluid saturated porous medium, with an isothermal inner and outer boundary. This study is carried out using the Darcy flow model, Boussinesq’s approximation and the vorticity-stream function formulation, the continuity and the momentum equations are expressed in a frame of reference known as "elliptic ", to facilitate the writing of the boundary conditions and to transform the curvilinear field into a rectangular field. A computer code was developed, using finite volume method. The stream lines and temperature distributions are presented and analyzed, examining the slope, geometric parameters and Rayleigh-Darcy effect.
Key words: natural convection, Boussinesq equations, porous medium, elliptical annulus,
RESUME
Nous nous proposons d'étudier numériquement l'écoulement et le transfert de chaleur par convection naturelle, en régime laminaire et permanent, dans un espace annulaire elliptique rempli d’un milieu poreux saturé d’un fluide newtonien et incompressible, les parois interne et externe sont maintenues isothermes. En utilisant la loi de Darcy et l'approximation de Boussinesq et la formulation vorticité-fonction de courant, les équations de continuité et des quantités de mouvement obtenues sont exprimées dans un système de coordonnées dites "elliptiques", pour faciliter l’écriture des conditions aux limites et transformer le domaine curviligne en un domaine rectangulaire. Notre modèle mathématique est résolu par la méthode des volumes finis. Des résultats concernant la distribution des isothermes et des lignes de courant sont présentés et analysés, en examinant l'effet de l'inclinaison, des deux facteurs géométriques et du nombre de Rayleigh-Darcy modifié.
Mots-clés : convection naturelle, équations de Boussinesq, milieu poreux, espace annulaire elliptique, Formulation vorticité-fonction de courant