Volume critique et holonomie triviale

−2d dt V(xt, y_t, z_t) 

= sin^2Xx_tsin^2Y y_tsin^2Zz_t. (1.6)

D´emonstration. Imm´ediat. Nous appliquerons toujours cette formule sous la forme donn´ee ici, car c’est

pour cette forme que le membre de droite apparaˆıtra le plus simple.

1.6.2 Volume critique et holonomie triviale

Lemme 1.6.2 (Rivin, Chan–Hodgson). Dans le poly`edre ouvert affine P des suites (wi) qui satisfont

(1.4), d´efinissons la fonctionnelle volumeV comme la somme des volumes hyperboliques des t´etra`edres ∆<sub>i</sub> ayant pour angles di`edresx_i, y_i, z_i, donn´es par le tableau 1.3. Alors(w_i) est un point critique deV

dansP si et seulement si le recollement des t´etra`edres ∆i d´efinit une m´etrique hyperbolique compl`ete, de volume fini, sur le fibr´e en tores perc´esV_ϕ.

D´emonstration. Ce lemme, devenu standard, est valable pour n’importe quelle triangulation id´eale d’une

vari´et´e (voir par exemple [CH, R1]). N´eanmoins, la preuve suivante est d´elib´er´ement sp´ecifique `a l’exemple consid´er´e. Cela nous permettra d’introduire quelques objets et relations qui seront utiles par la suite (¹).

Commenc¸ons par supposer que(w_i) est un point critique. Soit B le tore `a l’infini de V_ϕauquel on a ˆot´e les sommets de la triangulationA. Si σ est l’involution hyperelliptique de Vϕ(agissant comme une translation horizontale surB), d´efinissons B^′ := B/σ etA′ :=A/σ. Soient t0 un triangle deA′,ǫ₀un cˆot´e orient´e det₀etp₀ un point int´erieur det₀. Le groupe des similitudes orient´ees du plan euclidien C est C^∗⋉ C.

D´efinition 1.6.3. ´Etant donn´e(w_i) dans P , la fonction d’holonomie est la repr´esentation ρ : π₁(B^′, p₀)→ C^∗⋉ C

d´efinie comme suit. ´Etant donn´e un ´el´ement α de π₁(B^′, p₀), regardons α comme une suite cyclique

de trianglest₀, t₁, . . . , t_s = t₀ de A^′, tels que deuxt_i cons´ecutifs partagent toujours une arˆete. Alors, dessinons une copie orient´eeτ₀det₀dans le plan C, avec les angles d´efinis par(w_i), en faisant co¨ıncider

l’image de l’arˆete orient´eeǫ₀ avec]0, 1[. Dessinons une copie τ₁de t₁, adjacente (le long d’un cˆot´e) `a

1R´eciproquement, l’id´ee principale de la preuve pr´esent´ee ici — associer explicitement `a chaque arˆete de Vϕ une d´eformation des angles di`edres — peut s’´etendre pour montrer le th´eor`eme de Rivin dans toute sa g´en´eralit´e.

τ₀, ´egalement avec les angles d´efinis par(w_i). Puis dessinons une copie τ₂det₂adjacente `aτ₁, et ainsi de suite. Par d´efinition,ρ(α) est la similitude orient´ee qui envoie la copie de l’arˆete orient´ee ǫ₀dansτ₀

sur la copie deǫ0 dansτs. La fonction d’holonomie r´eduite ψ : π1(B^′, p0) → C∗est d´efinie comme la projection deρ sur le premier facteur.

C’est un simple exercice de v´erifier queρ est bien d´efinie, et constitue une repr´esentation (la r`egle de

concat´enation est queαβ d´enote le lacet α suivi du lacet β). Notons que ψ, dont l’image est commutative,

induit une repr´esentationψ : H₁(B′, Z)→ C∗.

Sous-lemme 1.6.4. Soitα un ´el´ement de H₁(B′, Z) repr´esent´e par un lacet autour d’un sommet de degr´e 4 deA′, et soitβ un ´el´ement repr´esent´e par une courbe qui suit un niveau “gris” (charni`ere) dans A′

(figure 1.6.1). Si(w_i) est critique pour la fonctionnelle volumeV, alors ψ(α) = ψ(β) = 1.

y2 y1 β R R R L y2 x2 x1 z1 y1 z0 x1 z1 y0 α y1 z2 x0 x1 y0 z0 x0 z1 x1 z1 y1 z2 x2

FIG. 1.6.1 – Courbes dans la triangulation de pointe. `A chaque courbeα, β est associ´e un calcul

d’holo-nomie.

D´emonstration. On sait d´ej`a queψ(α), ψ(β) appartiennent `a R^∗₊, `a cause des conditions d’angle (1.1) qui d´efinissentP et imposent le parall´elisme (orient´e). Il reste `a montrer que|ψ(α)| = |ψ(β)| = 1.

En un point critique, la d´eriv´ee partielle de V par rapport `a n’importe quelle variable wi doit ˆetre nulle. Entre deux lettres identiques (et `a l’entour), par exemple R et R, d’apr`es le tableau (1.3), les

angles doivent revˆetir la forme

Ω R R i 0 1 2 wi a b c xi ¹₂(ξ− b) ¹₂(−a + 2b − c) ¹₂(−b + ξ′) y_i ¹₂(η + b) ¹₂(a + c) ¹₂(b + η^′) zi π− a π− b π− c

deb nous int´eresse ici). En vertu de la proposition 1.6.1, la criticalit´e deV implique 1 = exp−2∂V

∂b ⁼

sin y₀sin²x₁sin y₂ sin x0sin²z1sin x2 .

Comme les longueurs des cˆot´es d’un triangle sont proportionnelles aux sinus des angles oppos´es, on en d´eduit que les longueurs des cˆot´es dans la figure 1.6.1 (`a gauche) autour du sommet central s’assemblent correctement. Donc|ψ(α)| = 1. Le cas d’un sous-mot LL est trait´e de la mˆeme mani`ere, ce qui nous

d´ebarrasse de tous les sommets de degr´e4 de la triangulationA^′.

Au voisinage d’une charni`ere entre deux lettres diff´erentes, par exemple L suivi de R, les angles

revˆetent la forme Ω L R i 0 1 2 w_i a b c x_i ¹₂(ξ + b) ¹₂(a + b− c) 1 2(−b + ξ′) y_i ¹₂(η− b) ¹₂(−a + b + c) ¹₂(b + η′) z_i π− a π− b π− c

Cette fois, la criticalit´e donne

1 = exp−2∂V

∂b ⁼

sin x0sin y1sin x1sin y2 sin y₀sin²z₁sin x₂ ^.

Comme on le voit sur la figure 1.6.1 (`a droite) et par le mˆeme argument trigonom´etrique, cela signifie que le premier et le dernier cˆot´e travers´es parβ ont la mˆeme longueur. Donc ψ(β) = 1. (Si Ω est r´eduit

`aLR, le calcul est formellement le mˆeme, en identifiant les indices 0 et 2). Le cas d’un sous-mot RL est

semblable. Le sous-lemme 1.6.4 est d´emontr´e.

Soit `a pr´esentα un ´el´ement de π<sub>1</sub>(B<sup>′</sup>, p<sub>0</sub>) qui est conjugu´e `a un lacet simple autour d’un sommet de

degr´e4 deA′. Par le sous-lemme 1.6.4 (et un facile argument de conjugaison),ρ(α) est une translation.

De plus,ρ(α) fixe le sommet dont α fait le tour, donc ρ(α) = 1, l’identit´e du plan euclidien.

Sous-lemme 1.6.5. SoitU le quotient du tore `a l’infini de V<sub>ϕ</sub> par l’involution hyperelliptique, de sorte queB′ ⊂ U. Supposons que (wi) est un point critique deV. Alors la repr´esentation ρ : π1(B′, p<sub>0</sub>) → C∗ ⋉ C descend `a une repr´esentation ρ_U : π₁(U, p₀) → C∗ ⋉ C dont la premi`ere projection ψ_U : π₁(U, p₀)→ C^∗est triviale.

D´emonstration. Pour voir queρ_U est bien d´efinie, il suffit de v´erifier que, siγ est (conjugu´e `a) un lacet

qui fait le tour d’un sommetv de A′, alors ρ(γ) = 1. Si v a pour degr´e 4, c’est d´ej`a fait. Sinon, par

l’argument qui pr´ec`ede le sous-lemme 1.6.5, il suffit de montrer que ψ([γ]) = 1, o`u [γ] est la classe

d’homologie deγ. Mais dans H₁(B^′, Z), l’´el´ement [γ] est une somme de lacets autour de sommets de

degr´e4 et de courbes qui suivent les niveaux-charni`ere “gris” (voir la figure 1.6.2 : les arˆetes verticales

γ

FIG. 1.6.2 – Un sommet de degr´e ´elev´e dans la triangulation de pointe.

op´eration de “dessoudage-ressoudage” pour donnerγ). Donc par le sous-lemme 1.6.4, ψ([γ]) = 1 : par

cons´equentρ_Uest bien d´efini. De plus, siβ est une courbe qui suit un niveau “gris” (charni`ere), le

sous-lemme 1.6.4 dit queρ_U(β) = ρ(β) est une translation euclidienne (diff´erente de l’identit´e). La valeur

prise parρ_U en un autre g´en´erateur deπ₁(U ) (qui est commutatif) doit commuter avec ρ_U(β), et donc

ˆetre une translation elle aussi. On en d´eduit que l’image deρ_U est contenue dans{1} ⋉ C et ψU = 1 : le

sous-lemme 1.6.5 est d´emontr´e.

Si l’on conf`ere une longueur de 1, par exemple, `a l’arˆete ǫ₀ de A′, un point critique (w_i) de la

fonctionnelle volume permet ainsi de d´efinir les longueurs de toutes les autres arˆetes deA′d’une mani`ere coh´erente. On obtient une m´etrique euclidienne compl`ete g sur U . Un revˆetement universel eU de U

se plonge donc dans C (ce plongement, appel´e l’application d´eveloppante de la structure localement euclidienne, est bien injectif puisque la˜g-g´eod´esique reliant deux points distincts de eU est envoy´ee sur

un segment de C) ; il y a donc une isom´etrie eU ≃ C. La m´etrique g se rel`eve de U au tore `a l’infini de V_ϕ et `a sa triangulation A, ce qui fournit une r´ealisation g´eom´etrique de A, et de la figure 1.4.2, dans C (pavage euclidien). Au dessus de chaque triangle du revˆetement universel de A on peut construire un

t´etra`edre id´eal avec un sommet `a l’infini : le t´etra`edre est l’enveloppe convexe hyperbolique du point∞

et des sommets du triangle. Notons que ces t´etra`edres remplissent H<sup>3</sup>enti`erement `a partir d’une certaine hauteur.

Pour s’assurer que la m´etrique obtenue par recollement sur l’union V = V_ϕ de tous les t´etra`edres id´eaux est bien compl`ete, on suppose qu’une g´eod´esiqueγ(t) dans V part `a l’infini en temps T <∞. Si K ⊂ V est compact, c’est-`a-dire poss`ede une intersection compacte avec chaque t´etra`edre ∆i, alorsγ

finit par quitterK (sinon, les γ(T − 1/n) s’accumuleraient en un certain point p d’un certain t´etra`edre,

mais il y a une petite boule hyperbolique plong´ee dansV de centre p : absurde). Donc pour t assez proche

deT , il existe un relev´e de γ(t) `a une hauteur euclidienne arbitrairement grande au dessus de la

trian-gulationA (plong´ee dans C dans le mod`ele du demi espace sup´erieur). Mais aux hauteurs suffisamment

grandes, les t´etra`edres au dessus deA remplissent H<sup>3</sup>compl`etement, donc les g´eod´esiques sont d´efinies pour des temps longs (par exemple des temps plus grands que1) : contradiction. L’implication directe du

Pour l’implication r´eciproqe, il suffit de montrer que si le recollement des t´etra`edres d´efinit une m´etrique hyperbolique compl`ete, alors le recollement de leurs liens sommitaux (triangles euclidiens) est une r´ealisation g´eom´etrique deA, c’est-`a-dire de la figure 1.4.2 (v´erifier ∂V/∂wi = 0 revient alors `a

r´ep´eter les deux calculs du sous-lemme 1.6.4, en distinguant selon quei est un indice charni`ere ou non).

Or c’est bien le cas : ´etant donn´ee une m´etrique hyperbolique compl`ete, consid´erons un revˆetement uni-versel triangul´e H<sup>3</sup> → Vϕet envoyons un relev´e de la pointe en l’infini, dans le mod`ele du demi-espace sup´erieur. C’est une propri´et´e classique que les transformations de H³qui commutent avec l’application de revˆetement et laissent fixe le point∞ sont toutes paraboliques, de sorte que le lien de l’infini admet

deux p´eriodes de translation et constitue une r´ealisation euclidienne deA (et de la figure 1.4.2).