Vitesses de convergence des martingales vectorielles

2.2 Martingales vectorielles

2.2.2 Vitesses de convergence des martingales vectorielles

On commence par donner la première loi des grands nombres pour les martingales vectorielles.

Théorème 2.2.1(Première loi des grands nombres). On suppose queλ_min(hMi_n)−−−−→^p.s

n→+_∞ +_{∞, et on} pose Qn=hMi_n+Q avec Q une matrice symétrique définie positive. On suppose que l’une des conditions suivantes est satisfaite :

1. ∑^∞k=0(λ_min(Q_k))⁻¹< +_∞presque sûrement,

2. ∑^∞k=1(λ_min(Q_k₋₁))⁻¹(ln detQ_k−ln detQ_k₋₁)< +_∞presque sûrement,

3. ∑^∞k=1(λ_min(Q_k−1))⁻²_E h

kM_k−M_k−1k²|F_k₋₁ⁱ< +_∞presque sûrement.

Alors

Q⁻_n¹M_n−−−−→^p.s

n→+_∞ 0.

A noter que l’introduction de la matriceQpermet seulement d’assurer queQ_nsoit inversible pour toutn ≥0. En effet, sin< d−1, par exemple, le crochethMi_nn’est pas inversible (car somme de nmatrices de rang 1 (ou nul) et donc la somme est au plus de rang n). De plus, si la plus petite valeur propre du crochet diverge, le choix de la matrice Qn’a aucune incidence sur le résultat et ne reste donc que purement technique.

Démonstration. On poseV_n= M^T_nQ⁻_n¹M_net

∆n=hMi_n− hMi_n₋₁ =_E^hξ_nξ_n^T|F_n₋₁ⁱ=_E^hM_nM_n^T−M_n−1M^T_n₋₁|F_n₋₁ⁱ.

A noter que commeQn est définie positive, la variable aléatoireVn est positive. De plus, comme Q_n+1estF_n-mesurable, et commeM_n+1 = M_n+ξ_n+1avecE[ξ_n+1|F_n] =0,

E[V_n+1|F_n] =_E^h(Mn+ξ_n+1)^TQ⁻_n₊¹₁(Mn+ξ_n+1)|F_nⁱ

= M^T_nQ⁻_n₊¹₁M_n+_E^hξ_n+1Q⁻_n₊¹₁ξ_n+1|F_nⁱ

=Vn−M^T_n

Q⁻_n¹−Q⁻_n₊¹₁ Mn

| {z }

=:Bn

+_E^hξ_n^T₊₁Q⁻_n₊¹₁ξ_n+1|F_nⁱ

| {z }

=:An

et comme la suitehMi_nest croissante, dans le sens où hMi_n₊₁− hMi_nest au moins semi définie positive, on aBn ≥0. De plus, on a grâce au lemme 2.1.1 dans [Duf90],

An =_E

Q⁻_n₊^1/2₁ ξ_n+1

2|F_n

=Trace

Q⁻_n₊^1/2₁ Eh

ξ_n+1ξ^T_n₊₁|F_nⁱQ⁻_n₊^1/2₁

≤infn

d,dλ_min(Q_n+1)⁻¹_E^hξ_n+1ξ^T_n₊₁|F_nⁱ, ln detQ_n+1−ln detQ_no .

De plus, en multipliant parλmin(Q_n+1)⁻¹≤λmin(Qn)⁻¹, on obtient, grâce à l’hypothèse 1,2, ou 3,

∑

≥0

λ_min(Q_n+1)⁻¹A_n ≤

∑

n≥0

λ_min(Q_n)⁻¹A_n<+_∞ p.s.

et donc, en appliquant le Corollaire2.1.2, on a λ_min(Qn)⁻¹Vn

−−−−→p.s n→+_∞ 0.

Or, on a

λmin(Qn)⁻¹Vn=λmin(Qn)⁻¹

Q⁻_n^1/2Mn

2≥Q⁻_n¹Mn

ce qui conclut la preuve.

On s’intéresse maintenant aux vitesses de convergence presque sûre des martingales. Le théorème suivant, indigeste mais simplifié par rapport aux Théorème 2.II.8 dans [Duf90], nous en donne une première.

Théorème 2.2.2(Deuxième loi des grands nombres). Soit Q une matrice symétrique définie positive et Q_n=hMi_n+Q. On a

1. Pour toutδ>0,

√ 1

n(lnn)^1/2⁺^δ/2^Q

−1/2

n Mn

−−−−→p.s n→+_∞ 0.

2. Siλmax(Qn)−−−−→^p.s

n→+_∞ +∞, pour toutδ>0, 1 p

λ_max(Q_n)ln(λ_max(Q_n))^1/2⁺^δ/2^Q

−1/2

n M_n−−−−→^p.s

n→+_∞ 0.

Démonstration. On va reprendre la preuve de la loi première loi des grands nombres pour les mar-tingales vectorielles. Plus précisément, on poseVn = M_n^TQ⁻_n¹Mnet on rappelle que l’on a

E[V_n+1|F_n]≤V_n+A_n−B_n avecB_n = M_n^T

Q⁻_n¹−Q⁻_n₊¹₁ M_net A_n =_E^hξ_n^T₊₁Q⁻_n₊¹₁ξ_n+1|F_nⁱ≤infn

d,dλ_min(Q_n+1)⁻¹ Eh

ξ_n+1ξ^T_n₊₁|F_nⁱ, ln detQ_n+1−ln detQ_no

≤ln detQ_n+1−ln detQn

De plus, pour tout δ > 0 et x ≥ 0, on note f_δ(x) = ₍ ¹

x+1)ln(x+1)¹⁺^δ, et comme A_n ≤ d, on a

∑n≥0 f_δ(n)A_n <+∞, et grâce au Corollaire2.1.2, le point 1 du théorème est vérifié, i.e on a 1

nln(n)¹⁺^δ

Q⁻_n^1/2M_n

2 p.s

−−−−→

n→+_∞ 0.

Pour le point 2, il suffit de voir, comme la fonction fδest décroissante, que f_δ

ln det(Q_n+1) d

A_n ≤ f_δ

log det(Q_n+1) d

(ln det(Q_n+1)−ln det(Q_n))

Z _{ln det}(Qn+₁) ln det(Qn) f_δ

log det(Q_n+1) d

≤

Z _{ln det}(Q_n+1)

ln det(Qn) f_δ(t/d)dt

A noter, quitte à prendre Q = I_d, que ln det(Q_n+1) = _∑^d_i₌₁ln(λ_i(Q_n)) ≤ dλ_max(Q_n). Ainsi,

comme la fonction f_δest décroissante, on a et on obtient donc

∑

≥0

Cependant, là aussi le résultat est difficilement exploitable. On peut par contre regarder l’alterna-tive suivante :

Théorème 2.2.3. On considère M_n = _∑ⁿ_k₌₁ξ_k avec pour tout k ≥ 1, E[ξ_k|F_k₋₁] = 0. On suppose également qu’il existe une variable aléatoire positive C telle que pour tout k ≥ 1,Eh

kξ_kk²|F_k₋₁ⁱ ≤ C. et on obtient le résultat en appliquant le théorème de Robbins-Siegmund.

On peut encore faire un peu mieux avec des hypothèses légèrement plus restrictives grâce au théorème de suivant (admis, voir la preuve du Théorème 4.3.16 dans [Duf97]).

Théorème 2.2.4. Soit M_n=_∑ⁿ_k₌₁ξ_k, avecξ_kadapté à la filtration, de carré intégrable etE[ξ_k|F_k₋₁] =0.

Si il existe une matrice symétrique semi-définie positiveΓtelle que 1

On peut même faire encore mieux en terme de vitesse de convergence en utilisant la loi du log-itéré pour les martingales.

Théorème 2.2.5(Loi du log-itéré vectorielle). Soit(M_n)une martingale adaptée à une filtrationF, et s²_n une suite adaptée tendant vers+_∞presque sûrement et tellekhMi_nk_op ≤s²_n₋₁. De plus, pour tout x>e¹, on pose h(x) =√

2xln lnx, et on considère alors deux cas : 1. SikM_n+1−M_nk ≤Cs²_nh s²_n−1

où C est une variable aléatoireF₀mesurable et C<1. Alors lim sup

kMnk

h s²_n₋₁ ≤1+ ^C 2. 2. SikM_n+1−M_nk ≤C_ns²_nh s²_n−1

où C_nest une suite adaptée convergeant presque sûrement vers 0. Alors

lim sup

kM_nk h s²_n₋₁ ≤_1.

On admettra ce résultat, mais la preuve est disponible dans [DST90]. A noter que ce théorème n’est pas très digeste, et on va donc plutôt s’intéresser au corollaire suivant, qui consiste à considérer une borne uniforme des moments d’ordre strictement plus grand que 2 des différences de martingale.

Corollaire 2.2.1. Soit (ξ_n) une suite de différences de martingales vectorielles, i.e pour tout n ≥ 0, E[ξ_n+1|F_n] =0et telle que

— il existe une constante positiveσ²telle que pour tout n≥0,Eh

kξ_n+1k²|F_nⁱ≤ σ².

— Il existeη>0et C_η >0tels que pour tout n≥0,Eh

kξ_n+1k²⁺^2ηⁱ≤C_η presque sûrement.

Soit(Y_n),(T_n)deux suites de variables aléatoires réelles telles que pour tout n≥0,|Y_n| ≤T_n. On pose Mn=

n−1 k

∑

=₀

Y_kξ_k+1 et τn=

n−1 k

∑

=₀

T_n².

De plus on suppose queτ_n−−−−→^p.s

n→+_∞ +_∞et qu’il existeη>0tel que

∑

≥0

T_n²⁺^2ητ_n⁻¹⁻^η <+_∞ p.s.

Alors

lim sup

(2τ_nln lnτ_n)⁻^1/2kM_nk ≤σ

Démonstration. SoitC_nune suite de variables aléatoires adaptée et convergent vers 0. On verra par la suite comment choisir cette série. On pose pour toutx> e¹,h(x) =√

xln lnx. Afin de simplifier la preuve, commeτn

−−−−→p.s

n→+_∞ +∞, quitte à prendreT₀ >maxn Y₀,_σ^e¹2

, on va supposerτn> e¹. On peut donc considérer l’évènement Γn+1 = ⁿkYne_n+1k ≤Cnσ²τnh σ²τn−1o

. Comme 1_Γ_n₊₁ n’est

pasF_n-mesurable, on pose

e_n+1:=Yn ξ_n+11_Γ_n₊₁−_Eξ_n+11_Γ_n₊₁|F_n e^C_n₊₁:=Y_n

ξ_n+11_ΓC

n+1−_E^hξ_n+11_ΓC

n+1|F_nⁱ

et on peut remarquer que ces deux termes sont des différences de martingales vérifiant ξ_n+1 = e_n+1+e^C_n₊₁. On pose maintenant

M⁰_n=

n−1 k

∑

e_k₊₁ et M_n⁰⁰ =

n−1 k

∑

e^C_k₊₁

et on va donner les vitesses de convergence de ces deux termes.

Vitesse deM⁰_n. L’objectif est d’appliquer la loi du log itéré. Pour cela, on commence par remarquer que

ke_n+1k²|F_nⁱ=kYnk²_E^hkξ_n+1k²1_Γ_n₊₁|F_nⁱ−E

ξ_n+11_Γ_n₊₁|F_n

≤ σ²T_n², et on a donc

hM⁰i_n≤σ²

n−1 k

∑

=₀

T_k²=σ²τ_n².

et on peut donc appliquer la loi du log-itéré àM⁰_nen prenants²_n= σ²τ_net on a donc lim sup kM⁰_nk

σ²τ_nln ln(σ²τ_n) ≤₁ et en multipliant parσ, on obtient

lim sup kM_n⁰k p

τnln ln(σ²τn) ≤σ et commeτn

−−−−→p.s

n→+_∞ +_{∞, on a ln} σ²τn

∼ln(τn), et on a donc

lim sup kM_n⁰k p

τ_nln ln(τ_n) ≤ σ.

Vitesse deM⁰⁰_n. On pose

Nn =

n−1 k

∑

e^C_k₊₁h s²_k−1

Le terme N_nest donc une martingale et on va donc calculer donc son crochet. On commence par remarquer que

e^C_n₊₁

2|F_n

=kYnk²

kξ_n+1k²1_ΓC

n+1|F_nⁱ−_E^hξ_n+11_ΓC

n+1|F_nⁱ²

≤T_n²Eh

kξ_n+1k²1_ΓC

n+1|F_nⁱ.

En appliquant l’inégalité de Hölder, on a Eh

kξ_n+1k²1_Γ^C

n+1|F_nⁱ≤_E^hkξ_n+1k²⁺^2η|F_nⁱ

1 1+η

kξ_n+1k ≥C_nσ²τ_nh s²_n−1

|F_nⁱ

η 1+η

. En appliquant l’inégalité de Markov,

kξ_n+1k²1_ΓC

n+1|F_nⁱ≤C

1 1+η

η Eh

kξ_n+1k²⁺^2η|F_nⁱ^{h s}

2+2η

T_n²⁺^2η (s²_n)²⁺^2ηC_n²⁺^2η

!₁₊^η_η

≤Cη

h s²_n2η

T_n^2η (s²_n)^2ηC_n^2η . On a donc,

kN_n+1k²|F_nⁱ≤ kNnk²+h s²_n−2

e^C_n₊₁

2|F_n

≤ kN_nk²+T_n²h s²_n−2

Cη

h s²_n2η

T_n^2η (s²_n)^2ηC^2η_n

= kN_nk²+C_ηs⁻_n^2η⁻² ln ln s²_nη−1

C_n⁻^2ηT_n²⁺^2η En prenantC_n⁻^2η = ln lns²_n1−η

, par hypothèse,

∑

≥0

Cηs⁻_n^2η⁻² ln ln s²_nη−1

C_n⁻^2ηT_n²⁺^2η <+_∞ p.s

et on a donc kNnk² qui converge presque sûrement vers une variable aléatoire. En particulier, si on note N_n,i ete^C_n₊_1,i lesi-ème coordonnées, on ahN_ii ≤ kN_nk²qui converge presque sûrement et donc

N_n,i =

n−1 k

∑

e_k^C₊_1,i

converge presque sûrement vers une variable aléatoire finie. Ainsi, en appliquant le lemme de Kronecker, on a

1 h(τn)

n−1 k

∑

e^C_k₊_1,i −−−−→^p.s

n→+_∞ 0, et donc

1 h(τ_n)^Nⁿ

−−−−→p.s n→+_∞ 0,

Bien que ce corollaire ait l’air aussi indigeste que la loi du log-itéré, dans certains cas il se "lit"

beaucoup plus facilement, comme dans le corolaire suivant :

Corollaire 2.2.2. Soit(ξ_n)une suite de différence de martingales vérifiant

— Il existe une constante positiveσ²telle queEh

kξ_n+1k²|F_nⁱ≤ σ².

— Il existeη>₀et C_η tels que pour tout n≥0,Eh

kξ_n+1k²⁺^2η|F_nⁱ≤C_η presque sûrement.

Alors, si on note M_n= _∑ⁿ_k₌₁ξ_k,

kMnk²=O(nln lnn) p.s.

Démonstration. Il suffit d’appliquer le Corolaire2.2.1avecY_k =T_k =1, etτ_n=, on a bien

∑

≥1

T_n²⁺^2ητ_n⁻¹⁻^η =

∑

n≥1

n¹⁺^η < +_∞.

Cette version est donc beaucoup plus digeste.

Dans le document AntoineGodichon-Baggioni Algorithmesstochastiques (Page 46-53)