Vitesse d’expansion radiale

L’´etude des images d’ombroscopie a montr´e, au cours du temps, une expansion radiale du jet (section 6.1). Nous confirmons, dans cette section, ces observations par l’analyse des r´esultats du diagnostic d’´emission propre en face arri`ere. En utilisant la r´esolution temporelle de la CBF, nous obtenons l’´evolution radiale du jet de plasma et nous confrontons ces mesures `a un mod`ele analytique li´e `a l’expansion polytropique d’un plasma `a sym´etrie cylindrique d´evelopp´e par E. Falize et al. [176]. Dans la section 6.2, concernant les vitesses de d´etente du plasma, nous avons effectu´e la mˆeme d´emarche mais pour une g´eom´etrie plane (d´ebouch´e du choc). Pour ´etudier la partie radiale du plasma, nous ne pouvions pas mod´eliser son expansion dans le vide comme nous l’avons fait pour une d´etente longitudinale. Nous aboutissons n´eanmoins `a cette mˆeme d´ependance en fonction de cs ( ∝

√

T ) de la vitesse du plasma.

6.4.1

Densit´e initiale de la mousse ρ

Ind´ependamment de la densit´e initiale de la mousse, nous observons une expansion de la partie ´emissive du jet (figure 6.22) qui d´ecrit l’´evolution du rayon en fonction du temps pour ρ0 = 20 mg/cc `a 200 mg/cc. En ne consid´erant que les premiers instants d’expansion du jet,

4 6 8 10 12 14 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 Temps (ns) R a y o n ( µ m ) 200 mg/cc V_R = 52 km/s 50 mg/cc V_R = 35 km/s 100 mg/cc V_R = 32km/s 200 mg/cc V_R = 22km/s

Figure 6.22 Evolution temporelle des rayons ´emissifs en fonction de la densit´e initiale de mousse.

on estime une vitesse radiale moyenne de 52 km/s pour 20 mg/cc `a 22 km/s pour 200 mg/cc6<sub>.</sub> Nous obtenons ainsi, `a un temps fix´e, un rayon du jet plus important pour une densit´e ρ0 plus faible.

La g´eom´etrie cylindrique du jet ne permet pas d’utiliser MULTI afin d’obtenir des ordres de grandeur de la dynamique du jet de plasma. Nous utilisons alors les r´esultats analytiques de l’expansion polytropique d’un gaz en sym´etrie cylindrique de E. Falize et al. [176]. Son applica- tion sur un cas particulier, celui `a 100mg/cc avec des conditions optimales de la cible, permet 6<sub>La qualit´e des profils d’´emission radiale limite la pr´ecision de mesure du rayon du jet `a l’aide de ce diagnostic</sub>

`

a ± 10µm (erreur sur l’estimation de la largueur `a mi-hauteur). Pour estimer l’incertitude sur la mesure de la vitesse radiale, il faut ´egalement tenir compte d’une incertitude sur le temps de 0.125 ns et par cons´equent l’incertitude sur ces vitesses est ± 10%.

ensuite par extension d’expliquer les observations d´ecrites pr´ec´edemment (figure 6.22).

La d´etente du plasma dans le vide est associ´ee `a une onde de rar´efaction qui se dirige de l’ext´erieur (le vide) vers le centre du jet. Elle se caract´erise par une baisse de la temp´erature et de la densit´e du plasma lors de son passage, quelque soit la g´eom´etrie : plane, cylindrique ou sph´erique. C’est pourquoi nous avions des vitesses de d´etentes diff´erentes, en fonction de la densit´e ´electronique (MULTI ) consid´er´ee, pour interpr´eter la propagation du jet (section 6.2). De la mˆeme mani`ere qu’en g´eom´etrie plane, o`u la d´etente de la cible est li´ee `a cs, la dynamique radiale du jet est proportionnelle `a la vitesse interne du son dans le plasma et par cons´equent `a sa temp´erature (cs ∝

√

T ). Plus le plasma est chaud, plus celui-ci entre en expansion de mani`ere rapide, sans autre processus de collimation (pertes radiatives importantes ou pression ext´erieure). L’analyse de la propagation du choc dans le cˆone montre une augmentation de sa vitesse en diminuant la densit´e de la mousse (section 6.2). Un choc plus fort entraˆıne logique- ment des temp´eratures plus ´elev´ees de la mousse. On v´erifie ainsi (figure 6.22) une acc´el´eration de la vitesse radiale pour ρ0 = 20 mg/cc en comparaison de ρ0 = 200 mg/cc car pour des CI identiques, la temp´erature du choc est plus importante.

Utilisons maintenant les r´esultats du mod`ele analytique d’expansion polytropique dans le vide du plasma. Cette repr´esentation th´eorique permet de reproduire l’´evolution dans le temps du rayon du jet. Son r´esultat valide l’interpr´etation r´ealis´ee sur l’influence de la temp´erature dans la modification de la dynamique radiale du jet en fonction de ρ0. Pour plus de d´etails sur la r´esolution analytique de ce probl`eme, nous dirigeons le lecteur vers la th`ese de E. Falize [82]. L’´evolution du rayon du plasma, pour une temp´erature ou une densit´e fix´ee, est obtenue `a l’aide d’une transformation particuli`ere sur les ´equations hydrodynamiques (´equations d’Euler) : la transformation dite de ”Burgan et Feix” [176] (not´ee ”BFT”) ou groupe de quasi-invariance. Elle permet d’aboutir plus facilement, dans certains cas, `a des solutions auto-semblables d’un syst`eme d’´equations donn´e en se pla¸cant dans un espace redimensionn´e. L’application de ce type de transformation `a l’ensemble des ´equations d’Euler 7 _{`a sym´etrie cylindrique permet d’obtenir} une solution de l’´evolution temporelle de la densit´e du plasma sous la forme :

ρ(r, t) = ρc C2_[t] " 1 −  r R0C[t] 2#1/(γ−1) , (6.2)

o`u ρc = ρ(0, 0) est la densit´e au centre du jet, R0 le rayon initial, et C(t) une fonction arbitraire (apparaissant au cours de la BFT des ´equations) et satisfaisant :

¨

CC1+2(γ−1) = Ω2. (6.3)

La fonction C[t] est associ´ee `a la valeur de Ω = [<sub>p2/(γ − 1)]c</sub>s,0/R0 o`u cs,0 est la vitesse du son interne et elle d´ecrit l’´evolution de la densit´e du syst`eme consid´er´e en fonction du temps. Ces solutions implicites C(t) [176] s’´ecrivent sous la forme de

C × 2F11/2, −1/[2(γ − 1)]; [1 + 2(1 − γ)] / [2(1 − γ)] ; C−2(γ−1)
∝ (t − t0), pour γ 6= 1, o`u 2F1 est une fonction hyper-g´eom´etrique et t0 une constante arbitraire.

Afin de comparer ces r´esultats analytiques au cas exp´erimental, nous consid´erons mainte- nant d’une part, le rayon hydrodynamique du jet, RH(t), d´efinit en annulant la densit´e dans l’expression (6.2) (ρ(RH, t) = 0) et, d’autre part, le rayon thermique Rth(t) d´ecrivant l’´evolution du rayon du plasma `a une temp´erature donn´ee TS diff´erente de 0.

Le r´esultat analytique (6.2) permet d’´ecrire simplement l’´evolution du rayon hydrodyna- mique sous la forme de RH(t) = R0C(t) en appliquant ρ(RH, t) = 0. Pour extraire l’expression du rayon thermique du plasma de (6.2), il faut utiliser la relation entre la temp´erature et la den- sit´e dans l’hypoth`ese d’un gaz polytropique soit, TS/TC = (ρS/ρC)(γ−1) avec TC la temp´erature centrale du jet de plasma, et en utilisant la relation (6.2) on en d´eduit :

Rth RH = r 1 − _TTS C C(t)2(γ−1)_.

L’´evolution radiale du plasma est ainsi d´ecrite en fonction du rapport η = TS

TC et de la solution

C(t) de l’´equation (6.3). Cette derni`ere d´epend par Ω de la vitesse du son interne : cs,0. Ainsi en r´ealisant la meilleure correspondance entre le mod`ele et les donn´ees exp´erimentales, nous remontons aux conditions internes du jet telles que sa temp´erature centrale TC et sa vitesse du son interne cs,0 (figure 6.23).

Temps (ns) Expérience Rayon thermique Rayon hydrodynamique R a y o n ( ! m )

Figure 6.23 Comparaison des mod`eles analytiques du rayon hydrodynamique (RH) en bleu

et thermique Rth(t) en vert. Les donn´ees exp´erimentales sont repr´esent´ees en rouge. .

Les courbes trac´ees sur la figure 6.23 repr´esentent le rayon ´emissif du jet mesur´e par le SOP face arri`ere pour un tir de 100 mg/cc (en rouge), le rayon analytique hydrodynamique RH(t) (en bleu) et le rayon thermique, Rth(t) (en pointill´e vert). Le meilleur accord entre le mod`ele analytique et la mesure exp´erimentale est obtenu en consid´erant le rayon thermique pour η =

TS

TC = 0.033 et cs,0 = 24 km/s. Ces deux valeurs permettent d’estimer la temp´erature centrale

du jet : TC ∼ 15 eV. La diff´erence avec la temp´erature apparente du corps noir mesur´ee (∼ 1.9 eV) s’explique par l’impossibilit´e de connaˆıtre pr´ecis´ement la position de la surface ´emissive du jet (section 6.3). Par contre, on remarque que TC est proche des valeurs de la temp´erature du choc (MULTI) dans la mousse mentionn´ees dans la section 6.3 avec les mˆemes CI. Le d´esaccord entre les donn´ees exp´erimentales et RH s’explique par l’impossibilit´e de mesurer, par pyrom´etrie visible, l’´emission du plasma `a une densit´e faible (trop froid). Ce mod`ele analytique, valid´e pour l’´evolution radiale du jet `a 100 mg/cc, r´ev`ele un impact de la temp´erature sur l’´evolution radiale du jet.

Pour des conditions lasers adapt´ees au cˆone, l’´evolution du choc incident est stationnaire ainsi la d´ependance de l’´evolution radiale du jet avec ρ0 s’explique en fonction de la variation

4 6 8 10 12 14 0 50 100 150 200 250 300 Temps (ns) R a y o n ( µ m )

Figure 6.24 Comparaison de l’´evolution radiale du jet `a 50 mg/cc (bleue) et 100 mg/cc (rouge) pour des intensit´es laser de 7.5×1013 _W.cm−2 _{(en pointill´e) et 3×10}14_W.cm−2_(traits

pleins). .

de la temp´erature du choc dans la mousse (mod`ele analytique pr´ec´edent). Par contre, d`es lors que la plan´eit´e du choc ou l’adaptation de la tˆache focale n’est pas r´ealis´ee (section 6.6), on a d´emontr´e une incidence importante sur la vitesse de propagation du jet (section 6.2) par la modification des caract´eristiques du choc. Identiquement `a la conclusion sur la vitesse de propagation du jet, on observe une ´evolution radiale similaire (figure 6.24) pour les tirs de mai 2006 et cela mˆeme avec une intensit´e laser sup´erieure.

On ´evalue alors pour l’ensemble des tirs de mai 2006 (intensit´e laser maximale utilis´ee), un ralentissement de la vitesse de propagation du jet (section 6.2) et une r´eduction de sa vitesse radiale. Ces deux param`etres (vitesse d’expansion et de propagation) sont d´etermin´es par les conditions du choc dans la mousse comme le d´emontrent les deux mod`eles auto-similaires (plan et cylindrique).

6.4.2

Cylindre de collimation en sortie de cˆone

L’´evolution du profil radial des tirs, avec et sans cylindres, est repr´esent´e pour une densit´e fix´ee `a 50 mg/cc sur la figure 6.25. Nous remarquons tout d’abord, pour le tir sans cylindre, une faible ´emission avant le d´ebouch´e du choc (maximum mesur´e `a t ∼ 4.7ns). Cette ´emission propre provient de la transmission d’une partie du rayonnement du choc lors de sa propagation dans la cible (voir discussion pr´ec´edente dans la section 6.3). On observe ensuite la d´etente du jet de plasma dans le vide. La forme est diff´erente selon la pr´esence ou l’absence du cylindre. Pour le tir sans cylindre collimateur, la concavit´e de l’´evolution radiale est tourn´ee vers l’ext´erieur (figure 6.25 `a gauche) contrairement `a la figure 6.25 de droite o`u l’expansion ralentit.

Sur la figure 6.26, nous pr´esentons l’extraction du rayon ´emissif du jet en fonction du temps, pour deux densit´es initiales ρ0 de mousse. Les courbes en rose et rouge correspondent `a l’´evo- lution radiale extraite des figures 6.25. Au cours des premiers instants, on distingue quelque soit ρ0 une ´evolution pratiquement identique pour chaque couple de densit´e (aux incertitudes de mesure pr`es). Les profils se croisent ensuite `a partir de ∼ 8.5 ns pour 50 mg/cc et 9.8 ns pour 100 mg/cc. La mesure des rayons, lorsque le cylindre collimateur est pr´esent, se stabilise plus ou moins (voir extrapolation des courbes en pointill´ee de la figure 6.26).

Rayon (µm) T e m p s (n s ) 50mg/cc, SANS cylindre !500 0 500 3 4 5 6 7 8 9 T e m p s (n s ) Rayon (µm) 50mg/cc, AVEC cylindre !500 0 500 3 4 5 6 7 8 9

Figure 6.25 Evolution de l’´emission propre du jet avec et sans cylindre collimateur pour ρ0

= 50mg/cc.

Figure 6.26 Evolution temporelle des rayons ´emissif des jets `a diff´erentes densit´es, 50mg/cc et 100mg/cc, avec et sans cylindre `a la sortie du cˆone de mousse.

Deux hypoth`eses sont possibles pour expliquer cette observation : l’ajout du cylindre change l’´evolution thermique du jet (refroidissement plus rapide), ou sa pr´esence modifie l’´ecoulement du plasma. La premi`ere hypoth`ese tient compte des caract´eristiques du diagnostic utilis´e. Nous mesurons l’´emission propre du plasma et cette donn´ee est influenc´ee par la valeur de la temp´era- ture du jet ainsi que par les ph´enom`enes d’absorption. La mesure de la temp´erature apparente du jet (figure 6.25) ne pr´esente pas de modifications importantes entre les deux situations. Pour la deuxi`eme hypoth`ese, il est raisonnable de penser `a une limitation de l’expansion radiale du jet par collision du plasma sur les parois du cˆone. Cette surpression sur les parois du cylindre est form´ee par une accumulation du flot de plasma aux premiers instants. Cette pression focalise la mati`ere qui continue de provenir du cˆone vers l’axe de propagation. Nous avons ´egalement

r´ealis´e `a Imin des tirs avec et sans cylindres et nous constatons une l´eg`ere am´elioration de l’´evo- lution du profil ´emissif du jet. La diff´erence sur ces rayons est moins marqu´ee lors de cette campagne car nous avons utilis´e une vitesse de balayage (CBF) plus rapide. Nous n’obtenons pas une dynamique du rayon sur un temps assez long (figure 6.26 `a comparer avec la figure 6.13) permattant d’observer la stabilisation du rayon.

6.4.3

Dopant en brome et angle du cˆone

Aux incertitudes de mesure pr`es, nous ne r´ev´elons pas de variations dans l’´evolution ra- diale de jet en fonction du dopant en brome. Comme nous avons d´ej`a vu dans la section 6.3, il n’existe pas de changement notable de la temp´erature qui modifierai la dynamique radiale du jet (fortement influenc´ee par sa temp´erature).

R´ecapitulatif : L’´evolution radiale du jet est d´etermin´ee par la temp´erature du plasma g´en´er´e par choc dans le cˆone. Pour des densit´es plus faibles, ρ0, nous observons `a un temps fix´e des rayons ´emissifs du jet plus importants. L’ajout du cylindre collimateur en sortie du cˆone de mousse permet de ralentir l’expansion radiale du jet de fa¸con notable.