Visualisation de la dynamique de la couche

Fig. 4.5  Résultats de simulations montrant que seuls les patterns en lignes sont stables pour des particules sans frottement. En t = 0, Γ et f∗_{prennent des valeurs qui donneraient}

lieu, pour des particules avec frottement : (a) à des carrés; (b) à des lignes; (c) à des hexagones [2].

Conclusions : les simulations qui mettent en jeu des particules sans frottement ne sont pas à même de capturer certaines structures observées expérimentalement. Le frottement a également pour rôle de réduire la mobilité des grains et augmenter ainsi le taux de collision. La formation des structures dépend donc des propriétés des surfaces des grains : la valeur de Γ donnant lieu à l'instabilité pourra être diérente selon le ni des surfaces.

4.4 Visualisation de la dynamique de la couche

Une autre possibilité qu'orent les simulations de dynamique moléculaire est d'ob- server le mouvement des grains à l'intérieur d'une couche bidimensionnelle. Plutôt que d'avoir une vue à la verticale du récipient, comme c'était le cas dans les gures (4.1), (4.3) et (4.5), la simulation fournit une vue latérale du système.

La gure (4.6) montre clairement que la période d'oscillation de la couche est le double de la période d'oscillation du récipient : aux endroits où l'on trouvait des maxima en t = 0.84 T, on trouve des minima en t = 1.80 T . On observe également que les maxima résultent de la convergence de grains avec des vitesses de sens opposés.

Il est également possible d'illustrer plus clairement le rôle de la dissipation dans la formation des structures (Fig. 4.4). Un coecient de restitution trop faible rend impossible la formation de maxima et de minima (pour des conditions d'expérience données).

4.5 Conclusion

? avantages de la méthode :

4.5. CONCLUSION 37

Fig. 4.6  Évolution de la couche pendant deux périodes de vibration de la plaque. Les particules noires ont une vitesse dirigée vers la droite et les particules grises vers la gauche. Les paramètres de la simulation sont : f = 15 Hz, Γ = 3.6, H = 12 σ, σ = 1 mm [7].

Fig. 4.7  Inuence de la dissipation sur les motifs produits. Les quatre images sont ob- tenues avec les mêmes conditions, mais pour des paramètres de dissipation diérents [7].

4.5. CONCLUSION 38 sites, eet du gaz interstitiel, humidité de l'air. . . ) ;

 permet de travailler avec des valeurs de paramètres (accélération, fréquence) qui ne sont pas toujours accessibles avec les dispositifs expérimentaux ;  ne nécessite pas de réglage préalable ;

 permet de déterminer quels paramètres sont essentiels à la modélisation. ? inconvénients :

 le temps de calcul et la limitation du nombre de particules en jeu : le pas de temps doit être de l'ordre du temps entre deux collisions successives. Par conséquent, le nombre de particules est limité à quelques millions ;

 ne permet pas de rendre compte des structures qui apparaissent lors de chan- gements brusques des paramètres Γ ou f∗_.

En résumé : les simulations de dynamique moléculaire, mettant en jeu des particules avec frottement, permettent d'obtenir des résultats proches des observations expérimentales. L'inconvénient majeur est que cette méthode ne peut être appliquée à des systèmes plus réalistes conte- nant un plus grand nombre de particules.

BIBLIOGRAPHIE 39

Bibliographie

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[6] J. Bougie, Sung Joon Moon, J.B. Swift, et H.L. Swinney, Phys. Rev. E 66 (2002) 051301 1-8, Shocks in vertically oscillated granular layers.

[7] E. Clement , L. Labous, Phys. Rev. E 62 (2000) 8314-8323.

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[8] J. Bougie, J. Kreft, J.B. Swift, et H.L. Swinney, Onset of Patterns in an Ocillated Granular Layer : Continuum and Molecular Dynamics Simulations, soumis à Phys. Rev. E (2004).

Chapitre

5

Description "milieu continu"

Les nombreuses similitudes entre la couche granulaire soumise à des vibrations et les instabilités de Faraday et de Rayleigh-Bénard laissent à penser qu'une description de type "milieu continu" est possible. Dans un premier temps, nous allons expliciter la signication physique et la validité de l'hypothèse de milieu continu. Ensuite nous développerons les équations de Jenkins et Richman décri- vant le mouvement de sphères dures qui interagissent via des forces de contact. Les hypothèses mises en jeu et leur validité seront examinées.

Sommaire

5.1 Introduction . . . 40 5.2 Signication physique et validité . . . 41 5.2.1 Calcul du libre parcours moyen . . . 41 5.2.2 Signication physique . . . 45 5.3 Dérivation des équations . . . 45 5.3.1 Équations d'évolution . . . 46 5.3.2 Équations constitutives . . . 48 5.3.3 Résumé des équations . . . 49 5.3.4 Validité des hypothèses . . . 49 5.3.5 Problèmes . . . 51 5.4 Chocs dans les milieux granulaires . . . 51 5.4.1 Ondes de chocs dans les couches granulaires soumises à vibrations 52 5.4.2 Cône de Mach dans une uide granulaire peu profond . . . 53 5.5 Conclusion . . . 55

5.1 Introduction

Dans l'approche "milieu continu", le système va être décrit de manière globale (et non plus grain par grain comme en dynamique moléculaire) en terme de la densité, la vitesse et la température granulaire.

Grâce à cette description continue, il sera possible d'appliquer :  l'étude de stabilité,

5.2. SIGNIFICATION PHYSIQUE ET VALIDITÉ 41  les équations d'amplitude,

 la théorie des perturbations.

Les avantages de cette méthode sont principalement :

 pas de limitation du nombre de particules considérées (contrairement aux simula- tions de dynamique moléculaire);

 utilisation des méthodes numériques développées pour la résolution des équations de Navier-Stokes en mécanique des uides. En eet, la résolution de ces équations fait l'objet de nombreuses recherches depuis plusieurs décennies. On possède donc un certain savoir-faire dans le domaine.