Vibrations des membranes

Avec les vibrations des membranes, nous quittons les problèmes à une dimension pour venir étudier des configurations à deux dimensions. En fait, la vibration des membranes correspond à la généralisation de la configuration des vibrations de cordes. Tout comme pour une corde, il ne peut pas y avoir de vibrations sans tension mécanique de la membrane. Le cas le plus simple est celui des membranes rectangulaires que nous allons étudier en premier. Puis nous passerons au cas des membranes circulaires, configuration qui admet de nombreuses applications, notamment en acoustique : membranes des haut-parleurs circulaires, face avant des microphones, etc.

On considère un élément de surface infinitésimal dS = dxdy, sur lequel s’exerce une force de tension mécanique, notée Te, uniformément distribuée sur les 4 côtés, voir Figure 3.8. En fait, pour effectuer le raisonnement avant la mise en équation, il faut projeter par la pensée la Figure 3.8, par exemple dans le plan wOy. Ceci permet d’aboutir à une représentation en coupe que l’on suppose être analogue à celle obtenue pour une corde vibrante, voir Figure 3.1 dans la section correspondante. Dans cette

Figure 3.8 : Élément de membrane infinitésimal de surface dS = dxdy.

Figure 3.9 : Projection de l’élément de membrane sur le plan w0y.

représentation, on effectue les projections des forces appliquées le long de l’axe vertical sur lequel on peut noter le déplacement local de la membrane comme une fonction des

!

! !=! !=!+!"

!

d!

!"=!"!#

y w(x,y) w(x,y +dy)

y = y y = y + dy dy

T_e

T_e

β( y+dy )

O

β( y ) w(x,y)

!

deux variables spatiales x et y. L’écriture de la deuxième loi de Newton pour ce problème aboutit à la relation :

!dxdy!²w

!t² ="T_e

[

sin"(x)"sin"(x+dx)

]

^dy"Te

[

sin!(y)"sin!(y+dy)

]

^dx, (3.61) dans laquelle le paramètre ! représente la masse surfacique de la membrane.

L’étape suivante consiste tout comme nous l’avions évalué dans la section 3.1 sur les On obtient donc aisément l’équation du mouvement comme une équation d’onde à deux dimensions, dans le plan de la membrane (x, y).

À ce stade, on peut aussi introduire une méthode énergétique classique, à savoir l’utilisation de l’équation de Lagrange. Celle-ci, pour un système conservatif (sans perte), en régime libre (c’est-à-dire) sans force généralisée extérieure (ou force de Lagrange) s’écrit très simplement pour l’équation locale, à partir du champ de déplacement lui-même et de sa dérivée première, sous la forme locale :

d Par contre, pour calculer l’énergie potentielle locale, il faut évaluer le travail de la force de tension mécanique ayant permis d’augmenter la surface de référence : S= !dx dy , à sa nouvelle valeur après application de la force de tension, soit :

S'= 1+ !w développement à l’ordre 1 de la racine carrée, sous la forme :

1+ !w Il ne reste alors plus qu’à évaluer l’énergie potentielle locale correspondant au travail de la force de tension ayant permis de modifier cet élément de surface, en écrivant :

E_p=T_e!S"T_e 1 fonction de fonction autour des deux coordonnées x et y, sous la forme :

!E_p escompté sous la forme de l’équation du mouvement (3.63) :

!^! dimensions. Clairement, il s’agit d’une simple équation d’onde pouvant se mettre sous sa forme habituelle : !w= 1

c²

"²w

"t^{2 , avec} c= T_e

! . Cette dernière relation est complétement analogue à celle fournissant la vitesse de propagation des ondes dans une

corde, où seule la masse linéique µ de la corde a été remplacée ici par la masse surfacique ! de la membrane.

Pour résoudre l’équation d’onde à deux dimensions de l’équation (3.63) ou bien (3.68), il est fait appel à la méthode de séparation des variables, en notant dépendances spatiales et temporelle sous la forme habituelle : w(x,y,t)=X(x)Y(y)T(t). En injectant cette solution dans l’équation d’onde : !²w

!x² +!²w

!y² = 1 c²

!²w

!t² , on obtient : Y(y)T(t)d²X(x)

dx² +X(x)T(t)d²Y(y) dy² = 1

c²X(x)Y(y)d²T(t)

dt² , (3.69) soit en divisant tous les termes de cette équation par w(x,y,t)=X(x)Y(y)T(t) :

1 X(x)

d²X(x) dx² + 1

Y(y)

d²Y(y) dy² = 1

c² 1 T(t)

d²T(t)

dt² =cte=!k². (3.70) De fait, et une nouvelle fois ici, l’équation d’onde qui est une équation aux dérivées partielles, a été transformée par l’utilisation de la méthode de séparation des variables en un simple série d’équations différentielles les dérivées rondes ! étant notamment transformées en dérivée droite d.

L’étape suivante consiste à résoudre par morceaux l’équation différentielle obtenue, en reconnaissant les noyaux de certaines équations dont les solutions sont bien connues.

Commençons par la partie temporelle, c’est-à-dire justement les deux derniers termes de l’équation (3.70) :

1 c²

1 T(t)

d²T(t)

dt² =!k²"d²T(t)

dt² +k²c²T(t)=0. (3.71) Cette équation différentielle admet des solutions harmoniques à partir des fonctions trigonométriques, sous la forme : T(t)=Acos!t+Bsin!t, en ayant noté la relation de dispersion : !=kc. L’équation (3.70) est alors réécrite sous la forme suivante :

1 X(x)

d²X(x) dx² + 1

Y(y)

d²Y(y) dy² =!!²

c² , (3.72) dans laquelle il est possible d’afficher soit pour la fonction X(x), ou bien pour la fonction Y(y), le noyau d’une équation différentielle ordinaire, ici sous la forme :

1 X(x)

d²X(x)

dx² =!k²"d²X(x)

dx² +k²X(x)=0. (3.73) Cette équation admet des solutions triviales : X(x)=Ccoskx+Dsinkx, où k n’est rien d’autre que le nombre d’onde. Bien entendu, il aurait été possible de faire le choix d’écrire à la place de l’équation (3.73), la même relation mais écrite cette fois-ci sur la fonction Y(y). Au final, cela ne change rien pour la suite. Il faut en effet revenir à

l’équation différentielle de départ, c’est-à-dire l’équation (3.72), qui est simplement réécrite en tenant compte de ce qui vient d’être fait au-dessus :

1 Y(y)

d²Y(y)

dy² =k²!!²

c² "d²Y(y) dy² + !²

c² !k²

#

$

%%

&

'

((Y(y)=0. (3.74) Il s’agit d’une nouvelle équation différentielle, cette fois-ci pour la fonction Y(y), dont la solution s’exprime par :

Y(y)=Ecos !²

c² !k² y

"

#

$$

%

&

''+Fsin !²

c² !k² y

"

#

$$

%

&

''. (3.75) Lorsque le choix est effectué de traiter Y(y) avant X(x), alors les solutions sont inversées pour les deux fonctions, mais ce choix ne vient pas modifier ce qui suit, pour le calcul des fréquences de résonance de la membrane. Il est bien clair que la quantité

!²

c² !k², n’est ici pas nulle comme pourrait le faire croire la relation de dispersion classique : !=kc. Ici il n’en est rien, du fait que le nombre d’onde possède des composantes en x et en y. À la place, il faut dorénavant traiter les conditions aux limites.

Pour une membrane rectangulaire de dimensions a!b, il faut donc considérer les 4 côtés, cf. Figure 3.10, qui sont tous supposés être parfaitement encastrés.

Figure 3.10 : Membrane encastrée sur ses quatre côtés.

Les deux premières conditions aux limites pour cette configuration s’écrivent donc :

* !y, w(0,y,t)"0#X(0)=0#C=0, (3.76a)

* !x, w(x, 0,t)"0#Y(0)=0#E=0. (3.76b) Sachant qu’il est possible de rassembler les deux fonctions spatiales dans une déformée à deux dimensions !(x,y)=X(x)Y(y)!w(x,y,t)=!(x,y)T(t), on peut donc écrire :

y

x O

y =b

x =a

!(x,y)=Ksin

( )

kx ^{sin !}

2

c² !k² y

"

#

$$

$

%

&

''

', (3.77) avec : K=DF. Il reste alors à utiliser les deux dernières conditions aux limites :

* !y, !(a,y)=0"sinka=0"ka=n" , (3.78)

* !x, !(x,b)"0#sin "² c² $k² b

%

&

'' '

( )

**

*=0# "²

c² $k² b=m# . (3.79) Or en ayant noté : k=n!/a, on obtient finalement :

!²

c² !n²"²

a² b=m""!_mn=

( )

c" ⁿ² a² +m²

b² . (3.80) Dans ce résultat, les pulsations de résonance !_mn, sont indexées par les deux nombres entiers m et n correspondants aux conditions en terme de résonances le long des axes Ox et Oy. Pour le cas d’une membrane carrée (b = a), et pour la résonance à l’ordre 1, on obtient simplement : !₁₁= 2

(

c!/a

)

. Dans ce cas, la déformée modale pour le mode fondamental (1,1) s’écrit : !₁₁(x,y)=K₁₁sin

(

!x/a

)

^sin

(

^!y/a

)

. Il est possible aussi de décrire les modes supérieurs. Décrivons le cas du mode (1,2) ou (2,1), soit : !₁₂(x,y). On peut écrire pour ce cas, l’expression suivante de la déformée modale :

!₁₂(x,y)=Asin

(

!x/a

)

^{sin 2}

(

^!y/a

)

^{+Bsin 2}

(

^!x/a

)

^sin

(

^!y/a

)

. (3.81) Lorsque l’on obtient : !₁₂(x,y)=0, le déplacement transversal de la membrane est nul et dans ce cas, on parle de « lignes nodales ». L’expression de l’équation (3.81) est très générale pour le mode (1,2) considéré. On peut discuter plusieurs cas différents qui correspondent à des profils de « lignes nodales » particuliers, a priori observables.

• Pour A=0, !₁₂(x,y)=0!Bsin 2

(

!x/a

)

^sin

(

^!y/a

)

^=0.

Le cas pour lequel B=0, ne présente aucun intérêt, puisqu’il n’y a plus de champ de déplacement. Il reste à discuter : sin

(

!y/a

)

^{=0, et sin 2}

(

^!x/a

)

^{=0. La}

première condition indique que :y=0, ou bien y=a. Il ne s’agit que des conditions d’encastrement de la membrane sur les deux côtés, inférieur justement en y=0, ou bien supérieur en y=a. Cette condition sin

(

!y/a

)

⁼⁰ n’apporte donc rien. Par contre, la deuxième relation : sin 2!

(

x/a

)

⁼⁰, indique cette fois-ci que : x=0, ou bien x=a/ 2. Pour x=0, on se retrouve sur le côté gauche de la membrane qui y est bien encastrée, mais l’autre condition x=a/ 2, indique la présence d’une ligne nodale verticale le long de l’axe Oy, située au milieu de la membrane, justement en x=a/ 2.

• Pour B=0, !₁₂(x,y)=0!Asin

(

"x/a

)

^{sin 2}

(

^"y/a

)

^=0.

On observe des résultats tout à fait similaires pour ce cas, avec notamment une ligne nodale horizontale située à mi-hauteur de la membrane, en y=a/ 2. Les divers résultats pour les lignes nodales sont rassemblés sur la Figure 3.11.

Figure 3.11 : Lignes nodales pour une membrane carrée. De part et d’autre des lignes nodales les points de la membrane oscillent en opposition de phase.

• Pour A=B, !sin

(

!x/a

)

^{sin 2}

(

^!y/a

)

^{+sin 2}

(

^!x/a

)

^sin

(

^!y/a

)

^{=0, soit :}

sin

(

!x/a

)

^sin

(

^!y/a

)

!"^cos

(

^!x/a

)

^+cos

(

^!y/a

)

#$=0. (3.83) On retrouve des résultats liés à l’encastrement de la membrane le long des 4 côtés pour les deux premiers termes en sinus. Le terme entre crochets est nul pour sa part lorsque la somme des arguments des fonctions cosinus vaut ! , soit la condition :

cos

(

!x/a

)

^+cos

(

^!y/a

)

^=0!

(

^!x/a

)

⁺

(

^!y/a

)

^{=! !x+y=a}. (3.84) Il s’agit de l’équation de la deuxième bissectrice, voir ligne nodale correspondante sur la Figure 3.11, dans la cartouche correspondante (A=B).

• Pour A=!B, !sin

(

!x/a

)

^{sin 2}

(

^!y/a

)

^{"sin 2}

(

^!x/a

)

^sin

(

^!y/a

)

^{=0, soit :}

sin

(

!x/a

)

^sin

(

^!y/a

)

"#^cos

(

^!x/a

)

^!cos

(

^!y/a

)

$%=0. (3.85) Le terme entre crochets est nul ici lorsque la différence des arguments des fonctions cosinus vaut 0, soit la condition :

x y=a

x=a

y A = B

x y=a

x=a

y A = - B

x=a/2 x

y=a

x=a

y A = 0

x=a/2

x y=a

x=a

y B = 0

y=a/2

cos

(

!x/a

)

^!cos

(

^!y/a

)

^=0"

(

^!x/a

)

^!

(

^!y/a

)

^=0"y=x. (3.86) Il s’agit de l’équation de la première bissectrice, voir ligne nodale correspondante sur la Figure 3.11, dans la cartouche correspondante (A=!B).

D’autres cas sont discutés dans les exercices, par exemple pour le mode (1,3) ou bien (2,3) pour lesquels il peut apparaître une ligne nodale fermée, ou bien pour des harmoniques plus élevés, de type (1,n), avec n>3.

Discutons dorénavant le cas de la membrane circulaire. Dans ce cas, il faut repartir de l’équation d’onde écrite en coordonnées polaires, pour le déplacement transversal de la membrane w(r,!,t), où la position d’un élément de surface infinitésimal à la surface de la membrane est repérée par son rayon r et par son angle azimutal !: formulation dans l’équation d’onde suivante :

!²w différentielle régissant la dépendance temporelle, sous la forme :

d²T(t)

dt² +!²T(t)=0!T(t)=Acos!t+Bsin!t. (3.89) Pour le profil angulaire azimutal !(!), il faut faire ressortir le même type de noyau pour l’équation différentielle associée, en écrivant :

1

!(!)

d²!(!)

d!² ="n²#d²!(!)

d!² +n²!(!)=0# !(!)=Ccosn!+Dsinn!. (3.90) Il reste alors à partir de l’équation différentielle (3.88) de départ :

1

r²d²R(r)

dr² +rdR(r) dr + !²

c² r²!n²

"

#

$$

%

&

''R(r)=0. (3.92) Cette équation est alors transformée, à l’aide du changement de variable suivant :

!="

cr, si bien que l’on obtient finalement l’équation différentielle suivante :

!^2d

2R d!^{2 +}!^dR

d! ⁺

(

!²!n²

)

^R=0. (3.93) Il s’agit d’une équation différentielle dont les solutions sont les fonctions de Bessel d’argument ! ="

c r, et d’ordre n, s’écrivant finalement :

R(!)=E J_n

( )

! ^{+F Kn}

( )

^! , (3.94) avec : J_n

( )

! , fonction de Bessel de première espèce et d’ordre n;

K_n

( )

! , fonction de Bessel de deuxième espèce et d’ordre n.

En fait, la membrane circulaire est encastrée sur ses bords, et elle a sur le mode fondamental un déplacement maximum en son centre, en r=0. Ceci n’est physiquement pas compatible avec la fonction K_n

( )

! ^{, car lim}

!!0K_n

( )

! ^="#. Dès lors, la seule possibilité consiste à prendre la valeur de la constante F nulle, pour éviter la divergence (singularité) de cette solution au centre de la membrane (pour !=0), et il ne reste finalement dans la solution que le premier terme avec la fonction de Bessel de première espèce.

Le paramètre n lié à l’ordre des fonctions de Bessel, intervient au départ dans l’équation différentielle liée à la dépendance angulaire : d²!(!)

d!² +n²!(!)=0. La solution de cette équation est donc d’écrire : !_n(!)=Ccosn!+Dsinn!. L’ordre de la fonction de Bessel pilote donc la dépendance angulaire des solutions. Pour n=0, on obtient juste la constante C, qui est donc égale à : !!, "₀(!)=C. Dans ce cas, il n’y a donc aucune dépendance angulaire, et seule une dépendance radiale est donc observée par le biais de la fonction de Bessel d’ordre 0, J₀

( )

! . Cette fonction admet elle-même un ou plusieurs zéros, en fonction de son argument : ! ="

c r, cf. Tables des zéros des fonctions de Bessel en Annexe. En Basse fréquence, la pulsation !, est trop faible pour que l’argument ! puisse atteindre (même pour le rayon maximal r=R₀ de la membrane circulaire) le premier zéro de la fonction de Bessel, d’ordre 0. Dans ce cas, on observera le mode fondamental (0,0) avec tous les points de la membrane qui oscillent en phase. Par contre, si la pulsation de la vibration augmente, alors on pourra atteindre un ou plusieurs zéros de la fonction de Bessel de première espèce, et dans ce

cas, on pourra observer des lignes nodales circulaires et concentriques. Tout ceci est valide pour n=0. Lorsque n=1, alors on obtient : !₁(!)=Ccos!+Dsin!. Pour trouver les lignes nodales azimutales correspondantes, il suffit de chercher des cas limites (par exemple C=0 ou bien D=0) permettant d’annuler la fonction !₁(!). Ici pour n=1, on constate qu’il doit exister une seule ligne nodale, soit le long de l’axe horizontal Ox, ou bien le long de l’axe vertical Oy, mais pas en même temps (en fait il y a une symétrie de révolution complète qui explique qu’il est complétement arbitraire de considérer ces deux directions particulières). Ensuite, au fur et à mesure que l’on augmente l’ordre du mode azimutal n, on obtient donc autant de lignes modales, soit n au total. En combinant les zéros possibles, notés s, de la fonction de Bessel d’ordre n, on obtient donc les tracés classiques pour les lignes nodales d’une membrane circulaire, cf. Figure 3.12.

s/n n=0 n=1 n=2

s=0

s=1

s=2

Figure 3.11 : Résonances et lignes nodales pour une membrane circulaire. De part et d’autre des lignes nodales les points de la membrane oscillent en opposition de phase.

La Table 3.5 présente les valeurs des 40 premières fréquences de résonance pour une membrane circulaire, en notant : !_ns=

(

"_ns/R

)

^T/# , où R représente le rayon de la

membrane, ρ sa masse volumique, T la tension mécanique appliquée, et où !_ns est un coefficient numérique qui justement est noté sur la Table 3.5. Les valeurs de cette Table sont simplement les valeurs des différents zéros (notés par l’indice s) pour les fonctions de Bessel de différents ordres (notés par l’indice n).

s / n 0 1 2 3 4 5

1 2,404 3,832 5,135 6,379 7,586 8,780

2 5,520 7,016 8,417 9,760 11,064 12,339

3 8,654 10,173 11,620 13,017 14,373 15,700

4 11,792 13,323 14,796 16,224 17,616 18,982

5 14,931 16,470 17,960 19,410 20,827 22,220

6 18,071 19,616 21,117 22,583 24,018 25,431

7 21,212 22,760 24,270 25,749 27,200 28,628

8 24,353 25,903 27,421 28,909 30,371 31,813

Table 3.5 : Valeurs des coefficients !_ns pour le calcul des pulsations des modes propres des résonances pour une membrane circulaire.

On trouvera aussi dans l’ouvrage de Lord Rayleigh « Theory of sound », d’autres valeurs numériques calculées pour une petite dizaine de cas différents. Ces valeurs sont fournies ici dans la Table 3.6. Elles correspondent à des cas assez variés.

Configuration Expression de ! ^{Valeur de} !

Cercle plein 2, 404 ! ^4,261

Carré de côté a = R ! 2 4,443

Quart de cercle 5,135 ! / 2 ^4,551

Sixième de cercle 6, 379 ! / 6 ^4,616

Rectangle a = R = 3b/2 ! 13 / 6 ^4,624

Triangle équilatéral 2! tan 30° ^4,774

Demi-cercle 3,832 !/ 2 ^4,803

Rectangle a = R = 2b ! 5 / 2 ^4,967

Rectangle a = R = 3b ! 10 / 3 ^5,736

Table 3.6 : Valeurs des coefficients ! pour le calcul des pulsations de résonance du mode fondamental pour des membranes ayant des allures différentes.

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