Vers une solution

Face `a ces difficult´es th´eoriques (par ailleurs r´ecurrentes en statistiques spa- tiales), on peut avoir une approche pragmatique qui laisse de cˆot´e le formalisme rigoureux du chapitre 3 pour proposer une m´ethode op´erationnelle. La validit´e d’une telle approche peut ˆetre discut´ee, elle a le m´erite d’apporter une solution.

Mod`ele de disparit´e r´esiduelle

Consid´erons de nouveau la dichotomie en terme de d´erive m_p et terme r´esiduel stationnaire d’ordre 2, de covariance C_p. L a d´erive m_p est inconnue, mais nous disposons d’une estimation de la disparit´e ˆd calcul´ee par corr´elation. Notons bien que ˆd d´epend du couple st´er´eoscopique. On peut alors prendre ˆd comme estimation de m_p, le terme r´esiduel s’identifiant maintenant `a l’erreur de disparit´e. On aboutit formellement `a un mod`ele a priori, dont l’expression est :

πD(d)∝ |Cp|− 1 2 _exp  −1 2(d− ˆd)
_C−1 p (d− ˆd)  (6.3) La simulation de ce mod`ele se fait comme ´enonc´e au chapitre 3, en utilisant un des trois mod`eles de vraisemblance GMF-0, GMF-1 ou MIXT.

Structure spatiale

Dans le mod`ele de dichotomie propos´e, la covariance Cp est implicitement `a

peut utiliser l’algorithme de simulation par FFT sans avoir `a simuler “inutilement” des champs de grande taille.

Si l’on cherche mˆeme `a optimiser l’algorithme, on peut ´eventuellement choisir un mod`ele de Gibbs, dans lequel la matrice inverse C−1_p est fortement creuse (voir l’exemple de l’annexe C). Il faut alors se r´esoudre `a travailler sur une grille fixe et l’algorithme d’´echantillonnage d’importance propos´e au paragraphe 4.1.4, qui permet de scinder la simulation en deux ´etapes successives, ne peut plus ˆetre utilis´e.

L e mod`ele de dichotomie pr´esente cependant deux difficult´es majeures. La premi`ere est d’ordre statistique. On sait bien que si l’on estime tout d’abord le terme de d´erive par une proc´edure d’optimisation, puis le terme r´esiduel, `a l’aide du mˆeme jeu de donn´ees, les r´esultats sont biais´es, car l’on a tendance `

a sous-estimer la variabilit´e du r´esidu. La seconde critique est d’ordre pratique. Comment inf´erer la structure spatiale, i.e. la covariance C_p, du mod`ele a priori, puisque l’on ne peut plus utiliser la carte de disparit´e ˆd ? A ces deux questions, on peut r´epondre en reprenant l’approche propos´ee au paragraphe 3.3 et traiter la variance du mod`ele a priori comme une inconnue que l’on simule en mˆeme temps que la disparit´e. Certes, les param`etres de forme de la covariance (ainsi que le choix du mod`ele) restent toujours inaccessibles, mais des ´etudes exp´erimentales peuvent permettre de choisir des valeurs raisonnables.

6.2

Illustration

Nous reprenons l’exemple du couple st´er´eoscopique en zone montagneuse du chapitre pr´ec´edent (figure 5.25). La carte de disparit´e de la figure 5.26 est utili- s´ee comme moyenne du mod`ele a priori, les valeurs aux points non estim´es par la corr´elation ´etant obtenues par interpolation. La covariance C<sub>p</sub> est un mod`ele sph´erique de port´ee 12 pixels. La variance est fix´ee initialement `a 0.5, puis est estim´ee par Monte Carlo au cours de la p´eriode de “chauffe” (10 000 it´erations). La valeur limite obtenue est de l’ordre de 0.35, soit un ´ecart type proche de 0.6. Cette valeur correspond bien intuitivement `a la pr´ecision moyenne que l’on peut attendre de l’algorithme de corr´elation. Nous utilisons le mod`ele de vraisemblance MIXT.

L’algorithme d’´echantillonnage est l’algorithme MMH gaussien, avec un groupe- ment par blocs selon des bandes horizontales de largeur 8 pixels. Comme pr´ec´edem- ment, on utilise une sous-grille de simulation (facteur de r´eduction 2 dans chaque direction, soit des grilles de taille 128× 128 = 214), et la m´ethode d’´echantillon- nage d’importance d´ecrite au paragraphe 4.1.4. Un total de l = 2 000 simulations ont ´et´e calcul´ees, avec 50 it´erations markoviennes entre deux simulations.

Moyenne et ´ecart type calcul´es par Monte Carlo sont repr´esent´es `a la figure 6.1. La carte moyenne est bien sˆur assez proche de la carte de disparit´e obtenue par

corr´elation (cf. figure 5.26 pour comparaison), mais localement, des diff´erences im- portantes (sup´erieures `a 5 pixels en valeur absolue) apparaissent. La carte d’´ecart type, qui ici encore n’est qu’une indication de la variabilit´e de la disparit´e dans le cadre du mod`ele, exhibe une structure assez int´eressante. La variance d’estima- tion varie en effet fortement spatialement : les valeurs fortes (au centre et en bas) correspondent principalement aux versants sombres du relief observ´e sur le couple st´er´eoscopique, tandis que les zones de valeurs plus faibles (partie sup´erieure de la carte) reprennent le trac´e des routes en lacets visibles sur le couple.

Abs 0.0 0.2 0.3 0.5 0.6 0.7 0.9 1.0

Fig. 6.1 – Moyenne et ´ecart type obtenus avec le mod`ele de disparit´e r´esiduelle

6.2.1

Probabilit´e de d´epassement de seuil

Probabilit´e ponctuelle

Nous avons calcul´e la probabilit´e ponctuelle de d´epassement relative aux seuils 2 et −2 pixels. Ces cartes, repr´esent´ees `a la figure 6.2, sont tr`es diff´erentes de celles obtenues au paragraphe 5.3. Les zones critiques (pour lesquelles la probabi- lit´e d’erreur est significative) sont beaucoup plus localis´ees. On retrouve en outre fr´equemment des groupements de points align´es le long des lignes de l’image, ce qui correspond `a une erreur caract´eristique de l’algorithme de corr´elation : chaque ligne ´etant trait´ee ind´ependamment l’une de l’autre, et la contrainte d’ordre ne permettant que des solutions monotones, un appariement faux entraˆıne fr´equem- ment `a sa suite plusieurs erreurs.

On peut remarquer que les points pour lesquels la disparit´e est surestim´ee avec une forte probabilit´e (seuil −2) sont principalement situ´es en bordure de crˆetes. Nous avions signal´e au chapitre pr´ec´edent que sur la carte de disparit´e estim´ee par corr´elation, les crˆetes ont tendance `a “baver”. C’est donc cet artefact qui est

Abs 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 15.0

Fig. 6.2 – Probabilit´e (en %) ponctuelle de d´epassement des seuils 2 (gauche) et −2 (droite) pixels (en rouge : valeurs manquantes).

identifi´e sur les cartes de probabilit´e. En revanche, par comparaison aux cartes du paragraphe 5.3, l’´etendue de ces zones est plus restreinte. Ceci est bien entendu `a mettre en relation avec la structure spatiale du mod`ele a priori. Dans le mod`ele de disparit´e r´esiduelle, la variabilit´e et la corr´elation spatiale sont plus faibles que dans le mod`ele stationnaire. Enfin, il semble que certains points critiques corres- pondent `a des fortes discontinuit´es locales de la carte de disparit´e.

Probabilit´e sur un domaine

Les cartes de probabilit´e sur un domaine de d´epassement relatives aux seuils 3 et −3 pixels sont repr´esent´ees `a la figure 6.3. Leur structure est assez semblable `

a celles des cartes obtenues avec le mod`ele stationnaire (cf. figure 5.30), mais bien entendu les probabilit´es sont plus faibles. On retrouve notamment, et de mani`ere encore plus nette, l’existence de deux zones, la probabilit´e d’erreur en zone de fort relief ´etant plus forte qu’en absence de relief marqu´e. Ainsi, bien que le mod`ele a priori soit de variance constante et que les fortes variations du relief y soient d´ecrites par la moyenne, non constante, la loi a posteriori exhibe bien un comportement radicalement diff´erent selon le type de relief observ´e.