Variation du taux de détachement

Dans la suite, nous considérons le cas où le taux d’attachement est fixe et le taux de détachement varie entre zéro et l’infini. Nous démontrons que les points d’équilibre du système limite (III.82) sont les limites des points d’équilibre E_ε^∗ du système lent-rapide (III.79) lorsque ε tend vers zéro. Par ailleurs, nous illustrons la limite du point d’équilibre E_ε^∗ du système (III.79) lorsque ε tend vers l’infini. La Fig. III.43montre la variation de l’équilibre E_ε^∗, dans le cas λ₀ < λ₁, selon la valeur du paramètre ε et pour les mêmes valeurs des paramètres de la Fig. III.33où a = A = 2 et b = B/ε. La Fig. III.44 illustre le cas λ₁ < λ₀, lorsque ε tend vers zéro ou l’infini, avec les mêmes valeurs des paramètres de la Fig.III.38à droite.

(a) E1 H0 H∞ E^∗_ε E∗ E0 λ0 λ1 _S¯_in (b) H0 H∞ E1 E∗ ε E2 λ0 λ1 _S¯_in E0

Fig. III.43– Le cas λ0 < λ1 : pour ε assez petit, E^∗_ε converge vers E1. Pour ε assez grand, si λ0 < Sin< ¯Sin, alors Eε^∗converge vers E^∗(a) et si ¯Sin> ¯Sin, alors E^∗ε converge vers E2(b).

III.8 Conclusion

Si S_in > λ₀, alors l’équilibre E_ε^∗ tend vers l’équilibre d’extinction de v, E₁ = (λ₀, u^∗, 0) avec u^∗ = U (λ₀), lorsque ε tend vers zéro (voir Figs.III.43etIII.44(b)). Si λ₁< Sin< λ0, alors il y a une bifurcation nœud-col avec disparition de deux équilibres E_ε^∗et E_ε^∗∗(voir Fig.III.44(a)). Ainsi, pour un taux de détachement assez grand par rapport au taux d’attachement, le système lent-rapide (III.79) se comporte comme celui du modèle (III.82) où seules les bactéries planctoniques sont présentes.

Dans le cas λ₀ < λ1 et pour ε assez grand, si λ₀ < Sin < ¯Sin alors l’équilibre E_ε^∗ tend vers l’équilibre strictement positif ¯E = ( ¯S, ¯u, ¯v), avec ¯S est solution de l’équation D(S_in− S) = H(S), ¯

u = U ( ¯S) et ¯v = V ( ¯S), où la fonction H(·) est définie par son expression (III.64) dans le cas a > 0 et b = 0 (voir Fig.III.43(a)). Si S_in > ¯S_in, alors l’équilibre E_ε^∗ tend vers l’équilibre d’extinction de u,

E₂= (λ₁, 0, v^∗) avec v^∗ = V (λ₁) (voir Fig. III.43(b)).

Dans le cas λ₁< λ0 et pour ε assez grand, l’équilibre E_ε^∗ tend vers l’équilibre E₂ (voir Fig.III.44). Ainsi, pour un taux de détachement assez petit par rapport au taux d’attachement, le système (III.79) se comporte comme celui du modèle (III.63) où a > 0 et b = 0.

(a) H∞ H0 E2 E∗ ε E∗∗ ε E0 λ1 λ0 (b) H∞ H0 E2 E^∗_ε E1 λ1 λ0 E0

Fig. III.44–Le cas λ1< λ0 : pour ε assez grand, E^∗ε converge vers E2. Pour ε assez petit, Eε^∗∗ converge vers E0

(a) et E_ε^∗converge vers E1 (b).

8 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons étudié un modèle du chémostat où les espèces se présentent sous forme de bactéries isolées ou agrégées. Nous avons montré que notre modèle général contient plusieurs modèles qui ont été considérés dans littérature. En supposant que la dynamique de floculation et de défloculation est plus rapide que la croissance des espèces, nous avons démontré que le modèle d’ordre trois (III.1) peut être réduit au modèle de second ordre (III.6) dans lequel la fonction de croissance et le taux de prélèvement dépendent de la densité de l’espèce. L’étude de ce modèle réduit avec une seule espèce montre que le système peut présenter la bistabilité avec des taux de croissance monotones, tandis qu’il peut se produire dans le modèle classique du chémostat, qu’avec un taux de croissance non monotone.

Nous avons étudié également le modèle de floculation de deux bactéries libres avec des taux de croissance monotones, dans un premier temps, et avec un taux de croissance non monotone des bac-téries isolées, ensuite. L’étude mathématique de ce modèle avec une seule espèce prouve l’existence d’au plus deux équilibres strictement positifs avec soit convergence globale vers l’équilibre strictement positif ou le lessivage, soit la bistabilité avec deux bassins d’attraction, un vers l’équilibre strictement positif et l’autre vers le lessivage. Ensuite, nous avons étudié ce modèle en ajoutant une deuxième espèce en compétition sur la même resource avec un taux de croissance monotone. Nous avons démon-tré l’existence d’un unique équilibre strictement positif de coexistence qui peut être LES, tandis que dans le modèle classique du chémostat avec des taux de croissance non monotones, une seule espèce peut survivre à la compétition [9]. Nous avons étudié aussi les bifurcations suivants la concentration à l’entrée du chémostat et le taux de croissance maximal de la deuxième espèce. Les simulations nu-mériques illustrent la bistabilité avec convergence soit vers un cycle limite par des bifurcations de Hopf super-critiques soit vers l’exclusion de la deuxième espèce. Dans certains cas et selon le taux de croissance maximal de la deuxième espèce, nous pouvons avoir la coexistence pour toute condition initiale strictement positive dans laquelle, les solutions du système convergent soit vers un cycle limite soit vers l’équilibre de coexistence.

Finalement, nous avons analysé le comportement qualitatif du modèle original d’ordre trois (III.4) sans supposer que la dynamique d’attachement et de détachement est plus rapide que la croissance des biomasses planctoniques et attachées. Nous avons étudié également ce modèle dans les cas limites où le taux d’attachement et/ou de détachement est nul. Nous avons démontré que certains points d’équilibre strictement positifs favorisent la biomasse libre et/ou attachée. Pour des taux d’attachement et de détachement assez grands, nous avons retrouvé par un calcul direct le résultat de la section 3 où le modèle lent-rapide est approché par le modèle densité-dépendant obtenu par la théorie de Tikhonov. Pour des taux de floculation et de défloculation assez petit, le modèle se comporte comme celui du modèle classique du chémostat dans lequel les bactéries planctoniques et agrégées sont en compétition sur un seul nutriment. Pour un taux d’attachement assez grand et un taux de détachement fixe, le modèle est approché par le modèle classique où seules les bactéries attachées sont présentes. Cependant, pour un taux d’attachement assez petit, le modèle se comporte comme celui du modèle de floculation avec un terme d’attachement nul. En outre, pour un taux de détachement assez grand et un taux d’attachement fixe, le modèle est approché par le modèle classique où seules les bactéries libres sont présentes. Cependant, pour un taux de détachement assez petit, le modèle se comporte comme celui du modèle de floculation avec un terme de détachement nul.

Nous concluons que les équilibres strictement positifs du modèle lent-rapide converge vers les équi-libres des systèmes limites correspondants, pour des taux d’attachement et/ou de détachement assez petit ou assez grand. Les simulations numériques illustrent les résultats mathématiques démontrés.

Chapitre IV