en fonction de ` et λ
Les coefficients D1, H11, H22, H23sont calcul´es pour diff´erentes valeurs de ` et leurs
valeurs sont multipli´ees par λ pour obtenir les r´esultats ´equivalents `a la figure 1.6. Les r´esultats sont repr´esent´ees sur la figure 1.11. Sur cette figure, nous avons ´egale- ment ajout´e les coefficients ´equivalents de l’´energie dipolaire calcul´es suivant (1.64). On voit que les coefficients du d´eveloppement de Taylor de l’´energie tendent vers ceux de l’´energie dipolaire en champ lointain comme sur la figure 1.6. En se r´ef´erant aux sens physiques des coefficients pr´ecis´es dans la section4.3, les interpr´etations suivantes peuvent ˆetre faites :
— Sur la figure 1.11a, D1 repr´esente la force d’attraction entre aimants. Sa d´ecrois-
sance d´emontre l’affaiblissement de la force d’attraction avec ` ind´ependamment du rapport d’aspect λ.
— Le coefficient H11 est la d´eriv´ee de la force d’attraction par rapport `a `. Sur la
figure 1.11b, la valeur de H11 chute en ` = 1 alors qu’un bon accord a ´et´e trouv´e
entre l’approximation quadratique et le calcul direct de l’´energie en cette valeur (cf. figure 1.10). Cette chute est li´ee `a la discontinuit´e du milieu en ` = 1. En r > 1, −H11est d´ecroissante en fonction de `. Cela signifie que la d´ecroissance de
la force mise en ´evidence par la variation de D1 est de moins en moins importante
lorsque ` augmente. Sa valeur tend vers 0 `a une grande valeur de ` car l’interaction entre c1 et c2 devient de plus en plus faible lorsque les deux cylindres s’´eloignent.
(a) λ 0 2 4 6 8 10 D1 (2) 0 0.02 0.04 0.06 0.08 (b) λ 0 2 4 6 8 10 H1 1 (2) -0.15 -0.1 -0.05 0 (c) λ 0 2 4 6 8 10 H2 2 (2) 0 0.02 0.04 0.06 0.08 (d) λ 0 2 4 6 8 10 H2 3 (2) 0 0.02 0.04 0.06 0.08
Figure 1.12 – Repr´esentation des coefficients de l’approximation quadratique pour ` = 2 en fonction de λ : (a) D1(2) en fonction de λ, (b) H11(2) en fonction de λ , (c) H22(2) en fonction de λ et (d) H23(2) en fonction de λ.
donne la convexit´e de l’´energie en (`, 0, 0) o`u l’´energie admet un minimum local par rapport `a α. Il repr´esente ´egalement la variation du moment m´ecanique exerc´e par c2 sur c1 en fonction de α. Sur la figure 1.11c, elle devient de plus en plus
faible lorsque ` augmente comme pour H11.
— Sur la figure 1.11d, H23 est la d´eriv´ee crois´ee de l’´energie par rapport `a α et β.
Ce coefficient repr´esente la variation du moment m´ecanique exerc´e par c2 sur c1
en fonction de β qui d´ecroˆıt lorsque les deux aimants s’´eloignent.
Pour observer la variation de ces coefficients en fonction de λ, nous avons calcul´e les coefficients D1, H11, H22, H23pour une valeur fixe de la distance entre aimants ` et
diff´erentes valeurs du rapport d’aspect. Les r´esultats pour ` = 2 sont repr´esent´es sur la figure 1.12. Sur la figure 1.12a, la valeur de D1(2) croˆıt jusqu’au rapport d’aspect
λ = 0.2 puis `a partir de cette valeur de λ, elle commence `a diminuer. Le coefficient D1(2) en fonction de λ admet un maximum en λ = 0.2. La force d’attraction entre
deux aimants cylindriques est donc maximale pour des cylindres de rapport d’aspect λ = 0.2 dans le cas o`u les aimants sont distanc´es de ` = 2. Le coefficient H11(2) de
la figure 1.12b correspond `a la variation de cette force d’interaction en fonction de la distance entre deux aimants en ` = 2. Nous pouvons observer que la valeur de H11(2)
est minimale en λ = 0.2. Cela signifie qu’en λ = 0.2 o`u la force d’attraction entre deux aimants cylindriques est maximale, la variation de la force est plus importante que pour d’autres valeurs de λ. Pour les valeurs sup´erieures `a λ = 0.2, la valeur de D1(2)
diminue et la valeur de H11(2) s’approche de 0. Nous pouvons donc conclure que plus
le rapport d’aspect λ est grand, plus la force d’attraction sans dimension est faible. `
(a) λ 0 2 4 6 8 10 D1 (15) ×10-4 0 0.5 1 1.5 2 (b) λ 0 2 4 6 8 10 H1 1 (15) ×10-5 -4 -3 -2 -1 0 (c) λ 0 2 4 6 8 10 H2 2 (15) ×10-3 0 0.5 1 1.5 (d) λ 0 2 4 6 8 10 H2 3 (15) ×10-3 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Figure 1.13 – Repr´esentation des coefficients de l’approximation quadratique pour ` = 15 en fonction de λ : (a) D1(15) en fonction de λ, (b) H11(15) en fonction de λ, (c) H22(15) en fonction de λ et (d) H23(15) en fonction de λ.
fonction de λ. Ce qui veut dire que la force d’attraction est plus forte pour des cylindres ´elanc´es que des cylindres aplatis. Le maximum de D1(2) en λ = 0.2 est sp´ecifique pour
` = 2. Pour d’autres distances entre aimants `, cette valeur de λ est diff´erente. Lorsque ` diminue le maximum de D1(`) tend vers λ = 0. La mˆeme tendance est pr´esente pour
le minimum de H11(`) en fonction de λ qui tend vers λ = 0. La d´ecroissance de D1(`)
et la croissance de H11(`) sont observables quelque soit la valeur de `. Mais D1(`) croˆıt
et H11(`) d´ecroˆıt plus rapidement lorsque ` augmente. Les coefficients pour ` = 15 sont
repr´esent´es en fonction du rapport d’aspect λ sur la figure 1.13 o`u nous pouvons voir les points expliqu´es pr´ec´edemment.
La variation des coefficients H22(2) et H23(2) en fonction de λ est repr´esent´ee sur les
figures1.12c et1.12d. D’apr`es ces r´esultats, les valeurs de H22(2) et H23(2) diminuent
lorsque λ augmente. Cela signifie que la d´eriv´ee du moment exerc´e par c2 sur c1 par
rapport `a α et `a β est plus importante lorsque la valeur de λ est petite. Donc le moment exerc´e par c2 sur c1 fluctue plus en fonction de α et β pour des cylindres ´elanc´es que
pour des cylindres aplatis. La mˆeme tendance est observable pour d’autres valeurs de ` (cf. figure 1.13) mais la d´ecroissance de H22(2) et H23(2) est de plus en plus rapide
lorsque ` augmente `a cause de l’interaction magn´etique entre aimants devenant de plus en plus faible.
Parmi les coefficients de l’approximation quadratique de l’´energie d’interaction entre deux aimants cylindriques (1.67), nous avons compar´e le coefficient D1 `a la force d’at-
Figure 1.14 – Dispositif exp´erimental de la mesure de la force d’attraction radiale entre les aimants cylindriques. Les phases bleue et rouge des aimants correspondent respectivement au pˆole sud et au pˆole nord.