Variantes propos´ees

Dans le cadre du probl`eme que nous traitons, nous devons apporter quelques modifications `a l’algorithme de programmation dynamique bidirectionnel implant´e par Salani d´ecrit ci- dessus (cf. section 6.1.4). On doit notamment g´erer une ressource suppl´ementaire li´ee aux

indiquant la dur´ee du label dans le pire cas (quand on ne consid`ere que les clients obligatoires). De plus, dans notre probl`eme, comme les temps de service et de parcours sont stochastiques, on utilisera leur valeur modale pour la ressource t. Enfin, ´etant donn´e que nos temps de parcours sont diff´erents de nos distances, on ajoute une ressource de distance d dans nos labels. Comme nos clients obligatoires sont les seuls `a avoir des fenˆetres de temps serr´ees, la distance est n´ecessaire au niveau des crit`eres de dominance. En effet, sans ce crit`ere de distance, on aurait du mal `a ´eliminer des chemins domin´es au niveau des clients obligatoires. On associe ainsi `a chaque chemin p un nouveau label (S, t, ¯t, r, d, u, i) o`u S est le vecteur de visite des clients (d´efini comme pr´ec´edemment), t le temps consomm´e sur le chemin p (en utilisant les valeurs modales des temps de service et de parcours), ¯t le temps consomm´e par les clients obligatoires sur le chemin p (en utilisant les temps de service et de parcours maximaux), r le profit associ´e `a la visite des clients, d la distance parcourue, u le nombre de clients inaccessibles et i d´esigne le dernier client visit´e par le chemin. Pour ces labels, nous d´efinissons des r`egles d’extension, de dominance ainsi que de jonction ci-apr`es. Puis, nous pr´esentons la m´ethodologie.

R`egles d’extension

Etendre un label revient `a ajouter un client au chemin qui lui est associ´e. L’extension du label (S, t, ¯t, r, d, u, i) au client j g´en`ere le label (S′_{, t}′_{, ¯t}′_{, r}′_{, d}′_{, u}′_{, j). En notant D}

ij la distance de i `a j et en posant e = ej si on est en forward et e = T − lj− ˆσj si on est en backward, on a :

                     S′ _{= S et S}′_{[j] = 1} t′ _{= max(e, t + ˆσ} i+ ˆτij) r′ _{= r + p} j d′ _{= d + D} ij u′ _{= u + 1 + |U}′ j| o`u Uj′ = {k ∈ N |S[k] = 0 et t′+ σj + τjk > lk} en forward et U′ j = {k ∈ N |S[k] = 0 et t′+ σj + τjk > T − ek− σk} en backward De plus, suivant le caract`ere obligatoire (ou optionnel) du client j, en notant m le dernier client obligatoire du label avant extension, on posera :

¯ t′ ₌ ( ¯ t si j est optionnel ¯ t + ¯σm+ ¯τmj sinon

Ces r`egles d’extension sont similaires `a celles pr´esent´ees section 6.1.4. On modifie la r`egle d’extension pour la ressource temporelle t en prenant en compte les valeurs modales des

temps de service et de parcours. Aussi, on ajoute deux r`egles associ´ees aux deux nouvelles ressources : la distance et les temps consomm´es par les clients obligatoires. La distance associ´ee au nouveau label correspond `a la distance de l’ancien label `a laquelle on ajoute la distance pour aller de i `a j. Le temps consomm´e par les clients obligatoires associ´e au nouveau label d´epend de la nature du client j. Si le client j est optionnel, le temps consomm´e par les clients obligatoires reste inchang´e dans le nouveau label. Si, au contraire, le client j est obligatoire, le temps consomm´e par les clients obligatoires est incr´ement´e du temps de service maximal au dernier client obligatoire m de l’ancien label et du temps de parcours maximal de m `a j.

En posant l = lj en forward et l = T − ej− ˆσj en backward, l’extension sera r´ealisable si les conditions suivantes sont v´erifi´ees :

           S[j] = 0 t′ _6l

t′ _{6T /2 si c’est un label backward} t 6 T /2 si c’est un label forward

Si le client j est un client obligatoire, les deux conditions suivantes doivent ´egalement ˆetre v´erifi´ees : ( ¯ t′ _{6T /2} ¯ t′ _6l

Ici, on s’assure de ne pas visiter deux fois le mˆeme client, de respecter la fenˆetre de temps au client j. On s’assure ´egalement du respect de la contrainte de dur´ee pour un label backward tandis qu’on autorise un label forward `a d´eborder d’un client sur cette mˆeme contrainte. De plus, si le client j est obligatoire, on doit s’assurer que le chemin ne contenant que les clients obligatoires est r´ealisable dans le pire des cas (avec les estim´es maximaux). On doit donc s’assurer du respect de la borne sur la longueur d’un chemin et de la fenˆetre de temps au client j avec les estim´es pessimistes.

R`egles de dominance

Pour limiter le nombre de labels consid´er´es `a chaque ´etape de la programmation dyna- mique, on utilise des r`egles de dominance. Le label (S1, t1, ¯t1, r1, d1, u1, i) domine le label (S2, t2, ¯t2, r2, d2, u2, i) si :

                        S1 S2 t1 6t2 ¯ t1 6 ¯t2 r1 >r2 d1 6d2 u1 6u2

une de ces in´egalit´es est stricte

On retrouve ici les mˆemes r`egles de dominance que dans la section 6.1.4. On ajoute juste deux r`egles de dominance au niveau de la nouvelle ressource de distance et au niveau de la ressource de temps consomm´e par les clients obligatoires. Les labels domin´es ne seront pas conserv´es dans la programmation dynamique.

R`egles de jonction

La jonction d’un label forward (Sf w_{, t}f w_{, ¯t}f w_{, r}f w_{, d}f w_{, u}f w_{, i) et d’un label backward} (Sbw_{, t}bw_{, ¯t}bw_{, r}bw_{, d}bw_{, u}bw_{, i) n’est possible que si les conditions suivantes sont v´erifi´ees :}

    

Sf w_{[i] + S}bw_{[i] 6 1 ∀i ∈ N} tf w_{+ ˆσ}

i+ ˆτij + tbw6T ¯

tf w_{+ ¯σ}

mf w + ¯τ_mf w_mbw + ¯tbw6T

o`u mf w _{et m}bw _{repr´esentent respectivement le dernier client obligatoire du label forward et} du label backward.

Ci-dessus, nous avons pr´esent´e notre adaptation de l’algorithme bidirectionnel born´e im- plant´e par Salani dans le cadre de notre probl`eme. On notera cet algorithme (BD, DA, V V ) pour indiquer qu’il s’agit de l’algorithme bidirectionnel (BD), avec d´ebordement autoris´e d’un label forward sur la borne (DA) dans lequel S d´esigne le vecteur de visite (V V ). Nous avons ´egalement propos´e 3 variantes de cet algorithme. Dans la premi`ere variante (BD, DI, V V ), on interdit le d´ebordement d’un label forward sur la contrainte de dur´ee. Ainsi, dans cette variante (BD, DI, V V ), quel que soit le label (S, t, ¯t, r, d, u, i), forward ou backward, on a t 6 T /2. Dans la deuxi`eme variante (BD, DI, N V ), on interdit ´egalement ce d´ebordement d’un label forward et on modifie les labels en ajoutant une ressource s indiquant le nombre de clients visit´es. On modifie ensuite les r`egles de dominance en rempla¸cant la r`egle S1 6S2 par la r`egle s1 6s2. Cela ne remet pas en question l’´el´ementarit´e des chemins car on stocke tout de mˆeme dans chaque label le chemin associ´e. Par contre, cela modifie les r`egles de do- minance car on pourra comparer deux labels ne visitant pas du tout les mˆemes clients. Ainsi, on augmente fortement le nombre de labels domin´es mais on perd ´egalement l’optimalit´e de

la solution. Dans la derni`ere variante (U D, DI, N V ), on interdit le d´ebordement d’un label forward, on utilise le label modifi´e avec la ressource s indiquant le nombre de clients visit´es et on proc`ede `a l’extension dans une seule direction (algorithme de programmation dynamique classique, not´e U D).

Parmi ces diff´erentes variantes, on en distingue de deux types : les variantes exactes (BD, DA, V V ) et (BD, DI, V V ) et les variantes approch´ees (BD, DI, N V ) et (U D, DI, N V ). Au vu des r´esultats obtenus avec les variantes approch´ees, nous avons choisi de proc´eder `a une postop- timisation de type 2-Opt (´echange d’arcs intra-route). Cette m´ethode permet d’am´eliorer la qualit´e des solutions obtenues du point de vue de la distance parcourue et donc des temps de parcours. Les performances de ces diff´erentes variantes seront compar´ees dans la section r´esultats de ce chapitre.