Soit x i une variable 0-1 ∀ i appartenant à un ensemble fini I et soit une variable 1≤y≤1 alors

Si x_i =0 ∀i∈ I Alors y=0 est exactement exprimé par l’inégalité

y≤

∑

i∈I

x_i

Les contraintes linéaires de LP4HM sont basées sur ce théorème.

3.3.1.2 La relation entre le problème d’appariement et le problème de couplage de poids maximal

En optimisation combinatoire, un des problèmes connus [Schrijver, 2003] est le problème de couplage (ou appariement) de poids maximal (Maximum-weighted graph matching pro-blem). Pour un graphe G = (V, E), [Schrijver, 2003] définit ce problème comme suit : "cher-cher un couplage (= un ensemble disjoint d’arcs) M dans G de poids w(M)le plus grand possible" ce qui est équivalent formellement à :

max{w(M)|M matching dans G}

La programmation linéaire est parmi les techniques qui ont été employées pour résoudre ce problème [Schrijver, 2003]. Les graphes peuvent être bipartis ou non-bipartis. Un graphe est

U et U⁰, tel que chaque arête de E ait une extrémité dans U et l’autre extrémité dans U⁰, si cette condition n’est pas vérifiée alors le graphe est dit non-biparti.

Dans un graphe biparti, le polytope de couplage (c-à-d l’espace géométrique des solu-tions possibles) est défini par les contraintes suivantes :

x(e) ≥0 pour e∈ E

∑

v∈e

x(e) ≤1 pour v∈ V

Ces contraintes expriment que pour chaque noeud v ∈ V, il faut qu’il y ait au plus un seul arc e ∈ E, parmi les arcs qui touchent v, qui s’affecte au couplage M. La solution du problème de couplage de poids maximal dans un graphe biparti peut être trouvée en temps polynomial [Schrijver, 2003]. Dans la Figure III.14, nous illustrons un exemple de graphe biparti G et la solution du problème de couplage de poids maximal dans ce graphe.

Figure III.14 — Un exemple de graphe biparti G et la solution du problème de couplage

de poids maximal dans G

Dans un graphe non-biparti, [Edmonds, 1965] a proposé d’enlever les cycles impairs dans le polytope des solutions possibles avec la contrainte suivante :

∑

e∈U

x(e) ≤ b1/2|U|c pour chaque cycle de taille impair U ∈V

La résolution du problème de couplage de poids maximal dans un graphe non-biparti est également possible en temps polynomial [Schrijver, 2003].

Après cette introduction au problème de couplage de poids maximal dans un graphe biparti et non-biparti, examinons à présent la relation entre le problème d’appariement de schémas et ce dernier.

Nous avons constaté que le problème d’appariement par paire peut se réduire au pro-blème de couplage de poids maximal dans un graphe biparti. Nous illustrons dans la Fi-gure III.15 cette réduction. Supposons dans un premier temps que nous avons deux graphes G_A= (V_A, E_A)et G_B = (V_B, E_B), chacun a une structure entre ces noeuds. Dans un deuxième temps, nous avons calculé les similarités entre chaque paire d’éléments de G_A et G_B par exemple sim(a, b) =0.4. Dans un troisième temps, supposons que nous enlevons les arcs de structure de chaque graphe et que nous cherchons des correspondances simples (où chaque

élément d’un graphe doit correspondre à au plus un autre élément de l’autre graphe), ceci correspond exactement à la résolution du problème de couplage de poids maximal dans un graphe biparti G où V = V_A∪V_B (les noeuds de A et de B qui forment une partition) et E = {e = (v_A, v_B) et w(e) = sim(v_A, v_B)} (les arcs entres des éléments de A et des éléments de B dont le poids correspond à la similarité entre les éléments). Cette réduction entre le problème d’appariement par paire et un problème d’optimisation combinatoire po-lynomial, motive notre proposition d’une modélisation équivalente à ce problème. Nous proposons également d’étendre cette modélisation par des contraintes relatives à la struc-ture dans les graphes initiaux et des contraintes relatives au problème d’appariement entre schémas.

Figure III.15 — La relation entre le problème d’appariement par paire et le problème de

couplage de poids maximal dans un graphe biparti

Nous avons aussi constaté que le problème d’appariement holistique peut se réduire au problème de couplage de poids maximal dans un graphe non-biparti. Nous illustrons dans la Figure III.16 l’explication de cette réduction. Dans un premier temps, supposons que nous avons trois graphes G_A = (V_A, E_A), G_B = (V_B, E_B)et G_C = (V_C, E_C), chacun de ces graphes a sa propre structure. Dans un deuxième temps, nous calculons les similarités entre les éléments pour toutes les paires de noeuds de chaque paire de graphes(G_A, G_B),(G_A, G_C)

et(G_B, G_C). Si nous enlevons les structures de chaque graphe, nous obtenons un nouveau graphe non-biparti G = (V, E)tel que V = V_A∪VB∪V_C et E = {e = (v_i, v_i⁰) tel que i 6=

i⁰ et i, i⁰ ∈ {A, B, C} et w(e) = sim(v_i, v⁰_i)}. La résolution du problème d’appariement ho-listique, avec des correspondances simples, entre les graphes G_A, G_Bet G_Csans structure se réduit à une relaxation de la résolution du problème de couplage de poids maximal dans le graphe non-biparti G. Il s’agit bien d’une relaxation puisque dans ce dernier, nous souhai-tons conserver les correspondances qui forment des cycles. Ceci nous amène à relâcher la contrainte d’Edmonds. LP4HM appliqué sur N graphes en même temps est une adaptation du problème de couplage de poids maximal dans un graphe non-biparti, étendu par des contraintes sur les structures et sur les spécificités du problème d’appariement.

Si nous résumons, le modèle LP4HM part du principe de l’adaptation et de l’extension d’un problème connu en optimisation combinatoire pour résoudre d’une façon générique

Figure III.16 — La relation entre le problème d’appariement holistique et le problème de

couplage de poids maximal dans un graphe non-biparti

d’appariement.

Dans les sections suivantes, nous détaillons le programme linéaire LP4HM.

3.3.2 Variables de décision et fonction objectif 3.3.2.1 Variables de décision

LP4HM possède un seul type de variables de décision. Ces variables expriment la pos-sibilité ou pas d’avoir une correspondance entre deux noeuds appartenant à une paire de graphes parmi les N(N−1)/2 paires de graphes.

Pour chaque paire de graphe G_i et G_jtel que i ∈ [1, N−1]et j∈ [i+1, N], nous notons x_ik,jl une variable de décision binaire qui est égale à 1 s’il y a une correspondance entre le noeud v_ik du graphe G_iet le noeud v_jl du graphe G_jet 0 sinon.

Exemple 4. Prenons le noeud v₁₁ du graphe G₁ et les noeuds du graphe G₂, il existe 8 variables