Variétés complexes

La notion de variété complexe se dénit en suivant une démarche similaire au cas précédent.

Dans la suite, on supposera qu'une variété est séparée et possède une base dénombrable d'ensembles ouverts. (M est séparée si ses deux points quelconques possèdent deux voisinages disjoints. Une familleBd'ouverts est une base deM, si tout ouvert deM peut être représenté comme une réunion d'ensembles deB).

2 Exemples, exercices et problèmes fondamen-taux

Exercice 2.1 Soit M une variété diérentiable de dimension n. Soit A = (U_i, ϕ_i) un atlas de M, telle que : O ⊂ S

iU_i. On suppose que pour tout i, l'ensemble ϕ_i(OT

U_i) soit un ouvert dans Rⁿ.

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a) Montrer que l'ensemble O est un ouvert dans M. b) Réciproque ?

c) En déduire que pour toute carte(U, ϕ)de la variétéM, un sous-ensemble V ⊂U est ouvert dans M si et seulement si ϕ(V) l'est dans Rⁿ.

Exercice 2.2 Soient M un espace topologique, U_i un ensemble ouvert dans M, ϕ_i : U_i → ϕ_i(U_i), un homéomorphisme et A = (U_i, ϕ_i) un atlas de M. Montrer que la structure diérentiable dénie par l'atlasA est compatible avec la topologie de l'espaceM.

Exemple 2.1 (Espace discret dénombrable). Un tel espace est une variété de dimension 0. En eet, si (p_i) est la suite de points de cet espace, les cartes sont les couples ((p_i), ϕ_i) où ϕ_i est l'unique application de (p_i) sur R⁰ = {0}. Les cartes de cette variété sont disjoints et donc celle-ci est de classeC^r. Exemple 2.2 (EspacesRⁿ etCⁿ). Ces espaces sont des variétés de dimension n. En eet, pour Rⁿ une carte est constituée du couple(Rⁿ, id)où id:Rⁿ −→

Rⁿ est l'application identique. Un atlas est l'ensemble constitué de cette unique carte. Même chose pour l'espaceCⁿ.

Exemple 2.3 Tout ouvert U de Rⁿ est une variété. Les couples (U, ϕ) où ϕ est un diéomorphisme de U sur un ouvert deRⁿ, sont des cartes. De même, tout domaine de Cⁿ est une variété complexe de dimension n.

Exercice 2.3 Montrer que l'ensemble des matrices M_n(R) d'ordre n, a une structure de variété diérentiable. Quelle est sa dimension ?

Exercice 2.4 Considérons sur R une carte (R, ϕ) où ϕ : R −→ R est une application dénie par

ϕ(t) = t³, t∈R.

Les cartes (R, id) et (R, ϕ) sont ils compatibles ? Justier la réponse.

Exercice 2.5 (Cercle S¹). Soient U₁, V₁, U₂, V₂ des sous ensembles du cercle S¹ composés de points p = (x, y) pour lesquels y > 0, y < 0, x > 0, y < 0, respectivement. Soient ϕ₁, ψ₁, ϕ₂, ψ₂ des applications de ces ensembles dans R dénies par

(x, y)7−→x,(x, y)7−→x, (x, y)7−→y, (x, y)7−→y, respectivement.

a) Montrer que les couples (U_i, ϕ_i), (V_i, ψ_i), i = 1,2, sont des cartes sur S¹. En déduire que S¹ est une variété topologique.

b) Quelles sont les formules qui déterminent les changements de cartes.

c) Montrer que les cartes mentionnées dans a) sont compatibles.

d) En déduire que S¹ est une variété diérentiable.

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Exercice 2.6 (Sphère S²). Montrer que la sphère S² dans R³ S² ={(x₁, x₂, x₃)∈R³ :x²₁ +x²₂+x²₃ = 1},

est une variété diérentiable dont l'atlas est composé de deux cartes (U₁, ϕ₁), (U₂, ϕ₂) en projection stéréographique.

Exercice 2.7 (SphèreSⁿ). Soit Sⁿ la sphère dénie dansRⁿ⁺¹ par l'équation x²₁+x²₂+· · ·+x²_n+1 = 1.

Montrer qu'on peut munirSⁿ d'une structure de variété diérentiable.

Exercice 2.8 Montrer qu'une variété compacte ne possède pas de carte glo-bale, donc pas d'atlas réduit à une carte. Citer un exemple concret de telle variété.

Exercice 2.9 Montrer que le cône

x²+y² =z², de R³ n'est pas une variété.

Exercice 2.10 Montrer que le cône privé de 0 est une variété de dimension 2.

Exercice 2.11 Montrer qu'une courbe du plan possèdant un point double n'est pas une variété de dimension 1. Citer un exemple concret de telle courbe.

Exercice 2.12 Montrer que le graphe de la fonctionx7−→ |x| est une variété de dimension 1.

Exercice 2.13 On considère dans R² les droites d₁ et d₂ d'équations d₁ :y=x,

d₂ :y=−x,

et soitD=d₁∪d₂ la réunion de d₁ etd₂. Montrer queDn'est pas une variété.

Exercice 2.14 (Espace projectif réel). Soit Pⁿ(R) l'espace projectif réel. On désigne par

Ui ={[X0, . . . , Xn]∈Pⁿ(R) :Xi 6= 0}, 0≤i≤n l'ensemble des droites pour lesquelles X_i 6= 0. Soit ϕ_i l'application

ϕi([X0, . . . , Xn]) = X₀

X_i, ...,Xc_i

X_i, ..., X_n X_i

! ,

où le terme chapeauté est omis. Montrer qu'on peut munirPⁿ(R) d'une struc-ture de variété diérentiable.

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Exercice 2.15 (Espace projectif complexe). Soit

Pⁿ(C) = {[Z]6= 0∈Cⁿ⁺¹} [Z]∼[λZ] ,

l'espace projectif complexe et désignons par H_i un hyperplan à l'inni.

a) Montrer que Pⁿ(C)\H_i est isomorphe à Cⁿ.

b) Déterminer un ensemble explicite de cartes sur Pⁿ(C).

c) Montrer que l'espace Pⁿ(C) peut-être vu comme étant une compactica-tion de Cⁿ et que celle-ci s'obtient par l'adjonction à Cⁿ de l'hyperplan H_i à l'inni.

d) En déduire que Pⁿ(C) est une variété diérentiable.

Exercice 2.16 Montrer queP¹(C) est diéomorphe à la sphère S².

Problème 2.1 (GrassmannienneG_n,k). Soit G_n,k, 0≤k ≤n, une Grassman-nienne complexe c'est-à-dire l'ensemble des plans de dimension k de l'espace Cⁿ passant par 0. G_n,k peut être considére comme espace des sphères de centre 0et de dimension k−1contenues dans la sphère Sⁿ⁻¹, ces sphères correspon-dant biunivoquement aux sous-espaces vectoriels de dimension k de Cⁿ.

a) Que représentent G_n,0 et G_n,n?

b) Montrer que G_n,k peut être interprétée comme un ensemble de matrices d'ordre n×k de rang k, modulo la relation A ∼ B s'il existe une matrice C d'ordre k régulière telle que : B =CA.

c) On se propose dans la question suivante de montrer que l'interpretation donnée dans b) permet d'introduire des coordonnées dans G_n,k. Soient π un élément de G_n,k, A= (a_ij),1≤ i ≤ n,1 ≤ j ≤ k, la matrice correspondante, I ={i₁, ..., i_k} ⊂ {1, ..., n} et posons

P_I = det







a_i11 · · · a_i1k ... ... ...

a_ik1 · · · a_ikk





. (2.1)

Montrer que les nombres P_I ne sont pas tous nuls et qu'ils sont dénis à un facteur multiplicatif complexe non nul près. Montrer que la donnée des mineurs P_I de la matrice A permet de dénir le plan π corresondant. Que peut-on dire des coordonnées (2.1)et quel est leur nombre ?

d) Soit

U_I ={π ∈G_n,k :P_I(π)6= 0},

où I est le sous-ensemble de {1, ..., n} dénie dans c). Montrer que les points

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de U{1,...,n} peuvent être représentés par des matrices

e) Montrer que les domaines U_I constituent un recouvrement de G_n,k. f) Montrer que les éléments de la matriceZ (voir question d)) déterminent une application bijective

ϕ_I :U_I −→C^(n−k)k.

g) En déduire que la famille {(U_I, ϕ_I)} est un atlas de cartes de G_n,k.

h) En déduire que G_n,k est une variété complexe diérentiable compacte et connexe de dimension(n−k)k.

i) Montrer queG_n,1 s'identie en tant qu'espace topologique, avec Pⁿ⁻¹(C) et que celui-ci est une variété complexe de dimensionn−1. Montrer que cette structure possède une description commode en coordonnées homogènes.

j) Montrer queG_n,k admet un plongement dansP^Cnk−1(C)oùC_n^k = n!

k!(n−k)!. k) En remplaçant dans les questions précédentes les nombres complexes par les quarternions, montrer qu'on obtient une variété compacte connexe de dimension 4(n−k)k, notée HG_n,k ou tout simplement G_n,k , que l'on appelle Grassmannienne quarternionnienne.

Exercice 2.17 (Produit de variétés). Soient M et N deux variétés diéren-tiables de dimensionsm et n respectivement. Posons

M ×N ={(p, q) :p∈M, q∈N}.

Exercice 2.18 (Surfaces non singulières dénies par des équations). Soit Σ une surface non-singulière de dimension k dénie dans Rⁿ par un système

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d'équations :

F₁(x₁, ..., x_n) = 0, ...

Fn−k(x₁, ..., x_n) = 0.

a) Soit (x⁰₁, ..., x⁰_n) un point non singulier de la surface Σ. Montrer qu'on peut introduire des coordonnées locales dans le voisinage de ce point.

b) Montrer que Σ admet une structure de variété diérentiable.

c) Déterminer les coordonnées d'un vecteur tangent ainsi que l'espace tan-gent à cette variété dans le voisinage du point non singulier.

Exercice 2.19 Soit V la variété dénie par V =

4

\

i=1

Q_i(z) =c_i, z ∈C⁶ , où

Q₁(z) = z₁+z₂−(z₄+z₅)²−z²₆,

Q₂(z) = z₁z₅+z₂z₄−z₃z₆−z²₄z₅−z₄z₅², Q₃(z) = z²₃ −z₁z₅²−z₂z₄²+z₄²z₅²,

Q₄(z) = z₁z₂,

etc_i ∈C1≤i≤4, n'est pas une valeur critique. SoitV la fermeture projective de V ⊂C⁶ dans P⁶(C). Analyser le lieu à l'inni V T{Z₀ = 0}, et décrire les singularités de la variété projective V.

Exercice 2.20 (Tore Tⁿ). a) Soit Tⁿ un tore de dimension n c'est-à-dire le produit direct dencercles. Autrement dit,Tⁿest le quotientRⁿ/L(resp.Cⁿ/L) de Rⁿ (resp.Cⁿ) par un sous-groupe engendré par une base de Rⁿ (resp. Cⁿ).

Montrer que Tⁿ est muni d'une structure de variété diérentiable.

b) SoitC une variété complexe de dimension1(une courbe complexe) dénie par l'équation :

f(w, z) = 0, (2.2)

oùf(w, z)est une fonction analytique à deux variableswetz. Un point(w₀, z₀) de la courbe C est non-singulier si

grad f |_w0,z0≡ ∂f

∂w,∂f

∂z

w0,z0

6= 0.

On suppose que

f(w₀, z₀) = 0,

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et

gradf |_w0,z06= 0.

Montrer que si

∂f

∂w 6= 0,

alors l'équation (2.2) admet, dans un voisinage susamment petit du point (w₀, z₀),une solution unique w = w(z) qui est analytique complexe, de telle sorte que f

(w(z), z) = 0, w₀ =w(z₀), ∂w

∂z ≡0.

c) Supposons que

f(w, z) =w²−Pn(z) = 0, (2.3) oùP_n(z)est un polynôme de degrén. Montrer que la surface(2.3)est singulière si et seulement si le polynôme Pn(z) n'a pas de racines multiples. Discuter la possibilité d'introduire une coordonnée locale sur la surface (2.3).

d) On suppose que f(w, z)soit un polynôme de degrénenw et irréductible.

• Montrer que l'équation (2.2) admet un prolongement au plan projectif complexe P²(C) sous la forme

P (Z₀, Z₁, Z₂) = 0, (2.4) où Z₀, Z₁, Z₂ sont des coordonnées homogènes.

• Que représentent les points de la surface (3) en lesquels on a Z₀ = 0.

• Montrer que toute surface dans P²(C) dénie par (2.4) est compacte.

• L'équation (2.4) dénit, en l'abscence de toute singularité, une variété compacte à deux dimensions. Quelle est cette variété ? (Discuter le cas des équations du type (2.3)et comparer avec c)).

Problème 2.2 (Surfaces de Riemann). Rappelons qu'en général, la dénition d'une fonction fait qu'à une valeur de la variable correspond une seule va-leur de la fonction. Dans certains cas, celà n'est pas très naturel car l'usage des fonctions complexes n'est pas simple. Lors de la dénition de telles fonc-tions, on rencontre généralement des dicultés au niveau de la détermination de l'image : non unicité, défaut de continuité. On parle dans ce cas de fonc-tion multiforme. Si la dénifonc-tion, par exemple, de la foncfonc-tion carrée z², de la fonction inverse ¹_z, de la fonction exponentielle expz, etc... ne pose pas de problèmes majeurs, il n'en va pas de même, par exemple, avec les tentatives de dénition de la fonction racine carrée √

z, la fonction logarithme complexe logz, etc... Considérons par exemple la fonction√

z sur l'ensemble des nombres complexes C. Si z est un nombre complexe, on peut l'écrire : z =re^i(θ+2kπ) où r est le module de z et θ est un argument de z, déni à 2kπ près. Lorsque k décrit l'ensemble des entiers relatifs Z, z reste inchangé. Les racines carrées

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dez dans Csont alors re ² . Supposons que le nombre complexez décrit un cercle ne contenant pas l'origine, son argument augmente puis revient à sa valeur initiale après un tour complet. Par contre, si z décrit un cercle conte-nant0, alors son argument augmente de2π : z reprend donc sa valeur initiale mais, pendant ce temps, l'argument de la racine carrée choisie verra son ar-gument augmenter de π. Au nal, on retombe sur l'autre détermination de la racine carrée ! L'origine 0 qui pose ici problème, est appelé point de branche-ment ou de ramication pour la fonction racine carrée : elle est une fonction multiforme autour de 0. On est donc en présence d'une fonction multiforme : deux images opposées. Si z est non nul, il existe deux valeurs possibles pour

√z, et il n'y a pas de raison de préférer l'une à l'autre. Laquelle choisir ? Pro-blème a priori insoluble quel que soit le choix car nous travaillons ici dansC.

Les calculs faisant intervenir des fonctions multiformes sont parfois lourds et compliqués. Riemann a eu l'idée de transformer les fonctions multiformes en fonctions uniformes (un point n'a qu'une seule image), en modiant le domaine de dénition. Il recolle pour cela continûment plusieurs représentations du do-maine de dénition, les feuillets, et obtient le concept de surface de Riemann.

Partant de diverses fonctions multiformes surC, on peut les rendre uniformes en remplaçant leur domaine C par une surface de Riemann ; c'est le procédé d'uniformisation. Quoi qu'il semble compliqué à priori de remplacerC par une surface, on peut se dire que cette surface est le domaine naturel sur lequel la fonction est dénie, ce qui justie son introduction. Parmi les problèmes qui se posent, on ne peut pas dénir de façon cohérente les opérations de calcul sur les fonctions multiformes : par exemple que vaut (±√

z±√

z)? Sur la surface de Riemann de √

z, cette complication n'existe pas. Plus précisément, pour remédier à ce problème, Riemann imagine un artice redénissant l'en-semble de dénition des fonctions complexes : on parle aujourd'hui de surfaces de Riemann sur lesquelles ces fonctions redeviennent uniformes (nos fonctions usuelles : l'image est unique). Pour la fonction√

z, on clone le plan complexe que l'on représente par deux feuillets reliés entre eux par le demi-axe positif, appelé coupure. Aucun cercle autour de0ne doit franchir cette coupure à moins de passer d'un feuillet à l'autre ou inversement. Dans ces conditions, z ne re-prendra sa valeur initiale qu'au bout de deux tours. Ayant fait le choix d'une détermination de la racine carrée, celle-ci devient uniforme sur la surface de Riemann (ici la sphère de Riemann), ce qui autorise alors la notation √

z. Dans ce problème, on étudie les courbes algébriques (projectives lisses) ou surfaces de Riemann compactes X. Ce sont des variétés analytiques de di-mension 1 complexe (2 réelle) munies d'atlas dont les changements de cartes sont holomorphes. Les surfaces de Riemann sont des objets d'une extraordi-naire richesse qui apparaissent dans de nombreux champs des mathématiques : géométrie et topologie diérentielle, théorie des nombres, topologie algébrique, géométrie algébrique, systèmes intégrables,... et sont la source de plusieurs

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maines de la recherche contemporaine. Nous allons étudier ces surfaces avec une approche de géométrie complexe. On montre queX est homéomorphe à un tore à g trous (ou sphère à g anses) pour un certain entier g ≥ 0. Le nombre g est le genre de X. Celui-ci est la dimension de l'espace vectoriel complexe H¹(X,O_X) (1^ergroupe de cohomologie à coecients dans le faisceau O_X des fonctions holomorphes sur X) ou ce qui revient au même c'est le nombre des intégrales abéliennes de 1^`ereespèce attachées à la courbe X, linéairement indé-pendants. Un cas particulier important est représenté par les courbes hyperel-liptiques de genre g ainsi que les courbes elliptiques (g = 1).

I) On demande dans cette question de construire le plus intuitivement pos-sible la surface de Riemann dans le cas elliptique et hyperelliptique.

Réponse : Soit w² = P₃(z), où P₃(z) est un polynôme de degré 3, ayant trois racines distinctes e₁, e₂, e₃. Considérons

C−→C, z 7−→w:w² =P₃(z),

Il est évident que w n'est pas une fonction (uniforme). A chaque valeur de z correspond deux valeurs diérentes de w sauf quand z =e₁, z =e₂ et z =e₃. En ces points, w est univaluée : en eet, on a w= ±p

P3(ei) = 0, une seule valeur. Tous les points à l'inni dans toutes les directions seront identiés en un seul point que l'on désigne par∞. Au point z =∞, w est aussi univaluée :

Notre problème consiste à uniformiser w, autrement dit, on cherche un do-maine sur lequel w est une fonction (uniforme). Auparavant, étudions le com-portement de w au voisinage des racines de P₃(z) = 0 c'est-à-dire e₁, e₂, e₃ ainsi qu'au voisinage du point à l'inni ∞. Si z décrit un circuit (c'est-à-dire un chemin fermé, par exemple un cercle) entourant un des points e₁, e₂, e₃ et

∞, alors w change de signe : en eet, supposons que z décrit un cercle centré en e₁ et posons z−e₁ =re^iθ où r est le module de z −e₁ et θ son argument.

Evidemment r ne change pas tandis que θ varie de 0 à 2π. Au voisinage de e₁, w = p sut d'utiliser un raisonnement similaire au cas précédent. En ce qui concerne le point ∞, on pose comme précédemment z = ¹_t et on étudie w² =P₃ ¹_t

w se comporte comme w = t = r e . Dès lors, pour θ = 0, on a w=r^−3/2 et pour θ= 2π, on a w=−r^−3/2. Comme précédemment, sit refait de nouveau un tour complet, w reprend la valeur de départ c'est-à-dire r^−3/2.

Passons maintenant à la construction du domaine sur lequel w serait une fonction uniforme. Cette construction se fera en plusieurs étapes :

1^`ere étape : Prenons deux copies ou feuillets σ₁ et σ₂ du plan complexe compactié C∪ {∞} ou ce qui revient au même de la sphère de Riemann puisqu'ils sont homéomorphes. Plaçons le feuillet σ₁ au dessus de σ₂ et sur chacun de ces feuillets marquons les points e₁, e₂, e₃,∞. Supposons que les points de σ₁ seront envoyés sur w = p

(z−e₁) (z−e₂) (z−e₃), et que ceux de σ₂ seront envoyés sur w=−p

(z−e₁) (z−e₂) (z−e₃).

2^`eme étape : Dans chaque feuillet, faisons deux coupures : une le long de la courbe reliant le point e₁ au point e₂ et l'autre le long de la courbe reliant le pointe₃ au point ∞. Désignons parA₁, B₁, C₁, D₁ (resp. A₂, B₂, C₂, D₂) les bords des coupures dans le feuillet σ1 (resp. σ2). Rappelons que w change de signe lorsque l'on tourne d'un tour autour d'un des points e₁, e₂, e₃,∞. Donc en allant de A₁ à B₁, on change le signe de wc'est-à-dire on passe sur l'autre feuillet, là oùw a l'autre signe. De même pour les bords A2 et B2, C1 et D1, C2

et D₂. Par conséquent, w a la même valeur sur A₁ et B₂, sur B₁ et A₂, sur C₁ et D₂ et enn sur D₁ et C₂.

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3^`eme étape : On identie les bords suivants : A₁ à B₂, B₁ à A₂, C₁ à D₂ et D₁ à C₂. Après recollement, on obtient un tore à un trou.

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La surface à deux feuillets obtenue s'appelle surface de Riemann elliptique ou courbe elliptique associée à l'équation :w² = (z−e₁)(z−e₂)(z−e₃). Sur cette surface,west une fonction uniforme. Lorsqu'on tourne autour d'un des points e₁, e₂, e₃, ou ∞, on passe d'un feuillet à l'autre. En ces points les deux feuillets se joignent et on les appellent points de branchement ou de ramication de la surface. La surface obtenue peut-être tracée de diérentes façons :

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Si w² =P₄(z), où P₄(z) est un polynôme de degré 4, ayant quatre racines distinctes e₁, e₂, e₃, e₄, alors on obtient aussi une courbe elliptique. Les points de branchements sont e₁, e₂, e₃ et e₄. Notons que si

w² = (z−e₁) (z−e₂) (z−e₃) (z−e₄), alors la transformation (w, z) 7−→ _x^y2, e₁+_x¹

, ramène cette équation à la forme

y² = (1 + (e1−e2)x) (1 + (e1−e3)x) (1 + (e1−e4)x).

Signalons enn que si w²−P_n(z) = 0, où P_n(z) est un polynôme de degré n supérieur où égal à 5, ayant n racines distinctes, alors on obtient ce qu'on appelle surface de Riemann hyperelliptique ou courbe hyperelliptique. Plus pré-cisément, une surface de Riemann hyperelliptique ou courbe hyperelliptique de genreg se dénit par une équation de la forme

w² =P_n(z) =

P_2g+1(z) sin = 2g+ 1 Pe_2g+2(z) sin = 2g+ 2

où P_2g+1(z) et Pe_2g+2(z) sont des polynômes sans racines multiples. On a

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n g (genre) Surface de Riemann

1 ou 2 0 sphère de Riemann

3 ou 4 1 elliptique à un trou

5 ou 6 2 hyperelliptique à deux trous

7 ou 8 3 hyperelliptique à trois trous

... ... ...

n _n−1

2

(partie entière) hyperelliptique à _n−1

2

trous

II) Une surface de Riemann est une variété diérentiable de dimension 1 complexe (2 réelle) munie d'un atlas dont les changements de cartes sont holomorphes. Un théorème de Riemann arme que toute surface de Riemann compacte X est (isomorphe à) une courbe algébrique (projective lisse), c-à-d.

peut-être dénie par des équations algébriques. Soit X ={(w, z)∈C² :F(w, z) = 0}, une courbe algébrique ane plane où

F(w, z)≡p₀(z)wⁿ+p₁(z)wⁿ⁻¹+· · ·+p_n(z),

est un polynôme à deux variable complexesw et z, de degré n en w et irréduc-tible (c-à-d. sans facteurs multiples ou encore ne soit pas le produit de deux autres polynômes enwetz). Icip₀(z)6= 0,p₁(z), . . . , p_n(z)sont des polynômes en z. Pour qu'une telle courbe soit lisse (on dit aussi non-singulière), il sut que les fonctions ^∂F_∂w, ^∂F_∂z ne s'annulent identiquement sur aucune composante de X ou encore que grad F ≡ ^∂F_∂w,^∂F_∂z

6= 0. Dans la suite¹, nous supposerons ces conditions satisfaites. Nous montrerons que X est homéomorphe à un tore à g trous (ou sphère à g anses) pour un certain entier g ≥0, appelé genre de X.

1) Considérons donc l'équation F(w, z) = 0. A chaque valeur de z cor-respond n valeurs de w. Notre problème consiste à trouver un domaine pour lequel

C−→C, z 7−→w:F(w, z) = 0,

soit une fonction uniforme. Désignons par z₁, ..., z_m les zéros de p₀(z) et les zéros communs de F(w, z) = 0 et ^∂F_∂w(w, z) = 0. Ce sont les valeurs pour lesquelles F(w, z) a un zéro double en w. Soit C=C∪ {∞} le plan complexe compactié ou sphère de Riemann puisqu'ils sont homéomorphes. En résolvant l'équation F(w, z) = 0 pour z ∈ C\{z₁, ..., z_m}, on obtient n solutions w_k(z), k= 1,2, ..., n. Montrer que les solutions w_k(z) sont localement analytiques.

1Dans la théorie des fonctions d'une variable complexe, on rencontre aussi des surfaces de Riemann plus compliquées (non-algébriques) où F(w, z) n'est pas un polynôme. Par exemple, l'équatione^w−z = 0 détermine la surface de Riemann du logarithme. De telles surfaces de Riemann ne seront pas considérées ici.

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Réponse : Posons z = x+iy et w = u+iv où u = u(x, y), v = v(x, y). Donc

F(w, z) = G(u, v, x, y) +iH(u, v, x, y), où G et H sont des polynômes. Par conséquent

F(w, z) = 0 ⇐⇒

G(u, v, x, y) = 0, H(u, v, x, y) = 0.

Fixons un point z₀ = x₀ +iy₀ ∈ C\{z₁, ..., z_m}. L'équation F(w, z) = 0 a exactement n racines distinctes : w = w₀₁, w₀₂, ..., w_0n. Désignons par w₀ = u₀+iv₀ l'une de ces racines. Pour pouvoir appliquer le théorème des fonctions implicites, il sut de vérier que

det doncF(w, z₀) est analytique. D'après les équations de Cauchy-Riemann, on a

∂G

ou encore

Or par hypothèse, l'équationF(w, z) = 0 n'a pas de racines doubles en w pour z xé, c-à-d.,

∂F

∂w(w₀, z₀)6= 0.

Par le théorème des fontions implicites, on peut résoudre w en fonction de z et exprimer quew est diérentiable dans un voisinage de z. Pour montrer que w=w(z) est analytique, on va vérier que les équations de Cauchy-Riemann

∂u

On multiplie la deuxième équation par i et on fait la somme avec la première.

On obtient

2) L'objectif de cette question est de montrer que l'on peut prolonger analy-tiquementw_k=w_k(z)sur tout C\{z₁, ..., z_m}et chaque fonction ainsi obtenue satisfait à l'équation F(w, z) = 0. Mais auparavant nous aurons besoin de quelques préliminaires. Soit D(a, ra) un disque de centre a et de rayon ra et soit f une fonction analytique sur D(a, r_a). Cette fonction admet un dévelop-pement en série entière convergente de la forme

f(z) = f(a) +a₁(z−a) +a₂(z−a)²+· · ·

a) Soit b ∈ D(a, r_a). Montrer que la fonction f admet un développement en série entière convergente autour deb de la forme

f(z) =f(b) +b₁(z−b) +b₂(z−b)²+· · ·

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Réponse : Posons z−a= (z−b) + (b−a), d'où f(z) = f(a) +a₁(b−a) +a₂(b−a)²+· · ·

+a₁(z−b) + 2a₂(b−a)(z−b) +· · ·+a₂(z−b)²+· · · On en déduit que

f(b) = f(a) +a1(b−a) +a2(b−a)²+· · · b₁ = a₁+ 2a₂(b−a) +· · ·

b₂ = a₂+· · · et

f(z) =f(b) +b₁(z−a) +b₂(z−a)²+· · ·

Cette série converge en tout point du disque D(a, ra). Cherchons le disque D(b, r_b) de centre b et de rayon r_b, dans lequel cette série converge. On sait quer_b ≥r_a− |b−a|>0, et il se peut aussi qu'on aitr_b > r_a− |b−a|>0. Si tel

Cette série converge en tout point du disque D(a, ra). Cherchons le disque D(b, r_b) de centre b et de rayon r_b, dans lequel cette série converge. On sait quer_b ≥r_a− |b−a|>0, et il se peut aussi qu'on aitr_b > r_a− |b−a|>0. Si tel

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