Validation sur cas test dynamique élasto-plastique

Dans cette section, la formulation sur tétraèdres linéaires modifiés est testée dans le cadre de grandes déformations élasto-plastiques de métaux, donc quasi-incompressibles. Le célèbre cas test d’impact de barre à haute vitesse de Taylor a été choisi pour ses caractéristiques de dynamique à grande vitesse tout d’abord, mais surtout pour sa grande sensibilité au locking volumique [Zie98, Bon98]. Il permet d’analyser facilement la modification anti-locking sur tétraèdres linéaires en observant par exemple les champs de pression obtenus où le diamètre d’impact final de la barre. Nos résultats sont comparés aux résultats présentés dans la littérature et aux résultats de référence obtenus avec le logiciel Abaqus/Explicit® en utilisant l’élément hexaédrique linéaire à intégration réduite et stabilisation anti-hourglassing classique [Hib02].

3.4.1 Présentation du cas test

Une barre de cuivre est impactée à 227 m/s sur un mur rigide. Il n’y a pas de frottement entre le mur et la barre. Le contact sur le mur est implémenté en tant que condition homogène de Dirichlet sur la vitesse (voir Fig 40). Le cuivre est supposé élasto-plastique à écrouissage linéaire. Les dimensions et les propriétés mécaniques sont données dans le Tableau 3.

Un amortissement élastique de Rayleigh à 1% est utilisé pour modéliser la visco-élasticité naturelle du métal et une viscosité linéaire volumique de 6% permet d’éviter l’apparition d’oscillations numériques locales.

Fig 40 : Schéma descriptif du cas test d’impact de barre de cuivre.

Hauteur : 32.4 mm Dimensions

Diamètre : 6.4 mm Module d’ Young : 117 Gpa Coefficient de Poisson : 0.33 Masse volumique : 8930 kg/m3 Contrainte de fluage initiale : 0.4 Gpa Propriétés

mécaniques

Ecrouissage linéaire : 0.1 Gpa Maillage Nombre de nœuds en fin de

simulation : 4200

3.4.2 Résultats

On compare ici de manière qualitative et quantitative les résultats provenant de la formulation utilisant des tétraèdres linéaires standards, de la formulation utilisant les tétraèdres linéaires avec modification anti-locking, et ceux obtenus avec les éléments hexaédriques à intégration réduite et stabilisation anti-hourglassing d’Abaqus/Explicit®.

Tout d’abord, un aperçu qualitatif des champs de pression et de contraintes de von Mises est donné en Fig 41 et Fig 42. Ensuite, les valeurs de pression et de contrainte de von Mises obtenues le long de l’axe de la barre et le long du diamètre de la face d’impact sont tracées pour réaliser une comparaison quantitative (voir Fig 43, Fig 44, Fig 45 et Fig 46). La géométrie finale de la barre obtenue est aussi confrontée aux géométries publiées dans la littérature (Tableau 4). Finalement, afin d’étudier la dépendance au maillage de notre formulation, les champs de pression et de von Mises obtenus avec un maillage très fin (à peu près 29500 nœuds à la fin de la simulation) sont analysés et comparés à ceux obtenus avec un maillage classique (4200 noeuds) (voir Fig 47).

Fig 41 : Pression 80 µµµµs après l’impact obtenues avec des tétraèdres linéaires classiques (A), les tétraèdres modifiés (B) et les éléments hexaédriques à intégration réduite et stabilisation anti-hourglassing

Fig 42 : Contrainte de von Mises 80µµµµs après l’impact obtenues avec des tétraèdres linéaires classiques (A), les tétraèdres modifiés (B) et les éléments hexaédriques à intégration réduite et stabilisation anti-

hourglassing d’Abaqus/Explicit (C).

Fig 43 : Valeurs de pression sur l’axe de la barre 80µµµµs après l’impact pour les résultats obtenus avec des tétraèdres linéaires classiques, avec les tétraèdres modifiés et avec les éléments hexaédriques à intégration

réduite et stabilisation anti-hourglassing d’Abaqus/Explicit. L’origine est située au centre de la zone d’impact.

Fig 44 : Valeurs de pression sur le diamètre de la surface d’impact 80µµµµs après l’impact pour les résultats obtenus avec des tétraèdres linéaires classiques, avec les tétraèdres modifiés et avec les éléments hexaédriques à intégration réduite et stabilisation anti-hourglassing d’Abaqus/Explicit. L’origine est

située au centre de la zone d’impact.

Fig 45 : Valeurs de contrainte de von Mises sur l’axe de la barre 80µµµµs après l’impact pour les résultats obtenus avec des tétraèdres linéaires classiques, avec les tétraèdres modifiés et avec les éléments

hexaédriques à intégration réduite et stabilisation anti-hourglassing d’Abaqus/Explicit. L’origine est située au centre de la zone d’impact.

Fig 46 : Valeurs de contrainte de von Mises sur l’axe de la barre 80µµµµs après l’impact pour les résultats obtenus avec des tétraèdres linéaires classiques, avec les tétraèdres modifiés et avec les éléments

hexaédriques à intégration réduite et stabilisation anti-hourglassing d’Abaqus/Explicit. L’origine est située au centre de la zone d’impact.

tetraèdre standard tetraèdre modifié hexaèdre Abaqus CBS ANP longueur finale (mm) 21.1 21.46 21.63 21.94 ? rayon d’impact (mm) 5.94 7.07 7.08 7.07 6.99

Tableau 4 : Forme finale de la barre 80 µµµµs après l’impact obtenus avec les tétraèdres linéaires classiques, les tétraèdres linéaires modifiés, les hexaèdres linéaires à intégration réduite et stabilisation anti-locking

Fig 47 : Champs de pression (A) et de contraintes de von Mises (B) 80µµµµs après l’impact obtenus avec les tétraèdres linéaires modifiés pour un maillage très fin (29500 nœuds)

3.4.3 Analyse des résultas

Tout d’abord, on constate en observant les résultats de ce cas test que la formulation utilisant des tétraèdres linéaires standards est très sensible au locking volumique. La pression présente de fortes instabilités en damier (voir Fig 42). Les valeurs de pression et de contraintes de von Mises sur l’axe de la barre et au niveau de la zone d’impact sont complètement différentes de celles obtenues avec la formulation de référence d’Abaqus (voir Fig 43, Fig 44, Fig 45 et Fig 46). La forme finale de la barre impactée est aussi très différente de la forme obtenue avec Abaqus, ou des résultats présentés dans la littérature (voir Tableau 4). Les tétraèdres linéaires standards donnent un rayon d’impact final de 5.94 mm au lieu de 7.08 mm pour la simulation menée avec Abaqus. Les valeurs de pression sont largement surestimées en valeur absolue, avec des valeurs comprises entre -7.5.109 Pa et 9.108 Pa. Cette sur-estimation entraîne une sous-estimation des déformations très localisées qui auraient du apparaître dans cette région et qui sont réparties dans toute la barre.

En revanche, on peut voir que la formulation sur tétraèdres linéaires avec modification se comporte de manière très satisfaisante, sans montrer de sensibilité au locking volumique. Les champs de pression et de contrainte de von Mises correspondent bien aux champs de références obtenus avec Abaqus/Explicit (voir Fig 41 B and C, Fig 42 B and C). La formulation permet de localiser correctement la déformation dans la zone d’impact. La forme finale de la barre correspond bien à celle simulée dans les cas de référence et à celles publiées dans la littérature (voir Tableau 4). On obtient le même rayon d’impact qu’Abaqus et que la formulation CBS [Zie98], et l’on est très proche de celui obtenu avec la formulation ANP [Bon98].

En regardant les résultats plus en détail, de petites différences quantitatives peuvent être observées sur les valeurs de pression sur l’axe de la barre et sur la surface d’impact (voir Fig 43, Fig 44, Fig 45 et Fig 46). Il faut cependant relativiser ces différences en soulignant le fait qu’on se situe dans un cas de dynamique rapide à très hauts gradients de vitesse et de pression, et qu’on utilise un maillage relativement grossier et des remailleurs différents d’un cas à l’autre. De plus, les résultats sont analysés 80 µs après l’impact, comme dans la littérature, mais l’équilibre n’est pas encore atteint. Ces petites différences pourraient être expliquées par une légère sensibilité à la connectivité du maillage ou des décalages de l’ordre de la nano-seconde dans la propagation des ondes élastiques ou dans les instants où les aperçus sont réalisés.

Enfin, pour étudier la sensibilité à la taille de maille, une simulation a été réalisée avec la formulation sur tétraèdres linéaires modifiés en utilisant un maillage très fin. Les champs de pression et de contrainte de von Mises obtenus sont en bonne corrélation avec ceux obtenus avec le maillage plus grossier (voir Fig 47). Le rayon d’impact final est très proche du précédent aussi, c’est-à-dire 7,13 mm au lieu de 7,07 mm. La différence de volumes finaux obtenus avec le maillage relativement grossier et le maillage très fin est d’environ 0,1%.