3.4 Mise-en-œuvre num´erique
3.4.3 Validation
Dans l’article [BDLM], nous nous sommes attach´es `a valider dans le cas d’un domaine born´e l’outil d’interpolation int´egral utilis´e pour impl´ementer la vorticit´e et la m´ethode it´erative mise en place.
Dans cette section, nous nous attachons `a valider l’action des PML. Notre premi`ere id´ee ´etait la validation du code grˆace `a une solution analytique. Les seules solutions connues sont les modes qui sont solutions du probl`eme sans source. Dans le cas d’une portion de conduit [BDLM], nous supposions le d´eplacement et la vorticit´e connus sur les bords du domaine ce qui nous permettait de traiter le cas des modes. En pr´esence de couches PML, nous ne savons plus le faire car le comportement exponentiellement croissant des modes aval (respectivement amont) dans la couche PML amont (resp. aval) ne permet pas d’´evaluer la vorticit´e par la formule de convolution. Nous avons d´ecid´e d’´etudier qualitativement le rˆole des PML. Nous
avons v´erifi´e que la solution ne change pas lorsqu’on modifie l´eg`erement soit la position ou la longueur des couches PML soit le raffinement.
A Validation du caract`ere transparent des couches PML
Pour ces simulations, nous avons construit trois maillages (pasx= pasy = 0.05) compos´es de
domaines d’int´erˆets de longueur Lb diff´erentes. Quelque soit le maillage, les caract´eristiques
des couches PML encadrant le domaine d’int´erˆet sont identiques : L = 0.5 et α = 0.65−0.65i. Il est `a noter que le pas choisi (pasx = pasy = 0.05) est suffisant puisque la plus petite
longueur d’onde acoustique est β2π max =
2π
5.86 = 1.07 (cf. Fig. 3.8) et qu’il y a donc plus
de dix points par longueur d’onde. Nous d´esirons tester ici l’influence de la position des fronti`eres artificielles (fronti`eres couche PML/domaine d’int´erˆet d’abscisses x = xm et
x = xp) sur le r´esultat. Nous nommons les maillages M20 (Lb = 2.5), M25 (Lb = 2) et M33
(Lb = 1.5). L’indice du maillage est donn´e par le pourcentage que repr´esente la longueur
des couches PML par rapport `a celle du domaine d’int´erˆet : 100Lb
L. Nous avons choisi de
consid´erer le rayonnement de la source f1 plac´ee au milieu du domaine de calcul pour
pouvoir comparer le comportement du d´eplacement `a proximit´e de celle-ci. Nous calculons le d´eplacement horizontal rayonn´e par la source en utilisant les diff´erents maillages mais avec le mˆeme nombre d’it´erations. Partant du champ initial u = 0 partout, nous observons qu’au bout de trente it´erations la m´ethode it´erative a converg´e quel que soit le maillage. La solution est alors repr´esent´e en Fig. 3.9. A proximit´e de la source, nous obtenons bien que la solution est ind´ependante de la position de la fronti`ere artificielle, ce qui nous assure du bon fonctionnement des couches PML.
B Influence de la longueur des couches PML
Pour ces simulations, nous avons construit trois maillages structur´es (pasx = pasy = 0.05)
avec un domaine d’int´erˆet identique (xm = 0 et xp = 2) mais des longueurs L de couches
PML diff´erentes. Le premier maillage not´e M25a des couches PML quatre fois moins longues
que le domaine d’int´erˆet (L = 0.5). Le deuxi`eme M10 (L = 0.2), le troisi`eme M5 (L = 0.1)
correspondent respectivement `a des couches dix fois et vingt fois moins longues que le domaine d’int´erˆet. L’indice du maillage est donn´e par le pourcentage que repr´esente la longueur des couches PML par rapport `a celle du domaine d’int´erˆet : 100Lb
L. Nous calculons
le d´eplacement horizontal rayonn´e par la source f1 en utilisant les diff´erents maillages mais
avec le mˆeme nombre d’it´erations. Partant du champ initial u = ex partout, nous observons
qu’au bout de trente it´erations la m´ethode it´erative a converg´e quel que soit le maillage. La solution est alors repr´esent´e en Fig. 3.10.
Visuellement la solution obtenue dans le domaine d’int´erˆet semble la mˆeme pour les deux premi`eres couches. La derni`ere est quant `a elle diff´erente. Si les couches sont trop courtes, elles ne peuvent agir efficacement et la solution obtenue est fausse. Plus pr´ecis´ement si nous nous int´eressons `a la solution obtenue sur le domaine d’int´erˆet des maillages M25et M10(Fig.
3.11), nous voyons que la solution est l´eg`erement diff´erente sur M10(tourbillons plus intenses
pr`es de la couche PML aval), ce qui signifie que les couches de longueur L ≤ 0.2 sont trop courtes.
3.4. MISE-EN-ŒUVRE NUM´ERIQUE 67
Fig. 3.9 – Composante horizontale du d´eplacement ux obtenue respectivement (de haut en bas) sur les maillages M20 (Lb = 2.5), M25(Lb = 2) et M33 (Lb = 1.5).
C Influence du pas du maillage
Pour tester l’influence du raffinement du maillage sur la solution, nous ´etudions un domaine de dimensions xm = 0, xp = 2 et L = 0.5 que nous discr´etisons diff´eremment
selon les maillages. Par hypoth`ese, nous supposerons les pas selon les deux directions ´egaux. Nous consid´erons comme maillage de r´ef´erence, le maillage M1 dont le pas est ´egal `a 0.1. Pour noter les autres maillages, nous utilisons comme indice le rapport entre le pas de discr´etisation du maillage ´etudi´e et celui de M1. Nous obtenons ainsi deux autres maillages
M12 et M 1
4 de pas 0.05 et 0.025. Le nombre d’´el´ements des maillages est multipli´e par quatre `a chaque raffinement : 300 ´el´ements pour M1, 1200 pour M12 et 4800 pour M14. La composante
horizontale du d´eplacement obtenue sur chacun de ces maillages est repr´esent´ee sur la Fig. 3.12. Les solutions obtenues apr`es 30 it´erations sur les maillages (M14 et M
1
2) sont similaires. Seule la solution obtenue sur le maillage le moins raffin´e M1 diff`ere des autres ce `a quoi on pouvait s’attendre. Analysons maintenant les ph´enom`enes physiques apparaissant dans les r´esultats.
Fig.3.10 – Composante horizontale du d´eplacement ux obtenue respectivement (de haut en bas) sur les maillages M25 (L = 0.5), M10 (L = 0.2) et M5 (L = 0.1).
Fig. 3.11 – Composante horizontale du d´eplacement ux obtenue sur le domaine d’int´erˆet respectivement (de gauche `a droite et de haut en bas) des maillages M25 et M10.