Validation de l’estimateur pour le problème dynamique sur un cas

Comme annoncé au début de la section, nous allons tester les différentes stratégies de

raffinement/déraffinement sur le modèle simplifié des équations de Maxwell en 1D (2.1).

Nous aurons donc besoin d’un estimateur a posteriori pour le schéma GD1D (2.6). La section

précédente nous a permis de donner un estimateur a posteriori pour le système de Maxwell 3D en temps à partir d’un estimateur défini sur un problème statique. Il a été montré qu’il était fiable et efficace et qu’il permettait donc d’approcher correctement le comportement de l’erreur. Nous allons donc écrire l’estimateur correspondant pour le schéma GD1D et effec- tuer les validations dans ce cas afin de mesurer la pertinence de ce résultat sur le problème

Estimateur a posteriori pour le système de Maxwell 1D

En reprenant le schéma GD1D défini dans le chapitre2, la construction de l’estimateur

d’erreur a posteriori pour celui-ci est similaire à celle de l’estimateur 3D (4.1). Nous trouvons alors l’estimateur d’erreur a posteriori défini cellule par cellule suivant :

∀K ∈T_h, (ηK)2 = h2Kkf − εuh− ∂xvk2K+ h2Kkg − µvh− ∂xuhk2K +hK X x∈∂K  JuhK K x 2 ∂K+ JvhK K x 2 ∂K  +h2K ε −1 2∂_x(f − εu_h) 2 K+ h 2 K µ −1 2∂_x(g − µv_h) 2 K +hK 2 X x∈∂K  ε −1 2 Jnx(f − εuh)K K x 2 ∂K+ µ −1 2 Jnx(g − µvh)K K x 2 ∂K  . (4.4)

Cas test étudié

Nous validons maintenant cet estimateur a posteriori par un test de comparaison avec l’erreur quadratique exacte sur le problème de Maxwell 1D, pour lequel nous avons une expression analytique de la solution exacte. Pour cela, nous considérons le problème sur le domaine Ω = [0, 3], et observons la propagation du terme source :

E0(x) = exp 100₉
exp −[(x − 1)(1.6 − x)]−1
11[1,1.6](x), H0(x) = 0.

Ce terme source présente la particularité d’être de classe C∞ et d’être à support compact.

Nous pouvons ainsi connaître précisément le support de son cône de propagation et donc repérer les éventuelles erreurs de dissipation. Le domaine est borné par des conditions mé- talliques (nxE|∂Ω= 0). La solution exacte est alors donnée par (2.13).

Pour pouvoir valider l’estimateur, nous allons effectuer deux séries de tests : une pour des flux centrés et l’autre pour des flux complétement décentrés (λ = 0.3). La motivation vient de la différence de comportement du schéma GD1D dans ces deux cas : conservatif pour les flux centrés et dissipatifs (effet stabilisant) pour les flux décentrés.

Résultats numériques pour le schéma GD centré

Les figures4.2,4.3et4.4montrent la comparaison entre les valeurs de l’erreur de pro-

jection et l’estimateur d’erreur a posteriori, cellule par cellule, sur différents maillages (pas et ordre différents). Le pas de temps sera fixé à ∆t = 1.e-3, afin de ne pas prendre en compte l’erreur induite par l’interpolation en temps.

La figure4.2, et plus particulièment les calculs en Q1et Q2(figures4.2(a)à4.2(d)), per-

(a) Erreur sur approximation Q1. (b) Estimateur sur approximation Q1.

(c) Erreur sur approximation Q2. (d) Estimateur sur approximation Q2.

(e) Erreur sur approximation Q3. (f) Estimateur sur approximation Q3.

(a) Erreur sur approximation Q1. (b) Estimateur sur approximation Q1.

(c) Erreur sur approximation Q2. (d) Estimateur sur approximation Q2.

(e) Erreur sur approximation Q3. (f) Estimateur sur approximation Q3.

(a) Erreur sur approximation Q1. (b) Estimateur sur approximation Q1.

(c) Erreur sur approximation Q2. (d) Estimateur sur approximation Q2.

(e) Erreur sur approximation Q3. (f) Estimateur sur approximation Q3.

une approximation trop faible pour approcher correctement la solution du problème phy- sique. Nous pouvons observer que les valeurs de l’estimateur a posteriori diminuent au cours

du temps alors que celles de l’erreur L2augmentent. Ceci peut se comprendre en observant

la formule (4.4) car les valeurs de η sont obtenues à partir de uhet vhqui sont les solutions

numériques évaluées par le calcul. Ainsi, dans le cas d’un maillage trop grossier et d’un ordre trop faible, la solution numérique tendant vers zéro par effet de la dissipation, η dé- croît donc lui-aussi. Ce phénomène s’explique aussi par la construction de l’estimateur a posteriori effectuée par identification d’un problème statique. Dans ce cas, la dissipation nu- mérique induit automatiquement une perte d’information entre les différentes itérations du calcul et donc le problème statique considéré est résolu à partir de valeurs plus faibles que celles attendues pour retrouver un comportement en amplitude proche de celui de l’erreur

L2. On peut toutefois noter que le support de η suit globalement celui de l’erreur, induisant

une bonne localisation des zones pas assez précises (et donc de leur traitement par la suite) dans le domaine de calcul. De plus, lors de la montée en ordre (en particulier avec les fi-

gures4.2(e)et4.2(f)) nous observons une amélioration du comportement de l’estimateur ce

qui va de pair avec une meilleure précision sur la solution (erreur L2maximale de ≈ 6.4e − 6

en Q3, pour ≈ 1.7e − 3 en Q2).

Les figures4.3 et4.4confortent ces remarques sur des maillages plus précis. Dans ces

cas pour des ordres d’approximation supérieurs à 2, nous voyons que l’estimateur est très satisfaisant, car il suit l’erreur sur la solution. Dans le cas de l’approximation Q1, il faut sou-

ligner qu’alors l’ordre de convergence de notre schéma Galerkin discontinu en flux centrés

est très faible [84]. La limitation du bon comportement de l’estimateur à un maillage ou un

ordre assez fin est par ailleurs cohérente avec les démonstrations des résultats de fiabilité et

d’efficacité qui ne sont obtenues que dans un cas asymptotique en hp→ 0 (soit h → 0 et/ou

p → ∞).

On note par ailleurs que sur plusieurs cas, des ondes « parasites » apparaissent avec une caractéristique deux fois plus importante que celle donnée par la vitesse de la lumière dans le milieu. Ceci est particulièrement visible sur les courbes d’erreur4.2(c)-4.2(e)-4.3(c)

et sur les courbes d’estimateurs4.2(d)-4.3(b)-4.4(b). Nous supposons que ces phénomènes

correspondent à des « spurious modes », c’est-à-dire des ondes parasites développées par le schéma numérique, telles qu’elles peuvent être observées sur le schéma éléments finis

d’ordres élevés avec quadrature de Gauss [34], le schéma GD avec flux centrés étant proche

de ce dernier. Ces modes sont généralement évanescents et les ondes parasites observées ici semblent elles-mêmes décroître rapidement. Enfin, l’estimateur a posteriori calculant des dé- rivées de la solution numérique, ces termes ayant été vus numériquement comme contribu- tions prépondérantes pour ces ondes parasites, cela semble expliquer pourquoi leur support est plus marqué dans les courbes de η que dans celles de l’erreur. Nous avons par ailleurs pu observer le même phénomène, toujours sur bas ordre, avec d’autres types de conditions initiales (gaussienne, fonction chapeau).

Nous en concluons que sur un maillage et une approximation correcte par rapport aux phénomènes physiques recherchés, dans le cas des flux centrés, l’estimateur permet un bon suivi de la propagation de l’erreur. Nous notons cependant que les niveaux de valeurs entre l’estimateur et l’erreur ne sont pas similaires, voire différentes de plusieurs ordres selon les maillages utilisés. Cette remarque s’explique par le fait que les inégalités d’efficacité et de fiabilité introduisent des constantes de majoration difficilement quantifiables et donc po-

tentiellement importantes. Toutefois, ce ne sont pas les valeurs précises de l’estimateur qui nous intéressent pour l’adaptation de maillage, mais la position de ses maximas, qui eux expriment bien la localisation des erreurs les plus importantes induites par le schéma nu- mérique.

Résultats numériques pour le schéma GD décentré

L’estimateur a posteriori, tel qu’il a été présenté précédemment, est construit dans le cas d’un schéma GD avec des flux centrés. Nous sommes toutefois intéressés à l’étude des méthodes d’adaptation dans le contexte d’applications où, pour des contraintes de stabilité, nous utilisons généralement des flux décentrés. Nous décidons donc d’essayer de vérifier le bon comportement de l’estimateur dans le cas des flux décentrés. Nous reprenons donc les exemples de calcul vus précédemment en ajoutant un décentrement pour λ = 0.3, où λ est

le paramètre de pénalisation vu au chapitre1. Les résultats obtenus sont représentés sur les

figures4.5,4.6et4.7.

Une fois encore, l’estimateur permet un bon suivi de l’erreur dans la plupart des cas présentés pour des pas de maillage ou des ordres assez fins. Nous observons aussi des ré- sultats sur le comportement de l’estimateur par rapport à la solution meilleurs que dans le cas des flux centrés. En effet, on peut avoir des maillages plus grossiers et on ne voit plus

alors la mise en avant d’ondes parasites dans le cas Q1. Ceci peut s’expliquer par un dé-

placement du spectre de l’opérateur discrétisé lié à l’introduction du décentrement des flux, et donc un déplacement des modes parasites éventuels. Enfin, on peut noter une amélio-

ration des résultats pour le cas Q1car, dans ce cas, le schéma Galerkin discontinu présente

théoriquement un meilleur ordre de convergence.

Dans les différentes études numériques menées, nous pouvons donc conclure que l’esti-

mateur (4.4) proposé convient comme localisation des zones de raffinement/déraffinement

pour une méthode auto-adaptative basé sur notre schéma Galerkin discontinu en flux cen- trés ou décentrés. Toutefois, nous devons partir dans la méthode d’auto-adaptativité d’un maillage initial suffisamment fin pour tenir compte correctement du spectre de la solution du problème lié aux sources injectées.