Figura 8.4.9
• Las sucesivas aportaciones de Père son el origen de intercambios de los tipos aclaratorio y validación-continuación. La mayoría de dichos intercambios son progresivos, por lo que podemos considerar que el episodio se desarrolla de forma bastante dinámica.
• El papel principal que desempeña Lluís durante el episodio es el de validar las aportaciones que hace Pere y hacer alguna pregunta aclaratoria. Por el contrario, Pere introduce informaciones nuevas sobre las que demanda validación en muchos casos.
• Hay dos intervenciones que marcan la dirección del proceso: la que coincide con el inicio del episodio (intervención 5'), en la que Lluís propone la división del hexágono, y la intervención gestual 15', en la que Lluís divide el hexágono en dos trapecios. Además, esta
última propuesta desvía la atención de Pere, consiguiendo que se abandone el enfoque que éste ha propuesto.
C) Episodio de planificación
La planificación es una prolongación del episodio de análisis. Tiene su origen en la intervención 15' en la que Lluís traza la diagonal FC del hexágono (Figura 8.4.4). El plan consiste en reducir el problema a otro equivalente, dividiendo el hexágono en dos trapecios mediante la diagonal FC. Esta diagonal divide a su vez el triángulo ACE en dos triángulos rectángulos iguales (tal afirmación la justifica haciendo referencia a la simetría de la figura respecto de la diagonal FC del hexágono). El problema queda así reducido a la búsqueda de la razón entre el área del trapecio y la de uno de dichos triángulos rectángulos.
Además de proponer la división del hexágono en dos trapecios, Lluís identifica (intervención 19) tanto la diagonal de uno de ellos, asociándola a uno de los lados del triángulo ACE, como su altura. Justifica que AA' es la altura del triángulo refiriendo que AE es perpendicular a los segmentos paralelos DE y FC (Figura 8.4.4).
Podemos observar que no hay una aceptación explícita del plan propuesto ni ninguna manifestación de ejecutarlo, pero ambas cosas las damos por supuestas basándonos, en primer lugar, en la propuesta que hace Pere —intervención 22— de relación entre las dos bases del trapecio y, después —intervención 36 y siguientes—, en el comienzo efectivo del cálculo del área del trapecio por parte de Pere. El desarrollo del proceso, sobre todo a partir de la intervención 36, supone la aceptación implícita del plan.
La planificación, que se inicia formalmente en la intervención 19, da lugar a un intercambio del tipo validación-continuación iniciado por Lluís, en el que Pere sólo se limita a validar la aportación de su interlocutor. Dicha aportación está relacionada con la división del hexágono en dos trapecios iguales.
Lluís hace un aporte significativo de ideas en la intervención 21, puesto que en ella completa su plan representando el trapecio FCBA e identificando el triángulo AA'C, del que justifica que es rectángulo y que es la mitad del ACE.
En resumen, podemos afirmar que la planificación surge del episodio de análisis, pero no es consecuencia de la profundización y consideración de los enfoques identificados previamente en ese episodio. Surge de forma espontánea y es aceptada implícitamente por ambos interlocutores. Lleva la iniciativa Lluís y el único intercambio que se produce es del tipo validación-continuación dirigido por dicho locutor, produciéndose un progreso significativo de la segunda intervención respecto de la primera (intervención 19).
D) Episodio de evaluación local-1
Este episodio, que abarca las intervenciones 22 a 35, lo inicia Pere con el establecimiento de la relación entre las bases —"Això és el doble d'això" [indica FC y AB sobre el trapecio] (intervención 22)— del trapecio FCBA, que se convierte en tema de diálogo en las próximas intervenciones. Esa afirmación es importante porque da lugar (intervención 30) a la explicitación de la relación de igualdad entre el radio y el lado del hexágono, que después será clave en la aplicación de las fórmulas para obtener la solución.
Capítulo 8 Análisis de los procesos de resolución La duda que genera en Lluís la relación entre las bases del trapecio —una el doble de la otra— hace que pregunte sobre su validez. En la intervención 25, Lluís manifiesta explícitamente desconocer tal relación.
Es en la intervención 26 donde Pere justifica que la base FC del trapecio es doble de la AB, basándose en que los 6 triángulos que componen el hexágono son equiláteros y, por tanto, el lado del hexágono es igual a su radio. La introducción del "radio" hace que Lluís (intervención 27) pregunte sobre él. Pere satisface la demanda de su compañero con una explicación concreta y correcta de lo que entiende por radio de un hexágono.
La continuación del episodio tiene que ver con las dudas de Lluís (intervención 31) sobre la relación entre las bases del trapecio. Esta relación se confirma cuando Pere hace referencia a la condición de equiláteros de los 6 triángulos en que han dividido el hexágono.
El episodio termina cuando Lluís (intervención 35) comprende y da por válidas las aportaciones y justificaciones de Pere.
Se produce una oportunidad de aprendizaje por parte de Lluís cuando llega a comprender la relación entre las dos bases del trapecio o cuando Père le aclara el significado del radio del hexágono y su igualdad con el lado. Además de que Lluís manifiesta explícitamente desconocer la relación entre las bases del trapecio, como hemos dicho antes, también sabemos que desconoce la relación del radio con el lado, según se evidenció en la resolución del problema 8A de la prueba inicial (véase apartado 7.4.1.2).
Este episodio lo consideramos como un inciso entre la planificación y el análisis en el que los alumnos repasan algunos conocimientos que surgen como consecuencia de la introducción, por parte de Père, de la relación entre las bases del trapecio. Es por eso que hemos clasificado este episodio como "evaluación local", teniendo en cuenta que en esta categoría incluimos todos los aspectos que están relacionados con una valoración del estado actual de los conocimientos de los alumnos.
En este episodio se producen combinaciones de intercambios de los tipos aclaratorio y validación-continuación, culminados todos ellos con uno del tipo validación al final del episodio, en el que Lluís acepta las aportaciones de Pere.
Las acciones producidas por Pere para aclarar las dudas y demandas de Lluís no son, en general, repetitivas, es decir, Pere produce intervenciones bastante clarificadoras, como, por ejemplo, cuando explica lo que entiende por radio (intervención 28) o cuando justifica la igualdad radio-lado haciendo referencia a que los triángulos son equiláteros (intervención 32), o, después (intervención 34), cuando compara las dos bases del trapecio contando los lados del hexágono que contiene cada una de ellas (Figura 8.4.10).
Así pues, la conducta de Lluís se caracteriza por el hecho de realizar preguntas aclaratorias (intervenciones 25, 27 y 31) sobre elementos de contenido introducidos por Pere, así como por validar (intervenciones 29, 33 y 35) las aportaciones efectuadas por su interlocutor. En cambio, Pere responde a las preguntas de Lluís introduciendo conocimientos y argumentaciones nuevas (intervenciones 22, 24, 26, 28 y 32).
Profundizando en el análisis anterior podemos afirmar que:
• El episodio se inicia con la intervención 22 en la que Pere tiene la intención de empezar la ejecución del plan propuesto e introduce, por medio de una aserción, un tema que se convierte en objeto de discusión (intervención problematizada de carácter directivo), lo cual produce en Lluís una reacción inicial (intervención 23) que es simplemente una demanda de validación de la aportación efectuada por Père. El episodio termina con el
acuerdo de ambos alumnos. En particular, cuando Lluís comprende y da por válidas las aportaciones y justificaciones de Pere.
• La persistencia en la comprensión, por parte de Lluís, de la relación entre las bases del trapecio (intervenciones 23, 25 y 31) y del radio del hexágono (intervención 27) hace que se revisen determinados conceptos relacionados con los elementos del hexágono regular (radio de la circunferencia circunscrita y su relación con el lado del hexágono, igualdad de los lados del hexágono, condición de equiláteros de los triángulos obtenidos al unir el centro con cada uno de los vértices del hexágono).
• Los papeles comunicativos predominantes de los interlocutores son: a) Lluís desempeña el papel de realizar preguntas (generalmente demandas de aclaración y de confirmación —intervenciones 23, 25, 27 y 31—) y de validar las aportaciones realizadas por Pere (intervención 29, comienzo de la 31, 33 y 35), aunque las validaciones de las intervenciones 29 y 31 podemos considerarlas como "retroalimentación del discurso", y no como validaciones reales, si tenemos en cuenta que Lluís, al final de la intervención 31, vuelve a preguntar sobre la validez de la relación entre las bases del trapecio, dando a entender que todavía no tiene clara dicha relación; y b) Pere asume el papel principal de responder a las preguntas de Lluís (intervenciones 24, 26, 28 y 32), y en sus respuestas introduce elementos cognitivos nuevos (Figura 8.4.10).
Relación entre las