1.7 Fonctions m´ eromorphes ultram´ etriques
1.7.3 Valeurs sp´ eciales de la d´ eriv´ ee d’une fonction m´ eromorphe
Lemme 1.7.2. Soient h, l ∈ A(K) resp. h, l ∈ A(d(θ, R−)) telles que h0l − hl0 = c o`u c ∈ K. Alors,
(i) Si h et l appartiennent `a A(K) et si l’une des fonctions h, l n’est pas affine, alors c = 0 et h
l est une constante.
(ii) Si h et l appartiennent `a A(d(θ, R−)) et c 6= 0, alors il existe φ ∈ A(d(θ, R−)) telle que h00= φh et l00= φl.
(iii) Si K est de caract´eristique r´esiduelle nulle et h ∈ A(d(θ, R−)) est non affine et admet au moins deux z´eros dans d(θ, R−), alors c = 0 et h
l est une constante.
D´emonstration. — Supposons c 6= 0. Puisque h0l − hl0 = c, on en d´eduit que tous les z´eros de h et l sont des z´eros simples et h et l n’ont pas de z´eros communs. En plus, comme h0l − hl0 = c, on a h00l − hl00= 0 et donc
h00 h =
l00
l . (1.1)
Alors, tout z´ero simple de h est aussi un z´ero simple de h00. En effet, soit γ un z´ero simple de h qui n’est pas un z´ero de h00, donc γ est un pˆole simple de h
00
h et, d’apr`es (1.1), est un pˆole simple de l
00
l . Par cons´equent, γ est un z´ero de l, une contradiction. D’o`u on en d´eduit que φ = h
00
h n’a pas de pˆoles et donc φ ∈ A(K) resp. φ ∈ A(d(θ, R
−)). D’une
mani`ere similaire, on montre que chaque z´ero simple de l est aussi un z´ero de l00 et donc, il existe ψ ∈ A(K) resp. ψ ∈ A(d(θ, R−)) telle que ψ = l
00 l . Puisque h00 h = l00 l , on conclut que φ = ψ. D’o`u on obtient (ii).
Prenons maintenant h ∈ A(K) non affine. Du fait que h00 = φh, on a |h00|(r) = |φ|(r)|h|(r) ∀r ∈]0, +∞[. Mais, d’apr`es le Th´eor`eme 1.7.2, |h00|(r) ≤ 1
r2|h|(r)
∀r ∈]0, +∞[. Puisque h n’est pas affine, h00 n’est pas identiquement nulle. Par cons´equent
|φ|(r) ≤ 1
40 J. Ojeda - Fuentealba
c = 0, ce qui entraˆıne h0l − hl0 = 0 et h
l constante. D’o`u on obtient (i).
Supposons maintenant que la caract´eristique r´esiduelle de K est nulle et h ∈ A(d(θ, R−)) admet au moins deux z´eros dans d(θ, R−). Sans perte de g´en´eralit´e, on suppose θ = 0. Comme h ∈ A(d(0, R−)), elle peut ˆetre ´ecrite sous la forme
+∞
X
n=0
anxn et on peut trouver
un disque d(0, s) o`u s ∈]0, R[, tel que h a au moins q ≥ 2 z´eros dans d(0, s). Soit t ∈]s, R[ tel que h a exactement q z´eros dans d(0, t). Donc, d’apr`es le Th´eor`eme 1.5.3, on a |h|(r) = |aq|rq ∀r ∈]s, t[. Par cons´equent, on en d´eduit que |h00|(r) = |q(q − 1)||aq|rq−2
∀r ∈]s, t[. Mais, puisque K est de caract´eristique r´esiduelle nulle, on a |q(q − 1)| = 1 et donc |h00|(r) = |aq|rq−2 ∀r ∈]s, t[, c’est-`a-dire |h00|(r) =
1
r2|h|(r) ∀r ∈]s, t[, ce qui entraˆıne
|φ|(r) = 1
r ∀r ∈]s, t[. Mais φ ∈ A(d(0, R
−)) est non constante, donc elle ne peut pas ˆetre
une fonction d´ecroissante de r. Ainsi c = 0 et h
l. D’o`u on obtient (iii).
Remarque. L’hypoth`ese “h ou l non affine” est indispensable dans le th´eor`eme pr´ec´edent car, par exemple, si h(x) = 3x−2 et l(x) = x+5, on a (h0l −hl0)(x) = 3(x+5)−(3x−2) 6= 0 ∀x ∈ K une contradiction au th´eor`eme pr´ec´edent.
De mˆeme, l’hypoth`ese “h a au moins deux z´eros” est aussi indispensable dans le th´eor`eme pr´ec´edent. Voyons l’ exemple suivant :
Soit h(x) = exp(x) + exp(−x) et soit l(x) = exp(x) − exp(−x). Le rayon de conver- gence de h et l est p−p−11 si la caract´eristique r´esiduelle de K est p et 1 si la caract´eristique
r´esiduelle de K est 0. Si la caract´eristique r´esiduelle de K est 2, h a un z´ero et si la caract´eristique r´esiduelle de K est p 6= 2, h n’a pas de z´eros. Donc h a au plus un z´ero et h0(x)l(x) − h(x)l0(x) = 4 ∀x ∈ d 0, p−p−11 . On voit donc que h0l − hl0 peut ˆetre une
constante non nulle.
Remarque. Ici, on retrouve aussi le r´esultat suivant qui est bien connu et qui ne n´ecessite pas des propri´et´es ultram´etriques pour sa d´emonstration :
”Soit F un corps alg`ebriquement clos de caract´eristique nulle et soient P, Q ∈ F [x] o`u deg(P ) ≥ 2. Si P0Q − P Q0 = c, alors c = 0”.
D´emonstration. — En effet, supposons c 6= 0. Il est clair que P et Q n’ont pas de z´eros communs et tous les z´eros de P et Q sont simples. Donc P
00
P n’a pas de pˆoles et P
00 est un
Chap. 1 : Propri´et´es des fonctions m´eromorphes ultram´etriques 41
Th´eor`eme 1.7.10. Soit f ∈ M(K) qui n’est pas une homographie. Si f n’admet aucun pˆole multiple, alors la d´eriv´ee de f n’admet aucune valeur exceptionnelle.
D´emonstration. — Soit f ∈ M(K) et soient h, l ∈ A(K) sans z´eros communs, telles que f = h
l. Alors f
0 = h
0l − hl0
l2 . Par cons´equent, si l a seulement des z´eros simples, les fonc-
tions h0l − hl0 et l n’ont pas de z´eros communs. Donc, les z´eros de f0 sont exactement les z´eros de h0l − hl0.
Supposons que f0 n’a pas de z´eros. Donc h0l−hl0 non plus. Alors, il existe une constante c ∈ K \ {0} telle que h0l − hl0 = c, une contradiction au Lemme 1.7.2. Par cons´equent f0 a au moins un z´ero.
Supposons maintenant qu’il existe b ∈ K \ {0} qui soit une valeur exceptionnelle de f0. Mais f −bx et f ont les mˆemes pˆoles donc, d’apr`es le paragraphe ci-dessus, (f −bx)0 = f0−b a au moins un z´ero, une contradiction. Ainsi f0 n’a pas de valeurs exceptionnelles, ce qui ach`eve la d´emonstration.
Remarque. L’hypoth`ese “f n’a que des pˆoles simples” ne peut pas ˆetre omise puisque, par exemple, si f (x) = 1
x2 on a donc f
0(x) = − 2
x3, ce qui entraˆıne que 0 est une valeur
exceptionnelle.
Th´eor`eme 1.7.11. Soit f ∈ M(K) ∈ K(x) resp. f ∈ Mu(d(θ, R−)). S’il existe une
valeur b ∈ K tel que f − b n’a qu’un nombre fini de z´eros, alors pour chaque valeur c ∈ K non nulle, la fonction f0− c a une infinit´e de z´eros.
D´emonstration. — Sans perte de g´en´eralit´e, on suppose θ = 0.
Supposons que f − b et f0 − c n’ont qu’un nombre fini de z´eros, avec c 6= 0. Alors ces fonctions peuvent ˆetre ´ecrites sous la forme P
h et Q
l respectivement o`u P, Q ∈ K[x] et h, l ∈ A(K) resp. h, l ∈ A(d(0, R−)). Alors f0 − c = P
0h − P h0 − ch2
h2 et on a donc
(P0h − P h0− ch2) l = Q h2. (1.2)
Puisque f ∈ M(K)\K(x) resp. f ∈ Mu(d(θ, R−)), on en d´eduit que h aussi est trans-
cendante dans K resp. non born´ee dans d(0, R−)
et donc, pour r assez grand resp. assez proche de R, on a max |P0h|(r), |P h0|(r) < |h2|(r) ce qui entraˆıne
|P0h − P h0− ch2|(r) = |c||h2|(r). Par cons´equent, d’apr`es (1.2), on en d´eduit que
42 J. Ojeda - Fuentealba
D’autre part, d’apr`es le Th´eor`eme 1.7.2, pour r assez grand resp. assez proche de R, on a |P0h−P h0|(r) ≤ |P |(r)|h|(r)
r . Mais, d’apr`es (1.2), on a P
0h−hP0 = (Q+cl)h2 et on a
donc |Q+cl|(r)|h|(r) ≤ |P |(r)
r . Alors, du fait que h ∈ A(K)\K[x] resp. h ∈ Au(d(θ, R
−)),
on en d´eduit que |Q + cl|(r) tend vers 0 quand r tend vers +∞ resp. vers R−. Par cons´equent Q + cl = 0 et donc f0 = 0 ce qui entraˆıne que f est une constante, une contradiction `a l’hypoth`ese. Ainsi f0 − c a une infinit´e de z´eros.
Remarque. D’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent on peut d´eduire que si f ∈ M(K) \ K(x) ou bien si f ∈ Mu(d(θ, R−)), alors l’unique valeur quasi-exceptionnelle que f0 peut admettre
´
eventuellement est 0.
Le th´eor`eme pr´ec´edent est seulement int´eressant pour des fonctions m´eromorphes puisque si f ∈ A(K) ∈ K[x] resp. f ∈ Au(d(θ, R−)), d’apr`es le Corollaire 1.7.4.1, la conclusion
est imm´ediate, c’est-`a-dire que f et f0 prennent tous les valeurs finies une infinit´e de fois.