carr´es
9.5.1
Introduction
La d´ecomposition QR mince peut ˆetre utilis´e pour r´eduire la taille de V-BLAST de (nR× nT) `a (nT × nT), ce qui donne une r´eduction potentielle de la complexit´e.
Soit H = QR, o`u Q ∈ CnR×nT est une matrice avec des colonnes orthonormales, et R ∈ CnT×nT est triangulaire sup´erieure. Alors, le probl`eme des moindres carr´es, c’est `a dire, trouver le vecteur x qui minimise kHx−bk2, est ´equivalent au probl`eme
de trouver x qui minimise kRx − Q†bk2. Comme R est triangulaire, ce probl`eme
est r´esolu facilement.
Dans cette th`ese, on propose une utilisation de cette technique d’une fa¸con nou- velle : elle est utilis´ee dans les deux phases de V-BLAST pour acc´el´erer le calcul des pseudo-inverses et aussi de l’estimation des symboles sans pourtant augmenter le taux d’erreur. L’algorithme modifi´e est nomm´e dans la suite V-LS.
La version de V-BLAST, qui est probablement la plus rapide connue, est nomm´e ici V-SQR. Elle utilise aussi la d´ecomposition QR mince, mais d’une fa¸con sous- optimale pour ´eviter le calcul des pseudo-inverses.
Dans ce chapitre, ces trois algorithmes sont compar´es. Il a ´et´e trouv´e que, sous certaines conditions, V-LS est plus rapide que V-SQR. Des sc´enarios o`u le taux d’erreur de V-SQR est consid´erablement d´egrad´e, sont aussi d´ecrits.
9.5.2
D´ecomposition QR dans V-BLAST
V-BLAST peut ˆetre consid´er´e comme un algorithme pour r´esoudre un syst`eme d’´equations lin´eaires qui ont ´et´e perturb´es par le bruit. La solution du syst`eme doit appartenir `a la constellation S. Si le vecteur de bruit n est z´ero, et le vecteur re¸cu est r (voir ´equation (2.1)), alors V-BLAST donne la solution de moindres carr´es au probl`eme de trouver ˆa tel que kHˆa − rk2 a une norme minimale.
En pr´esence du bruit, V-BLAST ne trouve pas toujours la meilleur solution dans le sens de moindres carr´es ; par contre, il a une plus basse complexit´e que d’autres m´ethodes qui trouvent de meilleur solutions.
L’id´ee consiste `a utiliser la d´ecomposition QR pour modifier le syst`eme r = Ha + n, de la fa¸con suivante :
r = QRa + n
˜r = Ra + ˜n. (9.19)
Les statistiques du bruit ne sont pas chang´ees par cette op´eration, parce que les colonnes de Q sont orthonormales. En utilisant ces id´ees, un nouvel algorithme, nomm´e V-LS, est propos´e. V-BLAST et V-LS produisent exactement les mˆemes r´esultats.
9.5.3
L’algorithme QR ordonn´e
Si la d´ecomposition QR est utilis´e comme d´ecrit par (5.1), ˆa peut ˆetre trouv´e d’une fa¸con it´erative. Par exemple, ˆanT est donn´e par :
ˆ anT = fq ˜ rnT RnT,nT , et, en g´en´eral, pour 1 ≤ i < nT,
ˆ ai = ˜ rk− ˆdk Rk,k ,
o`u le terme ˆdk peut ˆetre consid´er´e comme de l’interf´erence ; il est d´etermin´e par :
ˆ dk= nT X j=k+1 Rk,jˆaj.
L’id´ee fondamentale du V-SQR est que la maximisation du SNR `a chaque pas, comme fait par V-BLAST, est ´equivalent `a ordonner les ´el´ements diagonaux de R Rk,kdu minimum au maximum. Alors, V-SQR fournit une proc´edure pour construire
une telle matrice R. Cette proc´edure entraˆıne une permutation des colonnes de H.
9.5.4
Analyse de la complexit´e et r´esultats de simulation
Compar´e `a V-BLAST, la phase de pr´eparation de V-LS r´ealise une d´ecomposition QR suppl´ementaire. Par contre, les pseudo-inverses sont r´ealis´ees sur une matrice nT × nT. Quant `a la phase d’estimation des symboles, on doit calculer une multipli-
cation vecteur-matrice suppl´ementaire, mais toutes les autres op´erations d´ependent seulement de nT et pas de nT et nR.
Quant `a V-SQR, il r´ealise une d´ecomposition QR modifi´ee qui est plus complexe que la d´ecomposition typique, parce qu’on doit permuter les colonnes de Q et R plusieurs fois. Aussi, les symboles estim´es doivent ˆetre permut´es pour les restituer l’ordre correct.
L’effet de la longueur du bloc L sur les algorithmes est ´etudi´e. Comme V-LS et V-SQR ont une structure identique `a celle de V-BLAST, on esp`ere que l’´equation (9.17) reste toujours valide.
Du point de vue de la complexit´e, un aspect important de V-LS et V-SQR est que seulement deux parmi les op´erations r´ealis´ees d´ependent de nR. Ces op´erations
sont la d´ecomposition QR mince initiale de H et le calcul de x = Q†r. Pour cette
raison, il est int´eressant d’´etudier comment leur complexit´e d´epend de nRpour de nT
constant. Aussi, les taux d’erreur par bloc de ces deux algorithmes sont compar´es.
9.5.5
Taux d’erreurs par bloc
Les figures 5.1 `a 5.4 montrent le taux d’erreur BLER de V-LS et V-SQR. On peut conclure que, pour des valeurs de nR plus grandes que nT, le taux
d’erreur par bloc de V-SQR est similaire `a celui de V-BLAST. Pour nT proche `a nR,
pourtant, la diff´erence devient significative.
Complexit´e comme fonction de L
Le comportement de Oben fonction de L a ´et´e ´etudi´e. La contribution de la phase
celui de la phase d’estimation des symboles augmente. Les r´esultats sont montr´es dans les figures 5.5 `a 5.7.
Comme conclusion, l’avantage de complexit´e pr´esent´e par V-SQR se voit r´eduit si L augmente, avec un effet plus prononc´e si nR est grand. Les raisons de cela
sont la complexit´e ajout´e par la mise en ordre des symboles dans la phase d’esti- mation (op´eration qui n’existe pas en V-LS), et l’importance r´eduite de la phase de pr´eparation si L est grand.
Complexit´e en fonction de nR
Pour nT constant, on a d´etermin´e le comportement de Ob en fonction de nR. Les
r´esultats sont montr´es dans la figure 5.8.
C’est ´evident que V-LS et V-SQR ont une complexit´e qui est significativement plus petite que celle de V-BLAST. Cependant, quand nR est suffisamment grand,
V-LS est moins complexe que V-SQR.
La diff´erence dans la pente de Ob entre V-BLAST et les deux autres techniques
qui sont pr´esent´ees dans la figure 5.8 est remarquable ; la raison de cette diff´erence est l’influence moindre de nR sur la plupart des op´erations r´ealis´ees par ces deux
algorithmes.
Chaque algorithme, V-LS et V-SQR, a des avantages et d´esavantages. Le tableau 5.1 pr´esente un r´esum´e des circonstances o`u chaque algorithme est une meilleur choix que l’autre.
9.5.6
R´esultats exp´erimentaux
Comme il a ´et´e d´ecrit avant, V-LS a ´et´e implant´e dans un DSP TMS320C6711 pour diff´erents valeurs de L, avec nT = 2 et nR 3, 6 et 23. Les r´esultats confirment
les pr´edictions : la complexit´e diminue avec L et V-LS est substantiellement plus rapide que V-BLAST pour des nRgrands. Ces r´esultats son montr´es dans les figures
5.9 `a 5.11.