Vérification de CL1D par la méthode des solutions manufacturées

La méthode des solutions manufacturées telle que décrite par Roache [39] est une technique de vérification où l’on construit une solution exacte au modèle testé, permettant de vérifier que le solveur n’introduit pas d’erreur et n’ait pas de comportement erroné.

La méthode consiste à définir analytiquement et de manière arbitraire une solution (u(x), k(x), (x)...) au problème dont on veut vérifier l’implémentation. Cette solution, dite manu- facturée, n’a pas besoin d’être physique. En effet, la vérification consiste à s’assurer que les équations soient résolues correctement, peu importe si elles décrivent la réalité ou non. Plus spécifiquement, on ajoute des termes source Q dans les équations du modèle, ici le système (3.23) à la page 42. En substituant la solution manufacturée dans les équations du

modèle, on détermine la valeur de ces termes source, qui sont ensuite ajoutés aux équations, de sorte que la solution manufacturée soit la solution exacte du système d’équations modifiées. Connaissant alors une solution exacte, il devient facile de voir si l’erreur de la solution calculée tend bien vers 0 lorsque le maillage est raffiné, car on peut calculer l’erreur exacte. On s’intéresse notamment aux taux de convergence auxquels l’erreur diminue, qu’on compare aux taux théoriques attendus.

Cet exercice permet par le fait même de vérifier le processus d’estimation d’erreur et d’adap- tation de maillage. Il devient effectivement facile de voir si l’erreur estimée approche adé- quatement l’erreur exacte. Une différence entre le comportement attendu de l’erreur et le comportement observé témoigne d’un problème dans l’implémentation ou dans la résolution numérique des équations.

Une solution manufacturée unidimensionnelle est construite sur un domaine de hauteur uni- taire 0 ≤ y ≤ 1. Elle est définie par

u(y) = sin(2πy)

2π + y (5.1a)

k(y) = sin2(πy) (5.1b)

(y) = sin(πy) (5.1c)

w(y) = cos(2πy) + 1 (5.1d)

Cette solution est conçue pour ressembler (très) vaguement à un écoulement de Couette turbulent et surtout pour conserver les conditions limites propres au modèle bas-Reynolds. Également, elle est conçue pour s’assurer que les termes tels µt demeurent définis lorsque k et  tendent vers 0 près des parois. Les conditions limites sont

u(0) = 0 , u(1) = 1 k(0) = k(1) = 0

(0) = (1) = 0

Le problème est résolu sur une succession de maillages adaptatifs avec des éléments linéaires puis quadratiques. Dans les deux cas, le maillage de départ compte 50 éléments uniformément répartis. Les maillages finaux comptent respectivement 6280 éléments linéaires et 3904 élé- ments quadratiques.

Les figures 5.1 et 5.2 illustrent les erreurs (estimée, exacte et de reconstruction) définies par (2.17) à la page 22, ainsi que l’indice d’efficacité θ, respectivement pour des éléments linéaires et quadratiques, en fonction du nombre de nœuds N .

Puisque l’erreur est calculée en norme H1 _{pour toutes les variables, les taux de convergence}

attendus sont O(hp_{), avec p = 1 pour les éléments linéaires et p = 2 pour les éléments} quadratiques. Les taux de convergence observées sont donnés au tableau 5.1 et sont égale- ment visibles graphiquement, en comparant aux droites donnés en référence. Les taux de convergence sont généralement tels qu’attendus. Quelques exceptions sont toutefois à noter.

Tableau 5.1 Ordres de convergence de l’erreur

P1 P2

u k  w u k  w

Erreur estimée 1.000 1.001 1.000 1.001 2.000 1.996 1.995 1.000 Erreur exacte 1.000 1.000 1.001 1.001 2.000 2.000 2.000 1.000 Erreur de reconstruction 1.843 1.003 0.990 1.497 2.001 1.989 1.990 1.500 En P1, on note la superconvergence de l’erreur de reconstruction pour u et w. Ceci est illustré par des pentes plus prononcés que la droite de référence d’ordre 1 à la figure 5.1c et par les ordres donnés au tableau 5.1. Il n’est pas clair pourquoi seules ces deux variables exhibent ce comportement. Également, on observe que l’indice d’efficacité de k et  ne tendent pas vers l’unité, mais plutôt vers une constante de l’ordre de 90%. Ceci s’explique à partir de l’erreur de reconstruction pour ces variables, qui converge au même ordre que l’erreur exacte. Ainsi, il persiste un décalage entre l’erreur exacte et l’erreur estimée. À l’opposé, l’erreur de reconstruction étant d’ordre plus élevée pour u et w, l’indice d’efficacité de ces variables tend vers l’unité tel que voulu par le théorème 2.1 (page 23).

En P2, l’ordre de convergence pour w, tant pour l’erreur exacte qu’estimée, est de 1. On pourrait pourtant croire que cet ordre devrait être de 2. Or, il faut faire attention. La va- riable w est en soi la projection de la dérivée de u. En d’autres mots, l’ordre de convergence de la dérivée de u est d’un ordre inférieur à l’ordre de convergence de u. Ce comportement est normal. Notons que l’erreur de reconstruction est d’un ordre d’environ 1.5, ainsi θw tend tout de même vers 1. Il n’est pas clair pourquoi il y a une différence d’un demi-ordre pour l’erreur de reconstruction de w. On remarque également que l’indice d’efficacité de k et  est très faible sur le premier maillage (Figure 5.1d). Ceci se traduit par une différence marquée entre les erreurs estimée et exacte. Ceci s’explique par la grossièreté du maillage de départ. Dès le premier maillage adaptatif, l’erreur estimée rejoint l’erreur exacte, donnant un indice d’efficacité beaucoup plus raisonnable. On peut supposer que le maillage de départ se situe en dehors de la région de convergence asymptotique.

101 ₁₀2 ₁₀3 ₁₀4 N 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 ||e||

(a) Erreur estimée

101 ₁₀2 ₁₀3 ₁₀4 N 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 ||e|| (b) Erreur exacte 101 ₁₀2 ₁₀3 ₁₀4 N 10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 ||e|| (c) Erreur de reconstruction 101 ₁₀2 ₁₀3 ₁₀4 N 0.86 0.88 0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1 1.02 u k w (d) Indice d’efficacité

102 103 104 N 10-10 10-8 10-6 10-4 10-2 100 ||e||

(a) Erreur estimée

102 103 104 N 10-10 10-8 10-6 10-4 10-2 100 ||e|| (b) Erreur exacte 102 103 104 N 10-10 10-8 10-6 10-4 10-2 100 ||e|| (c) Erreur de reconstruction 102 103 104 N 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 u k w (d) Indice d’efficacité

Dans tous les cas, le taux de convergence de l’erreur de reconstruction est soit du même ordre ou d’un ordre plus élevé que l’erreur exacte. Tel que discuté à la section 2.4.2, l’ordre de convergence de l’erreur de reconstruction devrait être plus élevé que celui de l’erreur exacte pour assurer que l’estimateur soit asymptotiquement exact. Or, dans plusieurs cas, les taux observés sont du même ordre, ainsi θ tend vers une constante différente de 1. De manière générale, ces constantes sont suffisamment proches de l’unité pour bien piloter le processus d’adaptation de maillage.