Como j´a antecipamos, intuitivamente, uma fun¸c˜ao f ´e cont´ınua em um ponto x0 do
seu dom´ınio se f (x) est´a pr´oximo de f (x0) quando x est´a pr´oximo de x0. Induzidos pela
discuss˜ao que precedeu a defini¸c˜ao de limite de fun¸c˜oes, somos tentados a dizer que f : A → R ´e cont´ınua em x0 quando
lim
x→x0
f (x) = f (x0). (7.3)
´
E quase isto, mas n˜ao exatamente. O problema ´e um “detalhe t´ecnico”. A defini¸c˜ao de lim
x→x0
f (x) exige que x0 seja ponto de acumula¸c˜ao de A. Por outro lado, para que f (x0) tenha
sentido devemos ter x0 ∈ A. Estas duas condi¸c˜oes podem ser incompat´ıveis (veremos no
exemplo 7.7). Entretanto, quando x0 verificar ambas as condi¸c˜oes a defini¸c˜ao que faremos
ser´a equivalente a (7.3).
Exemplo 7.6. Seja A = [0, 1) ∪ {2}. Temos que 2 ∈ A mas 2 /∈ A \ {2} = [0, 1]. Dada f : A → R, f(2) tem sentido ao contr´ario de limx→2f (x). Por outro lado, 1 /∈ A e 1 ∈ A \ {1} = [0, 1]. Logo, n˜ao existe f(1), por´em, pode existir lim
x→1f (x).
DEFINIC¸ ˜AO 143. Sejam f : A ⊂ R → R e x0 ∈ A. Dizemos que f ´e cont´ınua em x0 se
∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que x ∈ A, |x − x0| < δ implica que |f(x) − f(x0)| < ε.
DEFINIC¸ ˜AO 144. Dizemos que f ´e cont´ınua em A se f ´e cont´ınua em todo ponto de A e escrevemos f ∈ C(A). Mais precisamente, f ∈ C(A) se
Alguns autores costumam denotar por C0(A), em vez de C(A), ao conjunto das fun¸c˜oes
cont´ınuas em A.
Vamos introduzir a defini¸c˜ao de fun¸c˜ao cont´ınua na linguagem de conjuntos do Cap´ıtulo 1, utilizando a nota¸c˜ao da Defini¸c˜ao 122, p.90. A demonstra¸c˜ao da equivalˆencia com a defini¸c˜ao anterior ´e o exerc´ıcio 16, p.115.
DEFINIC¸ ˜AO 145. Sejam f : A ⊂ R → R e x0 ∈ A. Dizemos f ´e cont´ınua em x0 se
∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que f(Bδ(x0) ∩ A) ⊂ Bε(f (x0)).
Observe que a defini¸c˜ao de continuidade tem (como esper´avamos) uma rela¸c˜ao muito grande com a defini¸c˜ao de limite. Por esta raz˜ao, podemos facilmente adaptar os argumentos dos exemplos 7.2, 7.3 e 7.4 para mostrar que s˜ao cont´ınuas as fun¸c˜oes f, g, h : A ⊂ R → R dadas por f (x) = c, g(x) = x e h(x) = x2 para todo x ∈ A.
Exemplo 7.7. Este exemplo pretende acabar com o mito, geralmente apresentado nos cursos de C´alculo I, que diz que fun¸c˜oes cont´ınuas s˜ao aquelas cujos gr´aficos s˜ao tra¸cados sem tirar o l´apis do papel. Considere a fun¸c˜ao g : N → R dada por g(n) = n para todo n ∈ N. Fa¸ca um esbo¸co do gr´afico de g e conven¸ca-se que n˜ao ´e poss´ıvel desenh´a-lo sem tirar o l´apis do papel. Ora, a fun¸c˜ao g ´e a mesma do par´agrafo anterior (com A = N) que, como j´a sabemos, ´e cont´ınua! Vocˆe est´a duvidando? Vejamos com mais detalhes. Sejam ε > 0 e n ∈ N. Se x ∈ N e |x − n| < 1/2, ent˜ao x = n e, portanto, |g(x) − g(n)| = 0 < ε. Conclu´ımos que g ´e cont´ınua em n e, como n ´e arbitr´ario, que g ´e cont´ınua!
Observe que tomamos δ = 1/2 independente de ε e de n. Mais que isto, nem a defini¸c˜ao de g foi necess´aria na demonstra¸c˜ao. Moral da hist´oria: fun¸c˜oes definidas em N s˜ao sempre cont´ınuas.
Passemos imediatamente `as proposi¸c˜oes que nos poupam, em muitos casos, o trabalho com ε’s e δ’s. Todas elas tˆem demonstra¸c˜oes an´alogas `aquelas encontradas na Se¸c˜ao 7.1. Por esta raz˜ao omitiremos suas provas.
PROPOSIC¸ ˜AO 146. Sejam f : A ⊂ R → R e x0 ∈ A. A fun¸c˜ao f ´e cont´ınua em x0 se, e
somente se, lim
n→+∞f (xn) = f (x0) para toda sequˆencia (xn)n∈N⊂ A convergente para x0.
A proposi¸c˜ao anterior, essencialmente, nos diz que fun¸c˜oes cont´ınuas s˜ao aquelas que comutam com o s´ımbolo de limite, ou seja, f ´e cont´ınua se, e somente se,
lim n→+∞f (xn) = f lim n→+∞xn ,
desde que a sequˆencia (xn)n∈N esteja contida no dom´ınio de f e seja convergente para um
ponto deste conjunto.
Exemplo 7.8. Seja f : R → R, dada por f(x) = 1 se x ∈ Q, 0 se x /∈ Q. Dado x0 ∈ R arbitr´ario,
tomando sequˆencias (xn)n∈N ⊂ Q e (yn)n∈N ⊂ Q∁ convergentes para x0, obtemos que
PROPOSIC¸ ˜AO 147. (conjunto de fun¸c˜oes cont´ınuas forma espa¸co vetorial e ´
algebra) Sejam f, g : A ⊂ R → R cont´ınuas e c ∈ R, ent˜ao cf, f + g, f − g e fg s˜ao cont´ınuas. Al´em disto, a fun¸c˜ao f /g est´a definida e ´e cont´ınua nos pontos de A onde g n˜ao se anula.
PROPOSIC¸ ˜AO 148. (compostas de fun¸c˜oes cont´ınuas) Sejam f : A ⊂ R → R e g : B ⊂ R → A tais que f(A) ⊂ B. Se f ´e cont´ınua em x0 e g ´e cont´ınua em y0 = f (x0),
ent˜ao g ◦ f ´e cont´ınua em x0. Segue que se f e g s˜ao cont´ınuas, ent˜ao g ◦ f ´e cont´ınua.
Demonstra¸c˜ao. Seja (xn)n∈N ⊂ A convergente para x0. Como f ´e cont´ınua temos que
f (xn) → f(x0) = y0, e como g ´e cont´ınua em y0 temos que g(f (xn)) → g(y0) = g f (x0)
. Segue que g ◦ f ´e cont´ınua em x0.
PROPOSIC¸ ˜AO 149. (permanˆencia de sinal) Seja f : A ⊂ R → R cont´ınua em x0 ∈ A.
Se f (x0) < k ∈ R, ent˜ao existe δ > 0 tal que f(x) < k para todo x ∈ A tal que |x − x0| < δ.
Temos uma conclus˜ao an´aloga se f (x0) > k.
Vamos ver o conceito de continuidade utilizando a ideia de oscila¸c˜ao de uma fun¸c˜ao. DEFINIC¸ ˜AO 150. Dado um conjunto limitado X definimos seu diˆametro
diam(X) = sup{|x − y|, x, y ∈ X}.
Note que este conceito est´a bem definido em Rn, bastando trocar |x − y| por kx − yk.
De forma ainda mais geral, se tivermos uma distˆancia d(x, y) bem definida, podemos trocar |x − y| por d(x, y).
DEFINIC¸ ˜AO 151. Considere f uma fun¸c˜ao limitada. Definimos a oscila¸c˜ao de f : A → R em x ∈ A por
w(f ; x) = inf{diam (f(Bδ(x) ∩ A)) ; δ > 0}.
LEMA 152. (fun¸c˜ao cont´ınua e oscila¸c˜ao) Considere f : A → R. A fun¸c˜ao f ´e cont´ınua em A se, e somente se, w(f ; x) = 0 para todo x ∈ A.
Demonstra¸c˜ao. Ver exerc´ıcio 20, p.115.
Vamos apresentar o primeiro de trˆes Teoremas que fazem a conex˜ao entre topologia e fun¸c˜oes cont´ınuas. Essencialmente diz que a imagem inversa de aberto ´e um aberto se a fun¸c˜ao ´e cont´ınua.
TEOREMA 153. (imagem inversa de aberto ´e aberto) Seja A ⊂ R aberto. Ent˜ao f : A → R ´e cont´ınua se, e somente se, para todo aberto B, f−1(B) ´e aberto.
Demonstra¸c˜ao. Nesta demonstra¸c˜ao vamos utilizar a Defini¸c˜ao 145 de continuidade. Suponha f cont´ınua. Se f−1(B) = ∅ ent˜ao ´e aberto. Caso contr´ario temos que provar
que f−1(B) ´e aberto. Considere x
0 ∈ f−1(B), que implica que f (x0) ∈ B, com B aberto
por hip´otese. Logo existe ε > 0 tal que Bε(f (x0)) ⊂ B. Pela continuidade da f em A,
lados, que x0 ∈ Bδ(x0) ∩ A ⊂ f−1(B). Como A ´e aberto, Bδ(x0) ∩ A ´e aberto (interse¸c˜ao
de abertos) que cont´em x0. Logo f−1(B) ´e aberto.
Suponha agora que f−1(B) ´e aberto para todo aberto B. Tome x
0 ∈ A (se A for vazio
n˜ao h´a nada para ser provado) e y0 = f (x0). Isto implica que para todo ε > 0, f−1(Bε(y0))
´e aberto. Logo existe δ > 0 tal que Bδ(x0) ⊂ f−1(Bε(y0)). Aplicando f dos dois lados,
f (Bδ(x0)) ⊂ Bε(y0). Logo f (Bδ(x0) ∩ A) ⊂ f(Bδ(x0)) ⊂ Bε(y0), isto ´e, f ´e cont´ınua em
x0.
Este resultado ´e utilizado em cursos de Topologia para definir fun¸c˜ao cont´ınua utilizando somente abertos, sem utilizar ´epsilons e deltas!