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Nesta seção recorda-se noções elementares de topologia necessárias para relacionar espaços topológicos com CPO’s. Assim será possível obter propriedades topológicas a partir da ordem e vice-versa. Os resultados desta seção podem ser apreciados com mais detalhes em (LIMA, 2009;KELLEY, 1975;MUNKRES, 2000;WILLARD, 2004).

Definição 2.21. Seja X um conjunto não vazio. Uma classe T de subconjuntos de X é uma topologia emX se, e somente se, T satisfaz os seguintes axiomas:

(i) ∅ e X pertencem a T

(ii) Dada uma família arbitrária {Aλ}λ∈L, com Aλ ∈ T , para todo λ ∈ L, tem-se que

S

λ∈L

Aλ ∈ T

(iii) Se A1, A2 ∈ T , então A1∩ A2 ∈ T .

Os elementos deT chamam-se conjuntos abertos, o par (X, T ) é chamado um espaço topoló- gico. Sempre que o contexto permitir, por simplicidade, diz-se queX é um espaço topológico.

Exemplo 2.24. Todo conjunto X não vazio possui as seguintes topologias:

(i) Tind = {∅, X}, chamada topologia indiscreta ou trivial. Os únicos subconjuntos abertos

deX são ∅ e o próprio X;

As topologias discretas e trivial representam extremos opostos. Os próximos exemplos mostram topologias nem discretas e nem triviais.

Exemplo 2.25. Seja X = {0, 1} e T = {∅, {1}, X}. Então T é uma topologia em X, conhe- cida como topologia de Sierpinski.

Exemplo 2.26. Seja X = {a, b, c}. As famílias {∅, X, {a}} e {∅, X, {a}, {b}, {a, b}} de sub- conjuntos deX são uma topologia em X.

Exemplo 2.27. Seja X = R e definamos a seguinte coleção de subconjuntos de R:

T = {A ⊆ R | A = ∅ ou ∀x ∈ A, ∃(a, b) ⊆ R tal que x ∈ (a, b) ⊆ A}.

Neste caso,(X, T ) é um espaço topológico e T é chamada topologia euclidiana ou usual da reta.

Seja S um subconjunto de um espaço topológico X. Um ponto x ∈ S chama-se um ponto interior de S quando existe um aberto A de X tal que x ∈ A ⊂ S. O interior de S é o conjunto int(S) formado pelos pontos interiores de S.

Proposição 2.4. O interior de um conjunto S, num espaço topológico X, é a união de todos os subconjuntos abertos deX que estão contidos em S. Em particular, int(S) é aberto em X.

Demonstração. Seja A = ∪λAλ a união de todos os abertos Aλ ⊂ S. Então, A é aberto em X

e A ⊂ S. Logo, x ∈ A implica x ∈ int(S). Assim, A ⊂ int(S). Reciprocamente, se x ∈ int(S) existe um aberto A0em X tal que x ∈ A0 ⊂ S. Logo A0 _{= A}

λ para algum λ e portanto A0 ⊂ A.

Isto mostra que x ∈ A, donde int(S) ⊆ A.

Corolário 2.1. S é aberto se, e somente se, S = int(S).

Definição 2.22. Se X é um espaço topológico e F ⊆ X, dizemos que F é fechado se X\F é aberto.

Proposição 2.5. Seja X um espaço topológico e F uma família de subconjuntos fechados de X. Então F tem as seguintes propriedades:

(i) ∅ e X pertencem a F ;

(ii) Se F1, F2 ∈ F então F1 ∪ F2 ∈ F ;

Para lidar mais facilmente com uma topologia, usa-se muitas vezes uma coleção menor de abertos, B ⊆ T , chamada uma base da topologia.

Definição 2.23. Seja X um espaço topológico. Uma coleção de abertos B de X diz-se uma base de abertos deX se todo aberto de X escreve-se como uma união de abertos de B.

Proposição 2.6. B é uma base de abertos para X se, e somente se, para todo aberto A ⊆ X e x ∈ A, existe B ∈ B tal que x ∈ B ⊆ A.

Demonstração. (⇐) Seja A um aberto de X. Então para todo x ∈ A existe Bx ∈ B tal que

x ∈ Bx ⊆ A. A = ∪x∈A{x} ⊆ ∪x∈ABx ⊆ A. Portanto A = ∪x∈ABx. (⇒) Segue direto da

Definição 2.23.

Definição 2.24. Seja (X, T ) um espaço topológico. Um subconjunto S ⊆ T diz-se uma sub- base paraT se o conjunto

B = {B | B é a interseção de uma quantidade finita de membros de S}

é uma base paraT .

Exemplo 2.28. A família S = {(−∞, a) ou (b, +∞) | a, b ∈ Q} forma uma sub-base (enume- rável) para a topologia usual da reta.

Sob o prisma computacional, é bastante relevante o fato de uma topologia sobre X possuir base enumerável. Isto motiva a seguinte definição.

Definição 2.25. (segundo axioma de enumerabilidade) Diz-se que um espaço topológico (X, T ) satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade se ele possui uma base enumerável.

A reta com a topologia usual satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade, visto que B = {(a, b) | a, b ∈ Q} é uma base enumerável.

Dado um espaço topológico (X, T ) e um conjunto Y ⊆ X, a próxima definição explica como Y herda a topologia de X de maneira bastante natural.

Definição 2.26. (Topologia induzida) Seja (X, T ) um espaço topológico e Y ⊆ X. Diz-se que (Y, TY) é um subespaço topológico de (X, T ) se TY é uma coleção de abertos emY obtidos

pela intersecção deY com cada conjunto aberto na topologia T .

Ao indicar os conjuntos abertos em X, isto é, ao fixar uma topologia em X, estamos es- pecificando “graus de proximidade” entre pontos de X. Quando dois pontos estão em um

mesmo aberto, eles são “próximos” no sentido deste aberto. Tal proximidade entre pontos em um mesmo aberto pode ser interpretada como uma mesma propriedade que esses pontos sa- tisfazem. Assim, dados dois elementos x e y de um espaço topológico (X, T ), é pertinente perguntar como esses dois elementos estão relacionados com respeito aos abertos de T . Em outras palavras, dados dois elementos distintos x e y, existem propriedades de x que não são propriedades de y? e vice-versa. Desta forma, é possível classificar os espaços topológicos como segue.

Definição 2.27. Um espaço topológico (X, T ) diz-se T0 se dados dois pontos distintos de X

existe um aberto que contém um e não contém o outro e vice-versa. Em outras palavras, se todo aberto que contém um também contém o outro, então eles são o mesmo.

Exemplo 2.29. O espaço topológico de Sierpinski ({0, 1}, {∅, {1}, X}) do Exemplo 2.25 é T0.

O aberto{1} contém o elemento 1, mas não contém o elemento 0.

Definição 2.28. Seja (X, T ) um espaço topológico e A ⊆ X um subconjunto de X. O fecho deA, denotado por A, é a interseção de todos os conjuntos fechados de X que contêm A. Em particular,A é um conjunto fechado.

A próxima proposição tem por objetivo caracterizar os espaços T0.

Proposição 2.7. Seja (X, T ) um espaço topológico e x, y ∈ X com x 6= y. Então todo conjunto aberto que contémx ou y contém ambos se, e somente se, {x} = {y}.

Demonstração. (⇒) Suponha que todo conjunto aberto que contém x ou y contém ambos. Seja z ∈ {x}. Então todo conjunto aberto que contém z também contém x. De fato, se A é um aberto que contém z, mas não contém x, então X\A é um fechado que contém x, mas não contém z. Logo z poderia não estar em {x}. Como todo conjunto aberto que contém x também contém y, e todo aberto que contém z contém y, segue-se que z ∈ {y}. Logo {x} ⊆ {y}. Analogamente demonstra-se que {y} ⊆ {x}. Portanto {x} = {y}.

(⇐) Suponha {x} = {y}. Então x ∈ {x} e x ∈ {y}. Analogamente, y ∈ {x}. Suponha A ∈ T com x ∈ A e y /∈ A. Então X\A é um conjunto fechado tal que y ∈ X\A e x /∈ X\A. Mas {y} ⊆ X\A e X\A fechado acarreta {y} ⊆ X\A e daí x /∈ {y}, o que é um absurdo. Portanto, não existe conjunto aberto que contenha y mas não contenha x.

Corolário 2.2. Um espaço topológico (X, T ) é T0 se, e somente se, parax, y ∈ X com x 6= y,

entãox /∈ {y} ou y /∈ {x}.

Definição 2.29. Um espaço topológico (X, T ) diz-se T1 se para cada x, y ∈ X com x 6= y

Proposição 2.8. Um espaço topológico (X, T ) é T1 se, e somente se, para cadax ∈ X, tem-se

{x} = {x}.

Demonstração. (⇒) Suponha que X é um espaço T1, x ∈ X tal que z ∈ {x} e z 6= x. Então

todo aberto contendo z deve conter x. Logo, não existe aberto contendo z que exclua x, um absurdo já que X é T1. Portanto {x} = {x} para todo x ∈ X.

(⇐) Suponha que {x} = {x} para cada x ∈ X e y, z ∈ X com y 6= z. Se todo aberto que contém y contém também z, então z ∈ {y} = {y}. Assim, temos que y = z, o que é uma contradição. Portanto, existe um aberto que contém y, mas não contém z. Analogamente, existe um aberto que contém z, mas não contém y.

Corolário 2.3. Um espaço topológico (X, T ) é T1 se, e somente se, todo conjunto unitário é

um subconjunto fechado deX.

Definição 2.30. (Espaços de Hausdorff) Um espaço topológico (X, T ) é T2ou de Hausdorff se

dadosx, y ∈ X com x 6= y existem A, A0 ∈ T com x ∈ A, y ∈ A0_{eA ∩ A}0 _{= ∅.}

Seja (X, T ) um espaço topológico T0. A partir da topologia T é possível definir uma

relação de ordem sobre X como segue:

x, y ∈ X, x ≤ y ⇔ todo A ∈ T que contém x, contém y.

Proposição 2.9. hX, ≤i é uma ordem parcial.

Demonstração. As propriedades reflexiva e transitiva seguem imediatamente da definição da relação, enquanto que a antissimetria é exatamente a definição da topologia ser T0.

Assim, a todo espaço topológico T0está associada uma ordem parcial gerada pela topologia.

Reciprocamente, será visto a seguir que, dado um CPO, existe uma topologia T0, a topologia

de Scott, que é compatível com a ordem.