Usage de splines interpolantes pour l’approximation des coefficients g j

Dans l’approche propos´ee, la technique de l’interpolation par fonctions B-splines a ´et´e utilis´ee pour effectuer le calcul approch´e des coefficients de la SR sur la base des polynˆomes d’Hermite.

Nous rappelons la forme g´en´erale d’un tel coefficient g_j, d´efini en (4.14) : g_j =c⁻¹_j

Z

IR^M g(x)Ψ_j(x)ϕ_M(x)dx

o`u Ψ_j est un polynˆome d’Hermite sur IR^M, d’ordre≤op,ϕ_M la densit´e de probabilit´e gaussienne standard etc_j l’esp´erance du carr´e de Ψ_j(X), avec^o c_j = Q^M

i=1

α_i! (cf. annexe C), o`u (α₁, . . . , α_M)∈ IN^M est un multi-indice tel que P^M

i=1

α_i ≤op.

Nous faisons donc le choix arbitraire de l’interpolation pas spline, en vue d’approcher l’int´egrale

Chapitre 4 : D´eveloppement d’une MEFS pour des probl`emes non lin´eaires 82 g<sub>j</sub>; nous ne reviendrons pas sur ce choix dans ce chapitre. N´eanmoins, nous souhaitons discuter celui de la fonction `a interpoler. Plusieurs cas de fonctions `a interpoler sont envisageables :

• premier cas (retenu dans l’approche propos´ee) : la fonction interpol´ee est g; notons S₀, la spline d´efinie sur un domaine d’interpolation Ω ⊂IR^M, interpolante, telle que, aux N_I points d’interpolation :

S₀(x_i) =g(x_i), x_i ∈Ω, i= 1, . . . , N_I (4.40) Le coefficient g_j est alors approch´e par :

g_j 'g˜_j⁰=c⁻¹_j Z

Ω

S₀(x)Ψ_j(x)ϕ_M(x)dx=c⁻¹_j IE[S₀(X)Ψ^o _j(X)ϕ^o _M(X) ]^o (4.41)

•deuxi`eme cas : la fonction interpol´ee estgϕ_M; notonsS₁, la spline interpolante, telle que, aux N_I points d’interpolation :

S₁(x_i) =g(x_i)ϕ_M(x_i) x_i ∈Ω, i= 1, . . . , N_I (4.42) Le coefficient approch´e ˜g_j¹ s’´ecrit :

˜

g¹_j =c⁻¹_j Z

Ω

S₁(x)Ψ_j(x)dx=c⁻¹_j IE[S₁(X)Ψ^o _j(X) ]^o (4.43)

• troisi`eme cas : la fonction interpol´ee estgΨ_jϕ_M ; notons S₂^j la spline interpolante, telle que, aux NI points d’interpolation,

S₂^j(xi) =g(xi)Ψj(xi)ϕM(xi), xi ∈Ω, i= 1, . . . , NI (4.44) Le coefficient approch´e ˜g_j² s’´ecrit :

˜

g_j² =c⁻¹_j Z

Ω

S₂^j(x)dx =c⁻¹_j IE[S₂^j(X) ]^o (4.45) Les splinesS₁ et S₂^j semblent de prime abord pr´esenter un avantage int´eressant : les ´eventuelles approximations dues `a l’interpolation aux fronti`eres du domaine Ω sont fortement att´enu´ees, voire n´egligeables grˆace au facteurϕ_M : en effet, aux points d’exp´eriencex_i, proches des fronti`eres du domaine Ω de d´efinition deg, la DP gaussienne standardϕ<sub>M</sub>, prend des valeurs tr`es faibles.

L’´ecriture des conditions aux limites (cf. annexe D) peut alors ˆetre simplifi´ee et n’exige plus n´ecessairement le calcul num´erique de d´eriv´ees : dans le cas d’une spline S₁, une condition de d´eriv´ees nulles semble mˆeme envisageable.

Dans le cas d’une spline interpolante S₁, nous montrons cependant dans l’exemple suivant que les erreurs d’interpolation aux fronti`eres du domaine Ω peuvent ˆetre amplifi´ees par les valeurs

´elev´ees qui y sont prises par les polynˆomes d’Hermite.

Pour illustration, consid´erons ici l’exemple des fonctions suivantes :

• g₁ : (x₁, x₂)−→g₁(x₁, x₂) = (x³₂−x₂+ 5)×g^∗(x₁)

o`u : g^∗(x₁) =

x³₁−5x₁ si x₁ <0 ;

7x²₁ sinon. (4.46)

• g₂ : (x₁, x₂)−→g₂(x₁, x₂) =g₁(x₁, x₂)× e^{−12(x21+x22)} 2π

Nous choisissons d’interpoler la fonction g₂ =g₁ϕ_M, o`uϕ_M est la densit´e de probabilit´e gaus-sienne standard et de repr´esenter la fonctiong₂ sur [−4,4]×[−4,4], car les valeurs de la fonction

Chapitre 4 : D´eveloppement d’une MEFS pour des probl`emes non lin´eaires 83 Fig. 4.1 – Interpolation de la fonctiong2

interpol´ee pour (x₁, x₂)∈IR²\[−4,4]×[−4,4] apparaissent n´egligeables.

La figure 4.1 (a) montre la fonction `a interpoler, qui est ici non lin´eaire et non diff´erentiable en x<sub>1</sub> = 0. La figure 4.1 (b) montre l’exemple d’une spline interpolante, pour une qualit´e d’in-terpolation fix´ee (N<sub>I</sub> = 10×10), relativement fid`ele `a la fonction exacte (Fig. 4.1 (a)). Cette figure illustre un avantage de la strat´egie d’une spline S<sub>1</sub>, pr´esent´ee en (4.42) : les ´eventuelles approximations aux fronti`eres de Ω, dues `a une interpolation insuffisante, sont att´enu´ees par le facteur ϕ_M.

On consid`ere maintenant un calcul d’int´egrale du type R

g₁Ψ_jϕ_M (cf. (4.14)), en choisissant¹ ici : R

g₁Ψ₆₁ϕ_M. Nous avons par ailleurs : Ψ₆₁= H₄×H₆.

Les figures 4.2 (a,b) pr´esentent respectivement les ´evolutions de la fonction `a int´egrer exacte g<sub>1</sub>Ψ<sub>61</sub>ϕ<sub>M</sub> et de la fonction H<sub>4</sub>en fonction des abscissesx<sub>1</sub>etx<sub>2</sub>, telles que (x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>)∈Ω = [−5,5]<sup>2</sup>. La fonction H<sub>6</sub> a une courbe repr´esentative similaire `a celle de H₄; les valeurs prises aux fronti`eres de Ω sont de l’ordre de 10² (pour H₄, cf. Fig. 4.2 (b)), voire 10³ (pour H₆). Le produit H₄ ×H₆ prend alors des valeurs de l’ordre 10⁵. Une erreur d’interpolation de g₂ de quelques

% aux fronti`eres de Ω, qui paraissait n´egligeable grˆace au facteur ϕ<sub>M</sub>, sera donc amplifi´ee en cons´equence (cf. Fig. 4.2 (c)). Il en r´esulte sur cette figure un graphe du produitS<sub>1</sub>×Ψ<sub>61</sub>tout `a fait distinct du graphe de la fonction exacteg1×Ψ61, figure 4.2 (a), pour une qualit´e d’interpo-lation insuffisante (N_I = 5×5). On r´eussit n´eanmoins, en choisissant une qualit´e d’interpolation suffisante, `a obtenir un graphe repr´esentant le produitS<sub>1</sub>×Ψ<sub>61</sub>, figure 4.2 (d), pourN<sub>I</sub> = 9×9, fid`ele au graphe de g2×Ψ61, figure 4.2 (a).

La spline not´ee S₂^j, introduite en 4.44 p. 82 r´esout le dernier probl`eme cit´e : en interpolant le produit gΨ<sub>j</sub>ϕ<sub>M</sub>, le ph´enom`ene d’amplification d’erreur d’interpolation disparaˆıt. En revanche, deux autres difficult´es surviennent.

D’une part, l’ordre des polynˆomes Ψ_j pouvant ˆetre relativement ´elev´e, l’interpolation S₂^j devra ˆetre d’une qualit´e cons´equente, i.e. exiger sans aucun doute davantage de points d’interpolations et donc d’appels `a la fonction g.

D’autre part, il est n´ecessaire de recourir `a autant d’interpolations que de polynˆomes d’Her-mite `a estimer. Ce dernier inconv´enient devient cependant mineur, si toutes ces interpolations peuvent ˆetre effectu´ees avec le mˆeme plan d’exp´erience, i.e. sans avoir `a recalculer de nouveaux

1Cette quantit´e correspond en fait au d´eveloppement de la fonctiong1 sur une base de polynˆomes d’Hermite, de plus haut degr´eop= 10 et de dimensionM = 2.

Chapitre 4 : D´eveloppement d’une MEFS pour des probl`emes non lin´eaires 84 Fig. 4.2 – Mise en valeur de l’amplification de d´efauts d’interpolation par des polynˆomes d’Hermite.

Strat´egie d’interpolation par des B-splines S1, avec Ψ61(x1, x2) = H6(x1) H4(x2)

Chapitre 4 : D´eveloppement d’une MEFS pour des probl`emes non lin´eaires 85 pointsg(x_i) de la fonction m´ecanique.

Suite `a ces constats, la spline S₀ semble retenir notre attention.

Remarquons que les int´egrales (4.41), (4.43) et (4.45) peuvent ˆetre calcul´ees de mani`ere exacte en utilisant un sch´ema de Gauss adapt´e. Dans (4.41) et (4.43), les fonction `a int´egrer (gϕM ou gΨ_jϕ_M) sont des hypersurfaces polynomiales. Celles-ci peuvent donc ˆetre int´egr´ees exactement par un sch´ema de Gauss-Legendre. Dans (4.45), la fonction `a int´egrer S₀Ψ_jϕ_M est le produit d’une hypersurface polynomiale et d’une FDP gaussienne standard qui peut ˆetre int´egr´e exac-tement par un sch´ema de Gauss-Hermite.

Il paraˆıt alors utile de v´erifier qu’une int´egration de Gauss-Hermite de la fonction gΨ_jϕ_M ne requi`ere pas un nombre de points g(x<sub>i</sub>) inf´erieur `a celui demand´e pour le calcul de la spline in-terpolante S0. Il ne semble cependant pas possible a priori de le d´emontrer dans le cas g´en´eral.

Nous testerons alors cette alternative dans le cadre d’applications au §4.3.