Une visite du coté de l'analyse harmonique

Grâce au lemme de Poincaré, nous en déduisons qu'il existe une application b∈H¹(D², so(n+ 1))telle que nous pouvons transformer (25) sous la forme

−∆uⁱ = huⁱ∂u

Nous avons utilisé l'équation (27) dans l'avant- dernière ligne. Nous remarquons que nous avons réussi à écrire le second membre de (25) comme une somme de déterminants jacobiens. Nous pouvons donc appliquer le lemme de Wente et nous obtenons que u est continue. Cela sut, à l'aide de la théorie elliptique classique, pour montrer queuest C^∞. CQFD.

Remarque 7 Cette preuve, est une simplication de celle obtenue dans [Hélein 1], grâce à une remarque de P.-L. Lions. Elle se généralise sans grandes di-cultés au cas des applications faiblement harmoniques à valeurs dans une variété symétrique [Hélein 2].

4.3 Une visite du coté de l'analyse harmonique

Les résultats du paragraphe précédent reposent sur une propriété magique de la quantité {a, b}. Depuis H. Wente en 1969 et H. Brezis et J.-M. Coron au début des années 80, d'autres observations ont été faites sur ce genre de quantité. En 1989, Stefan Müller a remarqué la propriété suivante. Soit Ω un ouvert deR^m, notonsL¹logL¹(Ω) l'ensemble des fonctions mesurablesf etΩ versR(ouC) telles que

Z

Ω

|f|(1 +log(1 +|f|))dx <+∞. (28) Théorème 4.4 ([Müller]) Soitu∈W^1,m(Ω,R^m), et posons

f(x) =det(du(x)) p.p.

Alors, sif(x)≥0 p.p.,f ∈L¹logL¹(Ω).

Un cas particulier de ce résultat est lorsqueΩ⊂R²etu= (a, b)∈H¹(Ω,R²), alors det(du(x)) = {a, b} ∈ L¹logL¹(Ω), dés que {a, b} ≥ 0 p.p. On constate donc que la structure algébrique de det(du(x)) entraîne très légèrement une amélioration de l'intégrabilité de cette fonction, qui, à première vue, devrait se contenter d'être dansL¹(Ω).

On connait un espace proche deL¹, l'espace de HardyH¹(R^m), qui possède une propriété tout à fait analogue à celle décrite dans le théorème 4.4 :H¹(R^m) est un sous-espace deL¹(R^m), et toute fonctionf dansH¹(R^m)qui est positive p.p. est nécessairement dansL¹logL¹ (cf [Stein 1]).

Cela nous met sur la piste du résultat suivant, dû à Ronald Coifman, Pierre-Louis Lions, Yves Meyer et Stephen Semmes.

Théorème 4.5 ([Coifman, Lions, Meyer, Semmes]) Soit u une application dans W^1,m(R^m), alors f := det(du) appartient à H¹(R^m), et de plus il existe une constanteC_m, qui ne dépend que demtelle que

||f||_H1(R^m)≤C_m||u||_W1,m(R^m). (29) Un autre résultat, qui coïncide avec le théorème 4.5 dans le casm= 2est le suivant

Théorème 4.6 ([Coifman, Lions, Meyer, Semmes]) Soit φ une application dans H¹(R^m,R), et E un champ de vecteur dans L²(R^m,R^m) à divergence nulle. Alors la quantité

f :=h∇φ, Ei=

m

X

α=1

∂φ

∂x^αE^α

est dansH¹(R^m). De plus, il existe une constanteC_m, ne dépendant que dem, telle que

||f||_H1(R^m)≤C_m||φ||_H1(R^m)||E||_L2(R^m). (30) Avant d'aller plus loin, des explications sur ce que sontH¹(R^m)s'imposent.

(Notons que siΩ⊂R^m, une généralisation de H¹(R^m),H¹(Ω) existe, mais sa dénition est bien plus compliquée.) Nous donnons plusieurs dénitions. L'équiv-alence entre ces diverses dénitions est loin d'être évidente, et repose sur un théorème dicile de Charles Feerman (cf [Feerman], [Feerman, Stein]).

Dénition 6 (espace de Hardy 1) SoitΨune fonction deC_c^∞(R^m)telle que Z

R^m

Ψ = 1.

Pourt >0, on poseΨ_t(x) =t^−mΨ ^x_t. Enn, pour toute fonctionf ∈L¹(R^m), on dénit

f^?(x) = sup

t>0

|(Ψt? f)(x)|.

Alors f appartient à l'espace de Hardy H¹(R^m) si et seulement si f^? ∈ L¹(R^m). L'espace de Hardy est muni de la norme

||f||_H1(R^m)=||f||_L1(R^m)+||f^?||_L1(R^m). (31) Dénition 7 (espace de Hardy 2) Pour toute fonctionf dansL¹(R^m), on noteRαf la fonction dénie par

F(Rαf)(ξ) = ξα

|ξ|F(f)(ξ), où

F(f)(ξ) = 1 (2π)^m/2

Z

R^m

e−i<x,ξ>f(x)dx

est la transformée de Fourier def.Rαf est appelée transformée de Riesz de f. Alorsf appartient àH¹(R^m) si et seulement si

∀α= 1, ..., m, R_αf ∈L¹(R^m).

On dénit une deuxième norme surH¹(R^m)par

||f||_H¹(R^m)=||f||L¹(R^m)+

m

X

α=1

||Rαf||L¹(R^m). (32) Remarque 8 Bien qu'elles soient notées de la même façon, les normes sur H¹(R^m) données dans ces deux dénitions) ne sont pas les mêmes. Elles sont cependant équivalentes.

Une troisième dénition passe par le détour d'introduction d'espaces auxil-iaires. Tout d'abord, pourv ∈L¹_loc(R^m), on dénit, pour tout1≤p <+∞ et 0< λ, la quantité suivante (nie ou innie)

[v]_p,λ= sup

x∈R^m,r>0

1 r^λ

Z

B(x.r)

|v−v_x.r|^pdx

!¹_p ,

où vx,r est la moyenne de v sur B(x, r). Il s'agit d'une semi-norme, puisque [v]p,λ= 0 si et seulement sivest constante.

Dénition 8 L'espace

L^p,λ(R^m) :={v∈L¹(R^m)/[v]p,λ<+∞}

est appelé espace de Campanato et est un espace de Banach, pour la norme

||v||p,λ:= [v]p,λ+||v||_L1.

On peut démontrer (cf [Giaquinta]) que

si0< λ < m,L^p,λ(R^m) =L^p,λ(R^m)(espace de Morrey).

sim < λ < m+p,L^p,λ(R^m) =C^λ−mp (espace de Hölder) sim+p < λ,L^p,λ(R^m)est l'ensemble des fonctions constantes.

Le casλ=mest un cas particulier, et est l'objet du théorème suivant.

Théorème 4.7 ([John, Nirenberg]) Pour1≤p <∞, tous les espaces de Cam-panato L^p,m(R^m) sont tous isomorphes entre eux. On désigne parBM O(R^m) cet espace. (Bounded Mean Oscillations).

Dénition 9 (espace VMO) (Vanishing Mean Oscillations) L'espaceV M O(R^m) est le sous-espace des fonctions f dans BM O(R^m), telles que si pour tout x∈R^m, r >0,

fx,r= 1

|B(x, r)|

Z

B(x,r)

f(y)dy, on ait

r→0lim 1

|B(x, r)|

Z

B(x,r)

|f(y)−f_x,r|dy= 0.

La quantité||f||BM O(R^m) est une semi-norme.

Dénition 10 (espace de Hardy 3) L'espace de HardyH¹(R^m) est le dual deV M O(R^m).

Remarquons que chacune des dénitions données permet facilement de dé-montrer que sif ∈ H¹(R^m), alorsR

R^mf = 0.

Il y a plusieurs façons d'appréhender cet espace bizarre. Une première manière est de regarder au microscope une fonctionf dansH¹(R^m), et d'observer que même sif oscille violemment, (mais pas trop, puisquef ∈L¹(R^m)), ces oscilla-tions sont équilibrées à toutes les échelles, c'est-à-dire en calculant la moyenne def sur une boule de position et de taille quelconque, les oscillations s'éliminent.

Une deuxième façon est de concevoir l'espace de Hardy comme le plus grand sous-espace deL¹(R^m)dans lequel on peut appliquer des recettes en général val-ables dans les espacesL^p(R^m)pour 1< p <+∞, mais qui cessent de marcher dansL¹(R^m).

Remarques

1) Par l'inégalité de Poincaré-Sobolev : siv∈W^1,m(R^m),∀1≤p <∞, 1

r^m Z

B(x.r)

|v−v_x.r|^pdx

!_p¹

≤Cdu, dφ Z

B(x,r)

|∇v|^mdx

!_m¹ ,

on montre ainsi que tous les espacesW^1,ms'injectent continuement dansBM O(R^m). 2) L'espaceBM O(R^m)est contenu dans tous les espacesL^p(R^m), pour1≤p <

∞ et contient L^∞. C'est donc un espace intermédiaire entre ces espaces de Lebesgue. Par exemple, en dimension 2, logr∈BM O(R²).

3) Par dualité, l'espace de Hardy est une sorte d'un espace intermédiaire entre les espacesL^p, pour1< p <+∞etL¹.

L'utilité de ces espaces est illustrée par les résultats suivants.

Théorème 4.8 (cf [Stein 2]) Soitφ∈L¹(R^m)solution surR^mde

−∆ϕ=f ∈ H¹(R^m),

alors toutes les dérivées secondes deφsont dans L¹(R^m), et

|| ∂²ϕ

∂x^α∂x^β||L¹(R^m)≤C||f||_H1(R^m)

De même, si1< p <+∞, toute fonctionf ∈L^p(R^m)vérie f^∗∈L^p(R^m)et R_αf ∈L^p(R^m),

mais cela cesse d'être vrai pour p = 1, sauf si l'on remplace L¹(R^m) par H¹(R^m).

Une autre propriété est qu'en dimension 2, siφest solution de

−∆φ=f ∈ H¹(R^m),

alorsφest continue. On peut le déduire par exemple du fait que le noyau de−∆

surR², _2π¹log ¹_rest dansBM O(R²), et en utilisant la dénition 9 deH¹(R^m). En fait, nous verrons des résultats plus précis plus loin.

L'introduction de l'espace de Hardy, et les théorèmes de la section précédente nous permettront d'énoncer des résultats d'intégrabilité accrue plus précis que le lemme de Wente. Nous avons besoin pour cela de dénir de nouveaux espaces, les espaces de Lorentz, sortes de ranements des espacesL^p.

Nous verrons au passage que ces espaces apparaissent naturellement dans des estimations sur les solutions des équations diérentielles.

Pour une fonction f, mesurable sur un ouvert Ω deR^m, et à valeurs dans R, l'appartenance à un espace de Lorentz est décelée grâce au réarrangement décroissant de|f|sur[0,|Ω|].

Dénition 11 Soit f : Ω → R une fonction mesurable. Le réarrangement décroissant de |f| sur ]0,|Ω|[ est l'unique fonction, notée f^?, de ]0,|Ω|[ vers Rqui soit décroissante, et telle que

Mesure{x∈Ω/|f(x)| ≥s}=Mesure{t∈]0,|Ω|[/f^?(t)≥s}

Dénition 12 SoitΩ un ouvert deR^m,p∈]1,+∞[,q∈[1,+∞].. L'espace de Lorentz L^(p,q)(Ω,R) est l'ensemble des fonctions mesurables f : Ω → R telles que

|f|_(p,q)= Z +∞

0

(t^1pf^?(t))^qdt t

¹q

<+∞, si q <+∞

et

|f|_(p,∞)= sup

t>0

t^1pf^?(t)<+∞, si q= +∞.

On est tenté de munir les espaces de Lorentz de normes, en utilisant les quantités|f|_(p,q). Cependant, ces fonctions ne sont pas des normes, car elles ne vérient pas l'inégalité triangulaire.

En revanche, si on pose

f^??(t) = 1 t

Z t 0

f^?(s)ds et

||f||_(p,q)= Z +∞

0

(t^p1f^??(t))^qdt t

¹q

, siq <+∞

||f||_(p,∞)= sup

t>0

t^p1f^?(t)

on dispose alors de normes sur les espaces de Lorentz qui satisfont la condition 1

c|f|_(p,q)≤ ||f||_(p,q)≤c|f|_(p,q).

Ainsi, les espaces de Lorentz sont des espaces de Banach. Ces espaces appa-raissent classiquement dans la théorie de l'interpolation des opérateurs linéaires entre espacesL^p, comme nous allons le voir un peu plus loin.

ChaqueL^(p,q)peut être vu comme déformation deL^p. Par exemple, on a les inclusions strictes

L^(p,1)⊂L^(p,q0)⊂L^(p,q00)⊂L^(p,∞), si1< q⁰ < q⁰⁰. De plus

L^(p,p)=L^p.

Mais, dès que|Ω|est borné, on a pour toutq etq⁰, p < p⁰ ⇒L^(p0,q0)⊂L^(p,q).

Enn, pour1< p <+∞et1≤q≤+∞,L(p−1^p ,_q−1^q ) est le dual deL^(p,q). Pour plus de détails sur les espaces de Lorentz, voir [Ziemer], [Stein, Weiss], [Hunt], et [Bergh, Löfström].

Mentionnons un résultat d'interpolation qui sera utilisé à plusieurs reprises, et qui nous permettra de déduire des estimations sur les espaces de Lorentz, à partir d'estimations dans les espacesL^p.

Théorème 4.9 ([Stein, Weiss], [Hunt]). SoitΩun ouvert de R^m,U un ouvert deRⁿ. Soitr₀, r₁, p₀, p₁ des réels tels que

1≤r0< r1≤ ∞, et

1≤p06=p1≤ ∞,

SoitT un opérateur linéaire dont le domaine de dénitionD contient [

r0≤r≤r1

L^r(Ω),

qui envoie continûment L^r0(Ω) sur L^p0(U), et L^r1(Ω) sur L^p1(U), avec les normes

∀f ∈L^r0(Ω), ||T f||L^p0(U)≤k0||f||L^r0(Ω),

∀f ∈L^r1(Ω), ||T f||L^p1(U)≤k₁||f||L^r1(Ω).

Alors, pour tout1≤q≤ ∞, et pour tout couple(p, r)tel que∃θ∈]0,1[, 1

p =1−θ p0

+ θ p1 et 1

r = 1−θ r0

+ θ r1

, f envoie continûmentL^(r,q)(Ω) sur L^(p,q)(U), et de plus

∀f ∈L^(r,q)(Ω),||T f||_L(p,q)(U)≤B_θ||f||_L(r,q)(Ω), où

B_θ= r

|γ|p ¹_q

2^1p rk₀

r−r0

+ r₁k₁ r1−r

, (33)

et

γ=

1 p₀ −¹_p

1

r₀ −¹_r =

1 p−_p¹

1

1 r−_r¹

1

.

Par la suite, nous nous intéressons essentiellement à la famille L², c'est-à-dire les espacesL^(2,q), pour1 ≤q≤+∞. Trois membres de cette famille sont particulièrement intéressants : le plus doux (L^(2,1)), le plus violent (L^(2,∞)), et le plus connu (L^(2,2)=L²).

Voici quelques résultats qui les illustrent dansR².

Théorème 4.10 Soit Ω un ouvert de R², dont la frontière est de classe C¹. Soit f ∈ H¹(Ω) et supposons que ^∂f_∂x et ^∂f_∂y sont dans L^(2,1)(Ω). Alors f est continue et bornée uniformément surΩ.

Remarque 9 Il est bien connu qu'en général une fonction de H¹(Ω) n'est ni bornée, ni continue.

Théorème 4.11 Soit Ω un ouvert de R², dont la frontière est de classe C¹. Soitf ∈L¹(Ω)et φ, solution de

−∆φ = f sur Ω

φ = 0 sur ∂Ω, (34)

alors ^∂φ_∂x,^∂φ_∂y ∈ L^(2,∞)(Ω), et il existe une constante ne dépendant que de Ω, C(Ω), telle que

||dφ||_L(2,∞)(Ω)≤C(Ω)||f||_L1(Ω). (35) Remarque 10 Il est également connu qu'en général une solution φ de (??) n'est pas dansH¹(Ω).

Théorème 4.12 Soit Ω un ouvert de R², dont la frontière est de classe C¹. Soitf ∈ H¹(R²), etφ, solution de

−∆φ = f sur Ω

φ = 0 sur ∂Ω, (36)

alors ^∂φ_∂x,^∂φ_∂y ∈L^(2,1)(Ω), et il existe une constante ne dépendant que deΩ,C(Ω) telle que

||dφ||_L(2,1)(Ω)≤C(Ω)||f||_H¹(R²). (37) Avant de démontrer ces résultats, mentionnons la raison essentielle pour laquelle ils ont lieu. Le noyau du laplacien sur R², c'est-à-dire la distribution K∈ D⁰(R²)telle que

−∆K=δ0surR² est donné par

K= 1 2πlog1

r

, et sa dérivée est

dK=− 1

2πr²(xdx+ydy). (38)

On vérie queKest dansBM O(R²), et quedKa ses coecients dansL^(2,∞)(R²). C'est donc la dualité entreBM O(R²) et H¹(R²), et entreL^(2,∞) et L^(2,1) qui est à l'origine de ces résultats.

Preuve du théorème 4.10

Soit f une fonction dans C^∞(Ω) dont les dérivées sont par conséquent dans L^(2,1)(Ω). Par la méthode de Whitney (cf [Brezis]), nous pouvons construire un prolongement def en une fonction à support compact deR²,fb. Le bord deΩ étantC¹, le prolongement f → fbest continu dans tous les espaces W^1,p pour 1≤p≤+∞, donc par le théorème d'interpolation 4.9, nous pouvons en déduire que les dérivées defbsont dansL^(2,1)(R²), et que

||dfb||_L(2,1)(R²)≤C||df||_L(2,1)(Ω) (39) oùCest une constante ne dépendant que deΩ. Commefbest à support compact, nous avons, pour toutz∈R²,

fb(z) = Z

R²

δ0(z−ζ)f(ζ)dζb

= Z

R²

−∆K(z−ζ)fb(ζ)dζ

= Z

R²

−∇K(z−ζ).∇fb(ζ)dζ,

(40)

d'où l'on déduit que

||fb(z)|| ≤ ||dK||_L(2,∞)(R²)||dfb||_L(2,1)(R²). (41) De (39) et (41) on dérive

||f||_L∞(Ω)≤ ||fb||_L∞(R²)≤C||dK||_L(2,∞)(R²)||df||_L(2,1)(R²). (42) Cette estimation entraîne, par la densité deC^∞(Ω)dans{f ∈H¹(Ω,R)/df ∈ L^(2,1)(Ω)}, que toute fonction deH¹(Ω,R), dont les dérivées sont dansL^(2,1)(Ω) est limite uniforme d'une suite de fonctionsC^∞, et donc est continue. CQFD.

Dans les preuves des théorèmes 4.11 et 4.12, nous utiliserons le théorème d'interpolation 4.9 avec un opérateur bien choisi. Cet opérateur est obtenu à partir d'une construction que nous aurons à réutiliser par la suite, et qui, d'une manière générale, peut s'avérer être utile pour obtenir des estimations avec des normes dans les espaces de Lorentz. C'est pourquoi nous la présentons à part.

Construction Décomposition de Hodge d'un champ de vecteurs

Nous supposons ici que Ω est un ouvert borné deR², dont la frontière est

La théorie elliptique nous dit que, pour tout1< p <+∞,P et H envoient continûmentL^p(Ω,R²)dans lui-même. Nous en déduisons, par le théorème 4.9, que ces opérateurs sont également continus dans les espacesL^(p,q)(Ω,R²), pour 1< p <+∞,1≤q≤+∞.

et que

dΨ(z) = Z

R²

dK(z−ζ)fb(ζ)dζ.

Comme fb∈ L¹(R²)et dK ∈L^(2,∞)(R²) (cf (38)), on en déduit quedΨ∈ L^(2,∞)(R²)avec

||dΨ||_L(2,∞)(R²)≤ ||dK||_L(2,∞)(R²)||f||_L1(R²). (43) Or, une conséquence de l'équation (34), vériée parφ, est queφest également donné par

dφ=P(dΨ_|Ω),

oùP est l'opérateur déni dans la construction précédente. Cet opérateur étant continu deL^(2,∞)(Ω)dans lui-même, on en déduit que dφ∈L^(2,∞)(Ω), et l'es-timation (43) entraîne (35). CQFD.

Preuve du théorème 4.12

Nous allons ici utiliser un résultat supplémentaire : l'espace W^1,1(R²) s'in-jecte de façon continue dans L^(2,1)(R²). Ce résultat sera l'objet du théorème 4.13 qui suit, et dont nous donnerons une preuve. Soitf ∈ H¹(R²), comme dans la preuve précédente, nous considéronsΨdéni par

Ψ(z) = Z

R²

K(z−ζ)f(ζ)dζ.

Puisque

−∆Ψ =f surR²,

d'après le théorème 4.8, toutes les dérivées secondes de Ψ sont dans L¹(R²) et Ψ ∈ W^2,1(R²). Cela entraîne, par l'injection continue de W^1,1(R²) dans L^(2,1)(R²), que les dérivées de Ψ sont dans L^(2,1)(R²), et puisque toutes les injections sont continues

||dΨ||_L(2,1)(R²)≤C||f||_H1(R²).

En utilisant, comme dans la preuve précédente, le fait que (36) est équivalent à dφ=P(dΨ_|Ω),

nous en déduisons quedφ∈L^(2,1)(Ω) et

||dφ||_L(2,1)(Ω)≤C||f||_H¹(R²),

grâce à la continuité de l'opérateurP, construit par la décomposition de Hodge.

CQFD.

Théorème 4.13 Pour tout m≥2, l'espace W^1,1(R^m)s'injecte de façon con-tinue dansL(m−1^m ,1)(R^m).

Remarque 11 La preuve qui suit nous a été communiquée indépendamment par Haïm Brezis et Pierre-Louis Lions.

Preuve

Nous commençons par considérer le cas d'une fonction dans C_c^∞(R^m). Le ré-sultat général s'obtient alors par densité de C_c^∞(R^m) dans W^1,1(R^m). Soit f ∈ C_c^∞(R^m). Notonsfele réarrangement sphérique décroissant de |f|, c'est-à-dire l'unique fonction deC_c^∞(R^m)ne dépendant que der=|x|, décroissante en fonction der, et telle que

Mesure{x∈R^m/fe(x)≥s}=Mesure{x∈R^m/|f(x)| ≥s}.

Notonsfe^?le réarrangement décroissant def sur[0,+∞[et remarquons que si on désigne parαm= ^|Sm−1_m ^|, l'aire de la boule unité de R^m, on a la relation suivante

f^?(αmr^m) =fe(r).

En utilisant l'inégalité de Polya-Szégo (voir par exemple [Mossino]), on a Z

R^m

|df(x)|dx≥ Z

R^m

|dfe(x)|dx

= Z +∞

0

Z

S^m−1

−dfe

dr(r)r^m−1dσ(x)

! dr

=−|S^m−1| Z +∞

0

dfe drr^m−1dr

=|S^m−1| Z +∞

0

fe(r)(m−1)r^m−2dr.

Par le changement de variablet=αmr^m, on obtient Z

R^m

|df(x)|dx ≥ (m−1)αm^m1

Z +∞

0

t^m−1m f^?(t)dt t

≥ C(m)||f||

L(m−1^m ,1)₍

R^m)

. D'où le résultat. CQFD.

4.4 Inégalité de monotonie et régularité partielle en

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