Une premi` ere r´ esolution de l’´ equation de Ricci

Dans cette partie, nous voudrions prescrire la courbure de Ricci sur toutB

auvoisinagede la m´etrique hyperbolique. Autrement dit, pourR=R0+r∈ S2 voisin de R₀, peut-on trouver une m´etrique H = H₀ +h voisine de H₀

telle que Ricci(H₀+h) = R₀+r? (o`u ”voisinage” sera entendu dans un sens appropri´e).

Rappelons que la courbure de Ricci d’une m´etrique H est donn´ee en coordonn´ees locales par la formule :

Ricci(H)_km =∂_lΓ^l_km−∂_mΓ^l_kl+ Γ^l_nlΓⁿ_km−Γ^l_nmΓⁿ_kl,

o`u Γl

km = ¹₂Hls(∂_kH_sm +∂_mH_ks −∂_sH_km). Nous devons donc r´esoudre un syst`eme d’´equations aux d´eriv´ees partielles quasi-lin´eaire du second ordre en les composantes de H.

La diff´erentielle de l’op´erateur Ricci est donn´ee par (cf. [DT1] par exemple) :

DRicci(H)δh:= ^d

dt^{Ricci(H+tδh)|t=0 =}

1

24Lδh−div^∗div gravδh,

o`u4L est le Laplacien de Lichn´erowicz qui s’exprime en coordonn´ees locales par :

4Lδh_ij =−∇^s∇sδh_ij + Ricci(H)_isδh^s_j+ Ricci(H)_jsδh^s_i −2Sect(H)_isjtδh^st,

ce que l’on r´e´ecrit sous la forme 4Lδh=4δh+ 2Θ(δh).

Pour calculer le symbole de l’op´erateurD_HRicci, d´etaillons :

−[div^∗div gravδh]_ij = [div^∗(Bian(H, δh))]_ij = ¹₂[Hst(∇j∇tδh_si− 1

2∇j∇iδh_st) +H^st(∇i∇tδhsj− 1

2∇i∇jδhst)].

Ainsi le symbole de l’op´erateurD_HRicci est l’application deS2dansS2d´efinie par :

h→σ(ξ)h= ¹ 2^H

qui n’est un isomorphisme pour aucun ξ 6= 0 dans Rn∗. En effet, si on prend

h_ij =ξ_iξ_j, on aσ(ξ)h= 0 alors queh6= 0 (en particulier l’op´erateurD_HRicci n’est pas elliptique).

Nous avons vu pr´ec´edemment que suivant [DT1] nous allons introduire un terme correctif naturel qui nous donnera de l’ellipticit´e :

(D_HBian(H, R)δh)_m =R^s_m(div gravδh)_s−T_m^qsδh_qs,

avec T δh = 0 lorsque R = λH comme c’est le cas en (H₀, R₀) (cf. lemme 13, et Bian(H,Ricci(H)) ≡ 0). Consid´erons donc (avec, d´esormais toujours,

H =H₀ +h et R=R₀+r) F(h, r) = Q(H, R) = RicciH− ¹ n−1^div ∗ 0Bian(H, R)−R. Alors D_hF(h, r)δh = D_HQ(H, R)δh

= ¹₂4δh+ Θ(δh)−div^∗div gravδh

− 1

n−1div^∗₀Re(div gravδh−T δh) (o`u Re^j_i = (H⁻1R)^j_i =HjkR_ki), de sorte que

D_hF(0,0)δh=D_HQ(H₀, R₀)δh= ¹

240δh+ Θ₀(δh),

et nous obtenons ainsi l’ellipticit´e d´esir´ee. Ici

Θ0(δh) = (Trace0δh)H0−nδh.

D´ecomposons δh`a l’aide du scindage S2 =H0+S20, o`u l’on rappelle que les ´

elements de H0 sont ceux de S2 multiples de H₀ et ceux de S02, ceux de S2

de trace nulle (par rapport `a H0). On a donc δh=uH0+h0, Θ0(uH0) = 0,

et Θ₀(h₀) =−nh₀, soit finalement

D_hF(0,0)δh= ¹

2^[40(uH₀) + (40−2n)h₀].

D’apr`es le th´eor`eme d’isomorphisme de [GL] (cf. section 2.2), nous obtenons le

Lemme 15 Si −2n > s(s−(n−1)) alors D_hF(0,0) est un isomorphisme de Λ^s_k⁻₊₂²_,α(B,S2) dans Λ^s_k,α⁻²(B,S2).

Nous voulons appliquer le Th´eor`eme des fonctions implicites en (0,0) `a la relation F(h, r) = 0. Pour cela il nous reste seulement `a d´emontrer le

Lemme 16 Lorsque s ≥ 0, l’application F d´efinie pr´ec´edemment est lisse de Λ^s_k⁻₊₂²_,α(B,S2)×Λ^s_k⁻₊₂²_,α(B,S2) dans Λ^s_k,α⁻²(B,S2) au voisinage de z´ero. Preuve :

Tout d’abord, d’apr`es le corollaire 22 de l’appendice 4.10, l’application

h−→Ricci(H0+h)−R0

est lisse de Λ^s_k⁻₊₂²_,α(B,S2) dans Λ^s_k,α⁻²(B,S2). Ensuite d’apr`es le corollaire 23 de l’appendice 4.10, l’application

(h, r)−→Bian(H₀+h, R₀+r)

est lisse de Λ^s_k⁻₊₂²_,α(B,S2)×Λ^s_k⁻₊₂²_,α(B,S2) dans Λ^s_k⁻₊₁²_,α(B,T1). Et comme l’ap-plication

ω −→div^∗₀ω

est lisse de Λ^s_k⁻₊₁²_,α(B,T1) dans Λ^s_k,α⁻²(B,S2) d’´evidence, le lemme est d´emontr´e. Nous avons maintenant assez d’´el´ements pour pouvoir donner le

Th´eor`eme 28 Si −2n > s(s−(n−1)), alors l’´equation

F(h, r) =Ricci(H0+h)− ¹

n−1^div

∗

0Bian(H0+h, R0+r)−(R0+r) = 0 pour r donn´e dans Λ^s_k⁻₊₂²_,α(B,S2) voisin de z´ero, poss`ede une unique solution h voisine de z´ero dans Λ^s_k⁻₊₂²_,α(B,S2) et l’application ainsi d´efinie r −→ h

est lisse d’un voisinage de z´ero dans Λ^s_k⁻₊₂²_,α(B,S2) dans un voisinage de z´ero dans Λ^s_k⁻₊₂²_,α(B,S2). De plus, lorsquek ≥1, quitte `a r´eduire les voisinages de z´ero, la solution v´erifie

Ricci(H₀+h) =R₀+r.

Preuve :

D’apr`es les lemmes 15 et 16 et le Th´eor`eme des fonctions implicites, la premi`ere partie du th´eor`eme est ´evidente. Il nous reste `a montrer que pour ”r

petit”, notre solution v´erifie Ricci(H0+h) =R0+r(c’est-`a-dire Ricci(H) =

R) . Nous montrerons pour cela que Bian(H, R) = 0, sans recourt `a la proposition 19, la m´ethode consistant `a appliquer brutalement l’op´erateur Bian(H, .) `a l’´equationQ(H, R) = 0. Nous obtenons d’abord

Bian(H,Ricci(H)) | {z } =0 − ¹ n−1^Bian(H,div ∗ 0Bian(H, R))−Bian(H, R) = 0.

Posons ensuite ω = Bian(H, R) ;ω v´erifie l’´equation :

Bian(H,div^∗₀ω) + (n−1)ω = 0. (∗) Rappelons que, d’apr`es le lemme 14,

Bian(H₀,div^∗₀ω) = −¹

2⁽40ω+ (n−1)ω),

et consid´erons l’application lin´eaire L de Λ^s_k⁻₊₁¹_,α(B,T1) dans Λ^s_k⁻₋¹_1,α(B,T1) d´efinie par

Lω:= Bian(H₀,div^∗₀ω) + (n−1)ω =−¹

2⁽40−(n−1)ω).

D’apr`es le Th´eor`eme d’isomorphisme de [GL], lorsque

−(n−1)> s(s−(n−1)), L est un isomorphisme et il existe C >0 tel que

kωk⁽_k^s₊₁⁻¹⁾_,α≤C kLωk⁽_k^s₋⁻₁¹⁾_,α .

Dans notre cas, comme ω v´erifie (∗) on a

Lω = Bian(H₀,div^∗₀ω)−Bian(H,div^∗₀ω)

| {z }

Lrω

.

Pourtel que C <1, on veut montrer qu’il existeν tel que, si kr k⁽k^s+2⁻²⁾,α≤ν

alors

k Lrωk⁽k^s−⁻1¹⁾,α≤kωk⁽k^s+1⁻¹⁾,α.

D’apr`es le lemme 27 de l’appendice 4.10, on a

k Lrω k⁽k^s−⁻1¹⁾,α≤C(ˆh)[1 +(khk⁽k,α⁻²⁾)]khk⁽k,α⁻²⁾kdiv^∗₀ω k⁽k,α^s−2) .

D’autre part, comme div^∗₀ est un op´erateur lin´eaire continu de Λ^s_k⁻₊₁¹_,α(B,T1) dans Λ^s_k,α⁻¹(B,S2), on a

kdiv^∗₀ω k⁽k,α^s−2)≤Ctekωk⁽k^s+1⁻¹⁾,α.

Comme ici l’application Λ^s_k⁻₊₂²_,α 3 r −→ h ∈ Λ^s_k⁻₊₂²_,α est lisse au voisinage de z´ero et comme s ≥ 0, d’apr`es la proposition 3, k h k⁽_k,α⁻²⁾ tend vers z´ero lorsque kr k⁽_k^s₊₂⁻²⁾_,α tend vers z´ero. On peut ainsi ´ecrire

avec C(r) qui tend vers 0 lorsque k r k⁽k^s+2⁻²⁾,α tend vers 0. Il existe donc ν

tel que pour k r k⁽k^s+2⁻²⁾,α≤ ν, C(r) ≤ . Pour conclure, il ne reste plus qu’`a rappeler que ω v´erifie (∗) et donc que l’on a :

kω k⁽_k^s₊₁⁻¹⁾_,α≤CkLω k⁽_k^s₋⁻₁¹⁾_,α=C k Lrω k⁽_k^s₋⁻₁¹⁾_,α≤Ckωk⁽_k^s₊₁⁻¹⁾_,α,

donc que kωk⁽k^s+1⁻¹⁾,α= 0 puisque C <1 ; finalement ω= 0.

Remarques :

(i)La condition −2n > s(s−(n−1)) peut s’´ecrire (n−1)(s−2)> s2+ 2 et comme n >1, il faut s > 2 ; de mˆeme en l’´ecrivant n > ^s_s²₋⁺²₂ + 1 =f(s), on voit qu’il faut au moins n≥10, puisque f est minimum pour s= 2 +√

6 et vaut alors environ 9,9. Enfin la condition peut se r´e´ecrire sous la forme

s₁ = ⁿ−1−^p(n−1)2−8n

2 ^{< s < s2 =}

n−1 +^p(n−1)2−8n

2 ^,

nous voyons qu’alors s₂ tend vers l’infini quand n tend vers l’infini et un simple d´eveloppement limit´e montre que s₁ tend vers 2 quand n tend vers l’infini.

(ii)Dans la d´emonstration du th´eor`eme, on a vu que pour annuler ω on a uniquement besoin de la continuit´e der−→h et de la condition−(n−1)> s(s−(n−1)) qui est plus faible que−2n > s(s−(n−1)).

(iii)Notons que la solutionhde l’´equationF(h, r) = 0 est dans Λ^s_k⁻₊₂²_,α(B,S2), tout comme l’est le tenseurr, et nous ne savons pas si elle est dans Λ^s_k⁻₊₄²_,α(B,S2). Ce manque de r´egularit´e (perte de deux points) est dˆu au terme

− ¹

n−1^div

∗

0Bian(H, R)

n´ecessaire pour compenser le d´efaut d’ellipticit´e de l’op´erateur de Ricci.

Cette derni`ere remarque nous pousse `a d´etailler le processus de r´esolution. Pour k ∈ N, notons h_k+2 l’application r → h d’un voisinage de z´ero dans Λ^s_k⁻₊₂²_,α(B,S2) dans un autre, donn´ee par le th´eor`eme 28. Notonsrk+2 l’appli-cation d’un voisinage de z´ero dans Λ^s_k⁻₊₂²_,α(B,S2) dans un voisinage de z´ero dans Λ^s_k,α⁻²(B,S2) d´efinie par

r_k+2(.) := Ricci(H₀+.)−R₀.

Corollaire 12 Sous les hypoth`eses du th´eor`eme 28, l’application r_k+2 est injective au voisinage de z´ero. Si de plus k ≥1, l’application h_k+2 l’est aussi. Preuve :

La deuxi`eme partie du corollaire est ´evidente. En effet, on a pour k≥1

∀r∈Λ^s_k⁻₊₂²_,α(B,S2) voisin de z´ero, r_k+2◦h_k+2(r) =r.

Pour la premi`ere partie, montrons que l’on a :

∀h∈Λ^s_k⁻₊₄²_,α(B,S2) voisin de z´ero, h_k+2◦r_k+4(h) = h.

En effet, pour tout h ∈ Λ^s_k⁻₊₄²_,α(B,S2) voisin de z´ero, rk+4(h) est voisin de z´ero dans Λ^s_k⁻₊₂²_,α(B,S2) et v´erifie

F(hk+2◦rk+4(h), rk+4(h)) = 0,

avec h_k+2◦r_k+4(h) voisin de z´ero dans Λ^s_k⁻₊₂²_,α(B,S2). Mais d’autre part, on a

F(h, r_k+4(h)) = 0,

avec h voisin de z´ero dans Λ^s_k⁻₊₄²_,α(B,S2) donc dans Λ^s_k⁻₊₂²_,α(B,S2). Ainsi, par construction de l’application h_k+2, on a

h_k+2◦r_k+4(h) =h.

Remarque : Pourk ≥1 ets∈[0, n[, l’application h_k+2 ne peut ˆetre surjec-tive. En effet, soit v ∈Λ^s_k+2,α(B) voisin de z´ero et tel que

v 6∈Λ^s_k+4,α(B).

Supposons que h = vH₀ ∈ Λ^s_k⁻₊₂²_,α(B,S2), voisine de z´ero, soit dans l’image de h_k+2 :

∃r∈Λ^s_k⁻₊₂²_,α(B,S2), F(h, r) = 0.

Comme k≥1, on a n´ecessairement

r_k+2(h) =r.

En outre (pour la d´efinition de eh, voir le corollaire 17), on a

σ := (H₀^ij +eh^ij)r_k+2(h)_ij +eh^ijR_0ij,

voisin de z´ero dans Λ^s_k+2,α(B). Pour s ∈ [0, n[, le th´eor`eme 23 (section 3.2) implique quehest dans Λ^s_k⁻₊₄²_,α(B,S2) etvdans Λs

Notons que les exposants caract´eristiquess₁ ets₂ du th´eor`eme 28 (section 4.4) v´erifient s₁ = ¹ 2⁽ⁿ−1−^p(n−1)2−8n)>0, s₂ = ¹ 2⁽ⁿ−1 +^p(n−1)2−8n)< n−1< n.

4.5 Une ´etude de la courbure Riemannienne