Une m´ethode heuristique pour la r´esolution du probl`eme

Nous allons proc´eder `a la r´esolution de ce probl`eme en s’inspirant de la m´ethode des centre mobiles [For65] :

1. Initialisation :

On part d’une partition quelconque de K tir´ee au hassard : P = {K1, K₂}

2. On d´etermine les solutions respectives X∗(K1) et X∗(K2) de chacun des probl`emes (P(1)) et (P(2)) :

(P⁽ⁱ⁾) max[^X

k∈Ki

C(X, Ak)| X ∈ E] au moyen de la m´ethode utilis´ee pr´ec´edemment.

3. On r´eaffecte chaque variable au groupe Ki(i = 1 ou 2) avec le classement agr´eg´e duquel il est le plus en concordance ; plus pr´ecis´ement, pour toute variable k∈ K – Si k ∈ K1 et C(X∗(K2), Ak) > C(X∗(K1), Ak) alors K1 = K1 − {k} et K2 =

K2∪ {k}

– Si k ∈ K2 et C(X∗(K1), Ak) > C(X∗(K2), Ak) alors K2 = K2 − {k} et K1 = K1∪ {k}

– Dans tous les autres cas K1 et K2 sont inchang´es.

4. Si au cours de l’´etape (3) au moins un variable k a chang´e de groupe, on retourne `a l’´etape (2). Sinon l’algorithme est termin´e.

Il faut noter que le r´esultat ne correspond, en g´en´eral, qu’`a un optimal local.

Nous pouvons assurer que l’algorithme s’arrˆete apr`es un nombre fini d’´etapes en pre-nant les pr´ecautions suivantes :

– Lors de l’´etape (3), un juge ne sera chang´e de groupe que si ce changement induit une augmentation du nombre d’accord,

– Lors de la deuxi`eme it´eration, (et des it´erations ult´erieures) on ne modifiera les opinion X∗(K1) ou X∗(K2) que si ces modifications induisent une augmentation du nombre d’accords.

Il est claire que ce type d’algorithme peut ˆetre g´en´eralis´e pour la recherche de partitions en plus de deux groupes. La pr´esence des donn´ees manquantes ne pose aucun probl`eme particulier.

Conclusion

Nous devons noter d’abord que l’algorithme du recuit simul´e comporte un aspect al´eatoire, ce qui explique que deux ex´ecutions successives sur le mˆeme exemple ne donnent pas forc´ement le mˆeme r´esultat. Pour cela nous appellerons ”R´esultat” de l’algorithme, le meilleur des r´esultats obtenus lors de plusieurs ex´ecutions successives.

La principale avantage de cette m´ethode de classification, est que les donn´ees ne sont pas forcement quantitatives et sa particularit´e par rapport d’autres m´ethodes est que nous n’avons pas calculer une distance ou un indice de dissimilarit´e. En mˆeme temps nous avons vu dans l’extension de la m´ethode que cette approche est applicable dans la cas o`u nous voulons utiliser une mesure de proximit´e. Finalement, nous pouvons dire que cette m´ethode est bas´ee sur l’opinion de l’expert du domaine, qui d´efinit les fonctions de classement.

Chapitre 5

Approche pr´etopologique

Sommaire

5.1 Introduction . . . 98 5.2 El´ements de pr´etopologie . . . 99 5.2.1 D´efinitions et propri´et´es de base : . . . 99 5.2.2 Concepts de pr´efiltre, filtre, filtre stable . . . 101 5.2.3 Concepts de pr´evoisinages et caract´erisations . . . 102 5.2.4 Comparaison de pr´etopologies . . . 104 5.2.5 Encadrement d’une structure s par deux structures de type V . 105 5.2.6 Structure de type VDS et relation binaire . . . 107 5.2.7 Relation r´eflexive et relations d’´equivalences associ´ees . . . 107 5.2.8 Encadrement de s par deux structures de type VDS (cas E fini) 110 5.2.9 Concept de continuit´e . . . 112 5.2.10 Pr´etopologie induite (second type de probl`eme) . . . 114 5.3 Application `a un probl`eme de classification . . . 115 5.3.1 (Pr´e)topologie et partition . . . 116 5.3.2 Familles de topologies-classes associ´ees `a s et ´el´ements

remar-quables . . . 117 5.3.3 Processus de construction deT_C⁺(s) et de T_C⁻(s) . . . 117 5.3.4 Produit d’espaces pr´etopologique . . . 119 5.3.5 Application `a la classification . . . 120 5.4 Algorithme de la m´ethode . . . 127 5.4.1 Conclusion . . . 129

5.1 Introduction

De nombreux contextes issus de probl´ematiques propres aux sciences sociales n´eces-sitent que l’on soit en mesure d’´etablir des liens ou d’appr´ecier des proximit´es ou des res-semblances entre des individus. L’outil math´ematique connu de formalisation du concept de proximit´e est la topologie, dont souvent on ne connaˆıt que le cas particulier qu’est la m´etrique. Mais, dans les domaines ´evoqu´es, on s’aper¸coit assez rapidement que l’axioma-tique de la topologie est trop contraignante, parce que trop riche, et n’est pas en mesure d’apporter des solutions int´eressantes aux probl`emes pos´es. D’o`u l’id´ee de chercher `a af-faiblir l’axiomatique de la topologie, pour esp´erer une meilleure adaptation aux probl`emes rencontr´es : telle est l’id´ee qui conduit `a ce qu’on appellera ici la ”pr´etopologie”.

Les premi`eres ´evocations des travaux de ce type peuvent ˆetre attribu´es `a Frechet [Fre28]. On trouve, dans la litt´erature, des propositions d’affaiblissement de l’axiomatique topologique chez Appert et Fan [AF51] et chez P.C. Hammer [Ham64].

Cech [Cec66] a apport´e une importante contribution au d´eveloppement de structures qui s’av`erent ˆetre celles de type VD ´evoqu´ees dans ce travail.

De nombreux travaux de Brissaud [Bri75], ont port´e sur le d´eveloppement des structures pr´etopologiques et leurs applications,en particulier dans le domaine de la mod´elisation des pr´ef´erences.

Des contributions ont ´et´e apport´ees par Auray [Aur82] dans le cadre d’une approche de la formation des coalitions en th´eorie des jeux, et Duru [Dur80].

Les structures pr´etopologiques ont ´et´e utilis´ees, notamment parce qu’elles ont permis une bonne formalisation des multiples concepts de ”plus proches voisins”, pour traiter des probl`emes de classification par, d’imagerie et de reconnaissance : ce sont les travaux de Lamure[Lam87], Emptoz[Emp83], Zighed ou Nicoloyannis [Nic88].

Un ouvrage collectif de synth`ese a ´et´e publi´e en 1993 sous le nom acronyme de Belmandt [Bel93].

Des travaux, men´es conjointement par des chercheurs de l’´equipe ”M´ethodes d’Aide `a la d´ecision” (LIRIS-MA2D, UMR 5205 du CNRS ) et (Laboratoire d’Informatique et des Syst`emes Complexes) de l’EPHE (CNRS) sont actuellement en cours en vue de r´ealiser des algorithmes permettant d’implanter des outils informatiques sp´ecifiques.

Dans le domaine de la classification, la plupart des m´ethodes ont plus ou moins implici-tement recours `a un concept de mesure de ”proximit´e”. Dans le cas o`u le contexte est tel qu’une telle ”proximit´e” n’a rien de naturel les outils habituels ne sont gu`ere satisfaisants. Supposons par exemple, qu’on dispose d’une population Ω sur laquelle on a observ´e divers

caract`eres et que, pour chacun de ces caract`eres, l’observation se traduise par une variable X d´efinie sur Ω et prenant ses valeurs dans l’ensemble E des modalit´es du caract`ere. Si le caract`ere est quantitatif alors E peut naturellement ˆetre muni d’une mesure de proxi-mit´e qui pourra ˆetre utilis´ee pour appr´ecier la ressemblance ou non de deux objets de Ω. Mais si le caract`ere est purement qualitatif alors ceci n’est plus possible, sauf `a prendre le risque de malmener s´erieusement la r´ealit´e. Il faut alors construire une proc´edure sp´eci-fique au contexte qualitatif, en vue de proposer une formalisation adapt´ee du concept de ”proximit´e”. La pr´etopologie peut ˆetre utile `a la r´ealisation de cet objectif.