Dans cette section nous présentons ce qui fait l’objet du Chapitre 5, un modèle individu-discret pour le problème introduit, dans sa version continue, à la section précédente. Un tel modèle décrit l’ensemble des interactions pour un nombre fini de particules. Ainsi on écrit toutes les forces physiques qui s’appliquent au niveau microscopique sur chaque particule, dans le but ensuite de justifier les modèles continus, comme limites du problème discret. Cela conduit à un système d’équations décrivant le mouvement des monomères et des polymères dans un fluide donné par sa vitesse u(t, x) ∈ R3 au temps t ≥ et en
x∈ Γ, le domaine physique. Pour la dérivation de ces équations, nous utilisons les lois de la physique, on peut se référer par exemple à Doi & Edwrads [64], Kirkwood [116], Bird et
al. [23], Degond et al. [60]. D’une part les monomères sont considérés comme des particules
sphériques, d’autre part les polymères comme des tiges rigides. Le choix du modèle rod-like pour les polymères est issu des observations expérimentales, voir Chapitre 4.
Le monomère est idéalisé comme une bille, caractérisée par son centre de masse de trajectoire Xt, dans le domaine spatial Γ. La vitesse Vt, de telle sorte que dXt = Vtdt,
satisfait une équation de Langevin (Langevin [124]). Celle-ci s’écrit de la manière suivante :
mdVt= ξ(u(t, Xt)− Vt)dt + σdWt,
où m est la masse du monomère, ξ le coefficient de frottement (force proportionnelle à la vitesse relative au fluide) et σ l’intensité du Brownien Wt, qui est un processus de Wiener de dimension 3. Ce dernier rend compte des forces aléatoires exercées par l’ensemble des autres particules du système. De la même manière, on écrit les équations sur les polymères, représentés par les trois quantités suivantes au temps t≥ 0
1. Son centre de masse Yt∈ R3 qui suit une trajectoire suivant le champ de vitesse u, 2. Son orientation Ht∈ S2 dont les variations sont dérivées à partir du moment
angu-laire,
3. Sa taille Rt∈ R+.
Ainsi, ces objets décrivant les monomères et les polymères sont des processus stochastiques. On pourra retrouver une telle approche dans les travaux sur les modèles FENE suivant : Jourdain et al. [112] et Lelièvre [138].
Maintenant, afin de prendre en compte l’élongation et la fragmentation, nous intro-duisons des taux de probabilités pour qu’un monomère s’attache à un polymère (élon-gation) ou qu’un polymère se scinde en deux (fragmentation). On obtient alors un sys-tème d’équations qui régit le mouvement de chaque particules (position et/ou configura-tion), soumis à des sauts qui rendent compte de ces deux phénomènes caractéristiques aux polymères formés de protéines. L’idée s’inspire des travaux déjà réalisés sur la coagulation et la fragmentation, par exemple : Wagner [211, 212], Hendriks [99], Lushnikov [149] et Marcus [150].
L’objet de cette étude est dans un premier temps, de décrire l’évolution des quan-tités mises en jeu. Pour cela on utilise un processus auxiliaire, la mesure empirique (voir par exemple les travaux de Fournier & Méléard [79] et Champagnat et al. [40]). Elle se décompose en deux mesures, l’une pour les monomères
µmt = Nm t X i=1 δXi t, (6) où Nm
t est le nombre de monomères au temps t et Xi
t la position du monomère étiqueté par i, l’autre pour les polymères
µpt = Ntp X j=1 δ(Yj t,Htj,Rjt), (7)
par analogie. Elles chargent l’espace via des mesures de Dirac dont l’évolution est donnée, d’une part par le mouvement continu et d’autres part, par les sauts, que l’on modélise par des processus de Poisson à valeurs mesures. On construit alors les équations différen-tielles stochastiques (EDS) correspondant à chacune de ces deux mesures empiriques. On obtient un système (couplé) de deux équations sur chacune de ces mesures, qui caractérise entièrement l’évolution du modèle.
Dans un second temps, nous nous attachons au redimensionnement des équations sur la mesure empirique. En introduisant un petit paramètre (ici la taille des monomères), on obtient alors un problème limite qui représente l’évolution du système à une échelle mé-soscopique, intermédiaire entre le microscopique et l’échelle macroscopique. Ces méthodes proviennent des idées développées pour ce type de problèmes dans Prokhorov [181], Kurtz [121] et bien d’autres (voir introduction du Chapitre 5).
Dans le Chapitre 5, nous ne nous intéressons pas à la limite entièrement déterministe, qui se voudrait être le problème présenté à la section précédente (4-5). Mais, nous faisons un re-dimensionnement intermédiaire, pour obtenir ainsi une mesure déterministe pour les monomères (l’idée est de décrire cette population par une densité), tandis que celle des polymères reste un processus stochastique à valeur mesures. Ce choix réside dans le fait que l’on considère toujours une population finie de polymères qui baigne dans un continuum de monomères. Nous pensons que cette échelle présente un intérêt pour les expériences biologiques où clairement le nombre de polymères est “dénombrable” alors que
4. Les modèles de configuration des polymères dans un fluide. 23
celui des monomères est très grand. Nous introduisons donc une alternative au problème entièrement déterministe (4-5), qui méritera par la suite d’être étudié qualitativement et comparé aux données expérimentales, notamment par des simulations numériques.
Première partie
Modélisation de la prolifération in
vivo de la protéine prion
Chapitre 1
Multiple amyloid structures of the
prion protein
Dans ce chapitre deux modèles sont étudiés, l’un pour la nucléation l’autre pour la polymérisation, dans le but de les comparer aux données expérimen-tales de polymérisation in vitro de la protéine prion. Les modèles introduits sont simplifiés de telle manière à ce que les paramètres puissent être identifiés. Chaque hypothèse est justifiée dans les conditions expérimentales de ce travail. L’analyse des données à partir de ces modèles démontre la nécessité d’une étape intermédiaire dans la polymérisation ayant lieu au tout début des expériences : cette étape étant à l’origine de l’hétérogénéité des structures d’amyloides ob-servées expérimentalement. Ce travail est issus d’une collaboration avec l’équipe de J.-P. Liautard (inserm) et publié en version intégrale dans Biochimica et
Biophysica Acta (BBA) - Proteins & Proteomics, [3].
1.1 Introduction
Prions are the unconventional infectious agents responsible for transmissible spongi-form encephalopathies. They appear to be composed mainly or exclusively of misfolded prion protein (PrPSc). Prion replication involves the conversion of the normal prion pro-tein (PrPC) into the misfolded isoform, catalyzed by tiny quantities of PrPSc present in the infectious material [183].
The mainstream molecular theory proposed to explain the prion phenomenon is the so-called amyloid formation introduced by Lansbury’s team [55, 108]. It describes the forma-tion of large aggregates of proteins ordered by specific contacts [74]. The model is based on nucleation-dependent protein polymerization that describes many well-characterized pro-cesses, including protein crystallization, microtubule assembly, flagellum assembly, sickle-cell hemoglobin fibril formation, bacteriophage procapsid assembly, and actin
tion as well as amyloid polymerization. Nucleus formation requires a series of association steps that are thermodynamically unfavorable (K ≪ 1) and so the resultant intermolec-ular interactions do not outweigh the entropic cost of association [46]. Once the nucleus has been formed, further addition of monomers becomes thermodynamically favorable (K ≫ 1) because monomers attach to the growing polymer, resulting in rapid polymer-ization/growth [74]. According to this theory, nucleus formation is the kinetic barrier to sporadic prion diseases that can be bypassed by infection. Nucleus formation is very slow at monomer concentrations slightly exceeding the critical concentration, whereas a small increase in PrP concentration would greatly increase the rate of nucleation [55, 108]. It is assumed that infection results from seeding of PrP polymerization, by preformed PrPSc nuclei.
Amyloids are fibrillar protein polymers with a cross-β structure [45]. Polymerization of proteins or peptides into amyloid fibrils occurs during a number of protein deposition diseases but also during the physiological assembly of several microbial proteins into cell surface structures. In the particular case of the prion proteins, amyloids or amyloid-like assemblies become self-perpetuating in vivo and thus turn into pathological infectious agents in mammals or protein-based genetic elements in yeast [34].
Amyloid formation appears to be the heart of prion propagation. The isomorphism between prion semiology and amyloid formation should be extended to the molecular mech-anisms of strain formation and to molecular mechmech-anisms of species barrier phenomenon. For several years, the existence of prion strains questioned the “protein only” hypothesis of prion diseases. Today, a number of experimental works have clearly demonstrated that structural differences correlate with biological strains [20, 53, 173, 206], see also [52, 72] for recent reviews. Furthermore, besides the natural biological strains discovered during purification of the infectious agent from the brain of infected animals or humans, new strains have been obtained by in vitro manipulation of recombinant or purified prion protein [48, 137]. However, the question of the molecular mechanisms at the origins of the strains is still unclear. In the present work, we show the appearance of heteroge-neous structures during nucleation and their propagation during polymerization. This phenomenon suggests a critical sensitivity to the initial conditions that could explain both the in vitro creation of new strains and the stability of biological isolates. We show that this phenomenon takes place during the first step of the reaction, before nucleation.