Unal et le mod`ele de Speziale - Revue des travaux d’autres auteurs sur les sym´etries

1.5 Revue des travaux d’autres auteurs sur les sym´etries

1.5.6 Unal et le mod`ele de Speziale

Ce dernier paragraphe décrit brièvement la manière dont Ünal a retrouvé le modèle de Speziale ([134]) dans [144] grâce aux symétries.

L’étude de la turbulence par approche RANS conduit à la modélisation du ten-seur de Reynolds

τ = −ρ < u^′′⊗ u^′′> .

Pour vérifier l’invariance par les translations temporelle et de pression, l’invariance galiléenne et l’indifférence matérielle, Ünal propose de prendre

1 ρ ^{τ = a}⁰⁰^{I + a}¹⁰^A¹^{+ a}²⁰^A 2 1+ a01A2+ a02A2 2 + a11(A1A2+ A2A1) + a12(A1A2 2+ A2 2A1) + a21(A2 1A2+ A2A2 1) + a22(A2 1A2 2+ A2 2A2 1) (1.55)

o`u les aij sont des fonctions deKet de ε. A1 et A2sont les tenseurs de Rivlin-Ericksen d’ordre 1 et deux d´efinis par

A1 = G + GT

A2 = ^dA¹

dt ^{+ A}¹^{G + G}

si G est le gradient de la vitesse moyenne

G = ∇ < u > .

On montre que τ est aussi invariant par réflection. Le modèle (1.55) est donc in-variant par toutes les symétries des équations de Navier-Stokes, sauf les changements d’échelle. On ne considérera pas le second changement d’échelle.

Le premier changement d’´echelle (1.31) transforme K, ε, A1 et A2 de la mani`ere suivante : b K= a−2 K, ε = ab −4ε, b A1 = a−2A1 et _Ab₂ _{= a}−4A4. ^(1.56)

On suppose alors que les fonctions aij sont de la forme

a_ij = c_ij ^K

εm

où cij sont des constantes et l et m sont des entiers. En jouant sur les puissances l et m, et en tenant compte de (1.56), on arrive à trouver un modèle invariant par le toutes les symétries à partir de (1.55) :

1 ρ ^{τ = c}^00K^{I + c}¹⁰ K² ε ^A¹^{+ c}²⁰ K³ ε2 A2 1+ c₀₁^K l εm A₂+ c₀₂^K 5 ε4 A2 2 + c11 K⁴ ε3 (A1A2+ A2A1) + c12 K⁶ ε5 (A1A2 2+ A2 2A1) + c21 K⁵ ε4 (A2 1A2+ A2A2 1) + c22 K⁷ ε6 (A2 1A2 2+ A2 2A2 1). (1.57)

En se limitant aux termes quadratiques, on obtient le modèle de Speziale (en remarquant que A2 est un terme quadratique par rapport à G). Rappelons que le modèle de Speziale ([134]) est une prolongation jusqu’au terme quadratique du modèle K− ε standard.

Ces différents travaux témoignent de l’intérêt de respecter les symétries lors de la modélisation de la turbulence. Dans le chapitre suivant, on va alors construire des modèles de turbulence, par approche LES, qui respectent toutes les symétries des équations de Navier-Stokes. Ces modèles pourront être vus comme une généralisation du modèle d’ Ünal dans la mesure où, contrairement à ce derniers, leurs coefficients dépendront aussi des invariants fondamentaux des tenseurs qui interviennent.

Chapitre 2

Construction de mod`eles

respectant les groupes de sym´etrie

On a déjà signalé, et on le montrera plus tard, que la procédure d’évaluation dynamique de la constante d’un modèle permet de retrouver l’invariance d’échelle. Une première idée pour construire un modèle respectant le groupe de symétrie des équations est alors de partir d’un modèle déjà invariant par les autres symétries, comme par exemple du modèle de Smagorinsky. Cette méthode a cependant quelques inconvénients : premièrement, comme elle introduit un filtre test, elle nécessite des conditions sur ce filtre, et deuxièmement, elle détruit le respect du second principe de la thermodynamique. La conformité à ce principe représente pourtant une certaine consistance physique du modèle. De plus, comme on le prouvera, elle garantit la stabilité. Dans ce chapitre, nous proposons alors une autre méthode pour construire des modèles de sous-maille qui sont non seulement consistants du point de vue des symétries mais aussi conformes au second principe de la thermodynamique. Grâce à des tests numériques, nous montrerons que les modèles ainsi construits débouchent sur des résultats meilleurs que ceux obtenus avec les modèles les plus courants.

Ce chapitre se décompose comme suit. Dans la section 2.1, nous montrerons que la procédure dynamique introduit par Lilly ([79]) permet bien de retrouver l’invariance d’échelle du moment que le modèle se met sous la forme

où C est la constante à évaluer et Q représente la partie restante, indépendante de C. Dans la section 2.2, on construira une classe de modèles qui respectent le groupe de symétrie des équations de Navier-Stokes. On raffinera cette classe dans la section 2.3 pour que les modèles soient conformes au second principe de la thermodyna-mique. On démontrera alors que la vérification de ce principe conduit à la stabilité du modèle. Ensuite, nous prouverons l’efficacité numérique d’un des modèles ainsi

construits dans la section 2.4. Nous utiliserons la même démarche dans la section 2.5 pour construire des modèles de la convection thermique invariants et respectant le second principe de la thermodynamique.

2.1 Sur la proc´edure dynamique

Dans cette section, on va démontrer rapidement que la procédure d’évaluation dynamique de la constante conduit à un modèle respectant l’invariance d’échelle. On va prendre le cas de la modélisation de τ . Pour Π, la démonstration est analogue.

Soit un changement d’´echelle qui transforme (entre autres) u en bu tel que :

bu = au,

a pouvant être une puissance du paramètre de la transformation. L’invariance par changement d’échelle est maintenue si et seulement si :

bτ = a²τ. (2.1)

Supposons que τ est modélisé de la manière suivante :

τ = u⊗ u − u ⊗ u ≃ CQ,

Q = F(t, x, u, p, θ, ν, κ, δ) étant un tenseur d’ordre 2 et C la constante du modèle. Supposons aussi que Q se transforme par le changement d’échelle en

Q = bQ. Si b 6= a2 alors le mod`ele n’est pas invariant.

Lorsqu’on applique la proc´edure dynamique, on trouve l’expression suivante de la constante :

C = ^{(^}u ⊗ u − eu ⊗ eu) : (Q − eQ) (Q − eQ) : (Q − eQ)

où Q = F(t, x, eu, ep, eθ, ν, κ, eδ) et le symbole « e » représente le filtrage test. Or Q se transforme de la même manière que Q, c’est-à-dire

b Q = bQ. D’o`u b C = ^a

Dans le document Contribution à l'étude mathématique et numérique de la simulation des grandes échelles (Page 116-122)