Un théorème d'image uniforme pour les représentations `-adiques

Dans cette section on discute d'un résultat de nitude de Cadoret et Tamagawa qui améliore le fait 1.2.2.2.2 quand X est une courbe.

1.3.1.1 Lieu exceptionnel

Soit X une courbe et ρ : π1(X, η) → GLr(Z`) une représentation continue d'image Π. Dans la section 1.2.2.2, on a rappelé que, pour tout x ∈ |X|, le choix d'un chemin étale entre η et x induit une représentation Galoisienne locale

ρx : π1(x, x) → π1(X, x) ' π1(X, η)−→ GL^ρ _r(Z`)

d'image Πx et une inclusion Πx ⊆ Π. Suivant [CK16], on donne la dénition suivante.

Dénition 1.3.1.1.1. On dit que x ∈ |X| est Galois générique pour ρ si Πx ⊆ Π est un sous-groupe ouvert. Si x n'est pas Galois générique on dit que x est Galois exceptionnel pour ρ.

On note Xex

ρ et Xgen

ρ le lieu des points fermés Galois exceptionnels et Galois génériques pour ρ et on pose

X_ρ^ex(≤ d) := X_ρ^ex∩ X(≤ d); X_ρ^gen(≤ d) := X_ρ^gen∩ X(≤ d). 1.3.1.2 Enoncé

La variété X étant géométriquement connexe, on peut considérer la représentation ρ^geo: π1(X_k, η) → π1(X, η) → GLr(Z`)

Dénition 1.3.1.2.1. On dit que ρ est géométriquement Lie parfaite (ou GLP ) si2l'abélianisé de tout sous-groupe ouvert de Πgeo est ni.

Cadoret et Tamagawa montrent le résultat suivant

Fait 1.3.1.2.2 ([CT12b]). Supposons que k est niment engendré et que X est une courbe. Si ρ est GLP , pour tout entier d ≥ 1, l'ensemble Xex

ρ (≤ d) est ni et il existe un entier N ≥ 1, qui ne dépend que de d et ρ, tel que, pour tout x ∈ Xgen

ρ (≤ d), on a [Π : Πx] ≤ N.

Dans les sous-sections suivantes on rappelle les idées principales de la preuve du fait1.3.1.2.2. 1.3.1.3 Théorie des groupes : un système projectif de sous-groupes

On rappelle que Φ(Π) est le sous-groupe de Frattini de Π, c'est à dire l'intersection de tous les sous-groupes ouverts maximaux de Π. Dans la preuve du fait 1.2.2.2.2, un des ingrédients principaux était de considérer l'ensemble ni C des sous-groupes U ⊆ Π tels que Φ(Π) ⊆ U. Pour prouver le fait 1.3.1.2.2, Cadoret et Tamagawa construisent dans [CT12b, Section 3] un système projectif qui rane C. Pour chaque sous-groupe C de Π, on note

C(n) := Ker(C ⊆ Π ⊆ GL_r(Z`) → GL<sub>r</sub>(Z`/`ⁿ). On dénit C0(Π) := {Π} et pour tout entier n ≥ 1

C_n(Π) := {U ⊆ Π tels que Φ(Π(n − 1)) ⊆ U et Π(n − 1) 6⊆ U}.

Par [CT12b, Lemma 3.1], les applications ψn: Cn+1(Π) → Cn(Π)qui envoient U sur UΦ(Π(n − 1)) sont bien dénies et munissent donc la collection {Cn(Π)}_n∈N d'une structure de système projectif. L'analogue du lemme 1.2.2.4.1 est alors le suivant.

Lemme 1.3.1.3.1 ([CT12b, Lemma 3.3]).

1. Pour tout entier n ≥ 0, l'ensemble Cn(Π) est ni ;

2. Pour n  0, si C ⊆ Π est un sous-groupe fermé tel que Π(n − 1) 6⊆ C, alors il existe U ∈ C_n(Π)tel que C ⊆ U.

1.3.1.4 Dictionnaire anabélien I Pour chaque entier n ≥ 0 on note

X_n := ^a

U ∈Cn(Π)

X_U → X.

Alors, puisque la famille {Π(n)}n∈N forme un système fondamental de voisinages ouverts de 1 dans Π, on a

x ∈ X_ρ^ex ⇔ pour n  0 Π(n − 1) 6⊆ Πx

⇔ pour n  0 il existe U ∈ Cn avec Πx ⊆ U (lemme1.3.1.3.1(2) ) ⇔ pour n  0 x ∈ Im(Xn(k(x)) → X(k(x)) (remarque 1.2.2.3.1 ) Cela montre que

X_ρ^ex(≤ d) = ^\

n≥1

Im(X_n(≤ d) → X(≤ d))

et que, pour n  0, on a

{x ∈ X(≤ d)with [Π : Πx] ≤ [Π : Π(n)]} ⊆ X(≤ d) − Im(X_n(≤ d) → X(≤ d)). (1.3.1.4.1) Par (1.3.1.4.1), comme Π a un nombre ni de sous-groupes ouverts d'indices bornés et Cn(Π)est ni, pour montrer le fait1.3.1.2.2 il sut de montrer que, pour n  0 et pour tout U ∈ Cn(Π), l'ensemble XU(≤ d)est ni.

1.3.1.5 Enoncé Diophantien : genre et gonalité

La nitude du nombre de points rationnels d'une courbe lisse Y est contrôlée par le genre gY

et la gonalité3 _γ

Y de la compactication lisse de Y_k. Plus précisément, on a le résultat suivant : Fait 1.3.1.5.1. Soit k un corps niment engendré de caractéristique nulle et soit Y une courbe propre et lisse sur k.

1. ([FW84]) : Si gY ≥ 2alors Y (k) est ni.

2. ([Fal91], [Fre94]) : Si γY ≥ 2d + 1 alors Y (≤ d) est ni.

Revenons aux revêtements XU → X, on veut maintenant montrer que leurs genre et leur gonalité sont grands. Pour chaque sous-groupe ouvert U ⊆ Π, on note k ⊆ kU la plus petite extension nie de k sur laquelle XU est géométriquement connexe et on note gU et γU le genre et la gonalité d'une compactication lisse de XU×_kUk. Alors, pour prouver le théorème 1.3.1.2.2, il est susant de montrer le fait suivant.

Fait 1.3.1.5.2. Supposons que ρ est GLP et xons des entiers d1 ≥ 0, d2 ≥ 1. Alors :

1. ([CT12b, Corollary 3.8]) : Il existe un entier Ng ≥ 1, dépendant uniquement de ρ, d1, d₂, tel que pour tout entier n ≥ Ng et tout U ∈ Cn(Π) on a gU ≥ d1 ou [kU : k] ≥ d2.

2. ([CT13, Corollary 3.11]) : Il existe un entier Nγ ≥ 1, dépendant uniquement de ρ, d1, d₂, tel que pour tout entier n ≥ Nγ et tout U ∈ Cn(Π) on a γ ≥ d1 ou [kU : k] ≥ d₂.

Remarque 1.3.1.5.3. A posteriori, via la formule de Riemann-Hurwitz 1.3.1.5.2(2) implique 1.3.1.5.2(1) mais 1.3.1.5.2(1) est en fait utilisé dans la preuve de 1.3.1.5.2(2).

1.3.1.6 Dictionnaire anabélien II : l'hypothèse GLP

Pour illustrer l'idée de la preuve du fait 1.3.1.5.2(1), on montre dans cette section, suivant [CT12a, Section 4.1.3], que si k = k, alors la représentation ρ est GLP et si Π est inni, alors g_Π(n) tend vers l'inni. Soit n0 ≥ 1un entier. Pour tout n ≥ n0, la formule de Riemann Hurwitz pour le recouvrement XΠ(n) → X_Π(n0) implique que

lim

n→+∞2g_Π(n)− 2 ≥ lim

n→+∞(|Π(n₀)/Π(n)|)(2g_Π(n0)− 2) (1.3.1.6.1) Puisque Π est inni, on a

lim

n→+∞|Π(n₀)/Π(n)| = |Π(n₀)| = +∞.

On en déduit que si supn(gΠ(n)) ≥ 2 il existe un n0 tel que gΠ(n0) ≥ 2 et l'équation (1.3.1.6.1) impliquent que gΠ(n) tendent vers l'inni. On doit donc éliminer les deux possibilités suivantes :

3Rappelons que la gonalité d'une courbe propre et lisse Y sur k est le degré minimum d'un morphisme non constant Y → P1

1. sup(gΠ(n)) = 1. Alors il existe n0 tel que pour tout n ≥ n0 la compactication lisse de X_Π(n)est une courbe elliptique. Puisque tous les morphismes nis entre courbes elliptiques sont non ramiés, le groupe de Galois Π(n0)/Π(n) de XΠ(n) → X_Π(n0) est un quotient du groupe fondamental étale de la compactication lisse de XΠ(n0). En particulier il est abélien et donc Π(n0) = lim←−nΠ(n₀)/Π(n) est abélien et inni. Mais cela contredit le fait que ρ est GLP, puisque Π(n0) serait un sous-groupe ouvert abélien inni de Π.

2. sup(gΠ(n)) = 0. Alors pour tout n ≥ 0, la compactication lisse de XΠ(n) est isomorphe à P1. Le groupe de Galois Π(1)/Π(n) du recouvrement XΠ(n) → X_Π(1) est donc un sous-groupe de PGL2(k). En utilisant la classication des sous-groupes nis de PGL2(k) (cf. par exemple [Cad12a, Corollary 10]) on obtient une contradiction grâce à l'hypothèse GLP comme dans le cas 1.

La preuve du fait1.3.1.5.2(1) est signicativement plus dicile, car les recouvrements XU → X ne sont pas Galoisiens en général. L'idée est de prendre un recouvrement Galoisien XUe → X au dessus de XU → X et proche de la clôture Galoisienne de XU → X et alors :

• On applique d'abord l'argument précédent à XUe ([CT12b, Section 3.3.1]) ;

• On compare ensuite le genre de XUe et XU via la formule de Riemann-Hurwitz ([CT12b, Section 3.3.2]).

On discutera plus en détails de cette stratégie dans la section 2.1.1.3.