Un mod`ele param´etrique pour les microan´evrismes

Mises `a part leurs variations de taille, les microan´evrismes sont assez invariants en forme. Les microan´ecrismes sont de petites hernies, que l’on peut mod´eliser par des sph`eres. Ainsi, une coupe dans un microan´evrisme, passant par son centre, peut ˆetre approch´ee par un disque de rayon R. La hauteur h du microan´evrisme en fonction de r, la distance au

centre de la l´esion, est alors ´egale `a 2√

R2−r2 (l’´equation d’un cercle de centre (a, b) de rayon R est donn´ee par y = b±^pR2−(x−a)2, voir figure 3.28 (a)). D’apr`es la loi de Beer-Lambert, l’intensit´e lumineuse I<sub>0</sub> est att´enu´ee par la diffusion et l’absorption, propor-tionnellement `a la distancedparcourue par la lumi`ere, tel qu’exprim´e par l’´equation suivante.

I =I₀exp(−Γd) (3.58) o`u Γ est le coefficient d’extinction du milieu. Le profil d’intensit´e f_theorique du mi-croan´evrisme est donn´e par l’´equation 3.59 et repr´esent´e sur la figure 3.28 (b).

f_theorique(r;K, R, γ) =

Kexp (−2Γ√

R2−r2)si r < R

K sinon ^(3.59)

(a) mod`ele de mi-croan´evrisme

(b) profil d’intensit´e sur l’image

Figure 3.28 —Profil th´eorique d’un microan´evrisme

Du fait de la diffusion et des probl`emes d’acquisition, nous constatons qu’il est plus ap-propri´e de mod´eliser les l´esions par une gaussienne g´en´eralis´ee de r´evolution (´eventuellement invers´ee) d´efinie par l’´equation 3.60 et repr´esent´ee sur la figure 3.29 :

   f(r;α, β, γ, δ) =γ+δexp |r| α β r =^px2+y2 (3.60) o`u :

– α est un param`etre mod´elisant la taille de la l´esion

– β est un param`etre mod´elisant la nettet´e des contours de la l´esion (qui d´epend essen-tiellement de la modalit´e)

– γ est un param`etre mod´elisant l’intensit´e du fond de l’image – δ est un param`etre mod´elisant la hauteur de la l´esion

Pour illustrer le mod`ele, quelques exemples typiques de microan´evrismes et de profils d’images sont donn´es sur la figure 3.30 et compar´es `a un mod`ele synth´etique. La fonction gaussienne g´en´eralis´ee est bien adapt´ee car elle peut mod´eliser des images de microan´evrismes avec des contours plus ou moins nets, en fonction de la modalit´e d’acquisition.

Pour valider le mod`ele, nous avons ´etudi´e l’´ecart de forme entre les images r´eelles et le mod`ele. Pour cela, 100 images de l´esions de r´ef´erence ont ´et´e d´etect´ees manuellement. Pour chaque l´esion, α, γ et δ sont d´etermin´es afin de minimiser l’´ecart entre l’image et la l´esion, ´etant donn´e un param`etre de forme fixeβ =β₀. Le fond de l’image est pr´ealablement ´elimin´e par des op´erateurs de morphologie math´ematique (ce pr´etraitement n’est effectu´e que pour

3.4. SIGNATURE INT ´EGRANT UNE INFORMATION LOCALE : LE NOMBRE DE

L ´ESIONS D ´ETECT ´EES 69

(a) influence deα(β=2,γ=0,δ=1) (b) influence deβ(α=1,γ=0,δ=1)

Figure 3.29 —Fonction gaussienne g´en´eralis´ee `a une dimension

Figure 3.30 —Validation du mod`ele de microan´evrisme

la validation du mod`ele). Ces param`etres sont estim´es `a partir des pixels dont la distance au centre est inf´erieure `a 2α (correspondant approximativement au support de la l´esion). Soitg

le niveau de gris en un pixel donn´e, ¯g= ^g−γ

δ ^{le niveau de gris normalis´e,r la distance entre}

ce pixel et le centre de la l´esion et ¯r = ^r

α ^{la distance normalis´ee. Nous ´etudions la moyenne}

et l’´ecart-type de l’erreur d’estimation en un pixel ¯e_pw= ¯g−f(¯r; 1, β₀,0,1) en fonction de sa distance au centre de la l´esion ¯r.β₀ est choisi parmi un ensemble discret de valeurs de telle sorte que la somme sur ¯r de la moyenne de ¯epw soit minimale. Les r´esultats sont donn´es dans la table 3.6 et sur la figure 3.31. Il en ressort que l’erreur d’estimation moyenne est tr`es faible quelle que soit la distance du pixel au centre, mˆeme si son ´ecart-type est assez ´elev´e.

Pour valider l’utilisation d’un mod`ele invariant par rotation, les 100 l´esions de r´ef´erence sont d´elimit´ees manuellement par une forme elliptique. Puis le coefficient d’aplatissement de l’ellipse (1−^r1

r2, o`ur1 est la demi longueur du petit axe et r2 est la demi longueur du grand axe) est calcul´e : les r´esultats sont donn´es sur la figure 3.32. Ils confirment que les l´esions sont rarement allong´ees.

Puisque nous travaillons avec la transform´ee en ondelettes des images, le param`etre γ, la composante constante du mod`ele, peut ˆetre fix´e `a 0 (voir paragraphe 3.4.2), ce qui permet de simplifier le mod`ele.

Figure 3.31 —Ecarts de forme entre les images r´eelles de microan´evrismes et le mod`ele. L’erreur moyenne pour chaque intervalle est repr´esent´ee par un carr´e, et l’´ecart-type par des

segments de droite : la longueur d’un demi-segment correspond `a l’´ecart-type.

Tableau 3.6 —Ecarts de forme entre les images r´eelles de microan´evrismes et le mod`ele

intervalle de distance moyenne ´ecart-type 0≤r ≤r0 -0.0099 0.085 r₀ ≤r ≤r₁ 0.0177 0.144 r₁ ≤r ≤r₂ 0.0101 0.152 r2 ≤r ≤r3 0.0081 0.159 r₃ ≤r ≤r₄ -0.0135 0.154 r₄ ≤r ≤r₅ -0.0215 0.123 r5 ≤r ≤r6 0.0023 0.095 r₆ ≤r ≤2α 0.0141 0.086

Moyenne et ´ecart-type de l’erreur d’estimation pour plusieurs intervalles de distancer au centre de la l´esion,rvariant de 0 `a 2α. Les r´esultats sont trac´es sur la figure 3.31.

Figure 3.32 —Sym´etrie des microan´evrismes. la figure repr´esente la distribution de l’apla-tissement des microan´evrismes : quatre ellipses de valeurs d’aplal’apla-tissement diff´erentes sont repr´esent´ees. Sur chaque ellipse est indiqu´e le pourcentage de l´esions d´etect´ees manuellement

3.4. SIGNATURE INT ´EGRANT UNE INFORMATION LOCALE : LE NOMBRE DE

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