Ao estudarmos equa¸c˜oes diferenciais deparamos com a dimens˜ao de uma equa¸c˜ao diferencial que se refere ao n´umero de vari´aveis dependentes que temos na equa¸c˜ao. Quando uma vari´avel x ´e fun¸c˜ao da vari´avel independente t temos uma equa¸c˜ao diferencial linear expressa por ˙x, sendo a taxa de varia¸c˜ao instantˆanea de x em rela¸c˜ao ao t, em termos do estado atual x do sistema. Como exemplo, temos a equa¸c˜ao
˙x≡ dx
dt = ax, (2.3)
onde x ´e uma fun¸c˜ao escalar de t, a ´e uma constante real e ˙x indica a taxa de varia¸c˜ao instantˆanea em rela¸c˜ao ao tempo. Quando a > 0 temos um simples modelo de crescimento populacional quando a popula¸c˜ao ´e pequena. A taxa dx/dt em que a popula¸c˜ao cresce ´e proporcional ao tamanho x da popula¸c˜ao.
A Equa¸c˜ao diferencial (2.3) tem uma fam´ılia de solu¸c˜oes, dadas por x(t) = ceat, onde c ´e um n´umero constante real. Substituindo t = 0, temos x(0) = c. O n´umero x0 = x(0) ´e o valor inicial da fun¸c˜ao x. Ent˜ao a solu¸c˜ao do problema de valor inicial
x0 = x(0) juntamente com a EDO em (2.3) ´e dada por
x(t) = x0eat. (2.4)
Na Figura2.1 temos as fam´ılias de todas as solu¸c˜oes da Equa¸c˜ao diferencial (2.3), para v´arias condi¸c˜oes iniciais x0. Cada escolha de valor inicial x0, nos fornece uma solu¸c˜ao.
representa o conjunto de solu¸c˜oes e deste modo, F (t, x0) ´e o valor no tempo t da solu¸c˜ao
de valor inicial x0. Certas solu¸c˜oes da Equa¸c˜ao (2.3) se destacam mais que outras, por
exemplo, quando x0 = 0 a sua solu¸c˜ao ´e uma fun¸c˜ao constante x(t) = 0, denotada por
x≡ 0 e ´e chamada de equil´ıbrio da equa¸c˜ao. Ainda na Figura 2.1 representamos o retrato de fase, quando o eixo-t ´e suprimido, mostrando que os valores de x divergem para a > 0 e convergem quando a < 0.
Figura 2.1: Fam´ılia de solu¸c˜oes para ˙x = ax. (a) a > 0: crescimento exponencial; (b) a < 0
decaimento exponencial; (c) espa¸co de fase.
FONTE: Adaptada de [21], p´aginas 276 e 278.
Por outro lado, a Equa¸c˜ao (2.3) deixa de ser um modelo adequado para grandes popula¸c˜oes x porque ignora os efeitos da superlota¸c˜ao, que s˜ao modelados por termos n˜ao-lineares. Estudos de Thomas Malthus em seu livro “Ensaio sobre o Princ´ıpio da Po- pula¸c˜ao” [50], publicado em 1798, relacionava a popula¸c˜ao de uma gera¸c˜ao com a popula¸c˜ao de uma nova gera¸c˜ao [16], com base na suposi¸c˜ao de que a popula¸c˜ao aumentava progressi- vamente na dependˆencia de um fator de crescimento que seguia uma progress˜ao geom´etrica, enquanto que os meios de subsistˆencia aumentavam em uma progress˜ao aritm´etica de forma bem mais lenta, concluindo que em breve n˜ao haveria alimento para todos.
Preconizando o controle da procria¸c˜ao, Pierre-Fran¸cois Verhulst em 1838 inseriu o conceito de fatores inibidores, sugerindo que a taxa de crescimento de uma popula¸c˜ao, n˜ao seria constante mas aumentaria de uma maneira exponencial com o passar do tempo. Deste modo, a taxa de crescimento da popula¸c˜ao, pode ser modelada por uma fun¸c˜ao n˜ao-linear,
aqui chamada de fun¸c˜ao log´ıstica da popula¸c˜ao. A equa¸c˜ao diferencial
˙x = ax(1− x), (2.5)
onde a ´e uma constante positiva, ´e chamada de equa¸c˜ao diferencial log´ıstica. Quando x se aproxima de 1, a popula¸c˜ao est´a no limite e a taxa de aumento da popula¸c˜ao vai para zero. Fazendo ˙x igual a 0 na Equa¸c˜ao (2.5) teremos duas solu¸c˜oes de equil´ıbrio, x≡ 0 e x ≡ 1. Na Figura 2.2 ´e mostrado o fluxo de solu¸c˜oes da Equa¸c˜ao (2.5). Para cada condi¸c˜ao inicial x0 h´a uma ´unica curva de solu¸c˜ao que denotamos por F (t, x0) que satisfaz
simultaneamente a equa¸c˜ao diferencial e a condi¸c˜ao inicial x0. A curva de solu¸c˜ao F (t, x0)
pode ou n˜ao ser definida para tempos futuro [21]. Quando x≡ 1 as solu¸c˜oes de equil´ıbrio s˜ao assint´oticas, para todo intervalo de tempo t, por outro lado, quando x0 < 0 as solu¸c˜oes
explodem num tempo finito, isto ´e, elas tˆem uma solu¸c˜ao assint´otica para alguns valores de tempo finitos, visto que n˜ao tem sentido falar em popula¸c˜oes negativas.
Figura 2.2: Solu¸c˜oes para a Equa¸c˜ao diferencial log´ıstica (2.5). (a) Quando a condi¸c˜ao inicial for positiva as curvas de solu¸c˜ao tendem para x = 1 `a medida que t aumenta e quando a condi¸c˜ao inicial ´e negativa as curvas divergem; (b) espa¸co de fase.
FONTE: Adaptada de [21], p´agina 279.
As setas na Figura 2.2(b) indicam as dire¸c˜oes das solu¸c˜oes para perto ou para longe do ponto de equil´ıbrio, evidenciando o comportamento assint´otico destas solu¸c˜oes. O retrato de fase da Equa¸c˜ao diferencial log´ıstica (2.5) ´e mostrado na Figura2.2(b). As setas
no retrato de fase mostram o sinal da derivada (positiva ou negativa) para os pontos que s˜ao maiores ou menores que os valores de equil´ıbrio. Em equa¸c˜oes diferenciais autˆonomas unidimensionais, o retrato de fase fornece toda a informa¸c˜ao importante sobre as solu¸c˜oes. Quando as condi¸c˜oes iniciais propostas s˜ao positivas as curvas das solu¸c˜ao convergem para x = 1 `a medida que o tempo aumenta (t → ∞) e quando as condi¸c˜oes iniciais s˜ao ne- gativas as curvas divergem (t → −∞). Uma solu¸c˜ao para estes equil´ıbrios ´e chamado de atrator ou dissipador se as trajet´orias de condi¸c˜oes iniciais pr´oximas convergem para ele. E ser´a chamado de repulsor ou fonte se as solu¸c˜oes atrav´es das condi¸c˜oes iniciais pr´oximas divergem a partir dele. Deste modo, na Equa¸c˜ao (2.3), x ≡ 0 ´e um atrator para a < 0 e um repulsor para a > 0. Enquanto que na Equa¸c˜ao (2.5), x ≡ 0 ´e um repulsor e quando x≡ 1 ´e um atrator.
Ao estudarmos equa¸c˜oes diferenciais que governam uma s´erie de problemas f´ısicos, e para que a solu¸c˜ao destas equa¸c˜oes tenham solu¸c˜ao ´unica, suas fun¸c˜oes e suas derivadas devem ser cont´ınuas no dom´ınio de defini¸c˜ao destas fun¸c˜oes [7]. Se estas condi¸c˜oes s˜ao satisfeitas, existe um teorema que garante a existˆencia e a unicidade das solu¸c˜oes a partir de qualquer condi¸c˜ao inicial pertencente a esse dom´ınio e que seja dependente dos dados presentes no problema. Logo, nos deparamos com as seguintes propriedades:
• Existˆencia: cada ponto no plano (t, x) tem uma solu¸c˜ao que passa atrav´es dele, esta solu¸c˜ao tem inclina¸c˜ao dada pela equa¸c˜ao diferencial naquele ponto;
• Unicidade: o problema tem, no m´aximo, uma solu¸c˜ao;
• Dependˆencia Cont´ınua: a solu¸c˜ao depende continuamente dos dados que est˜ao pre- sentes no problema, logo o fluxo F (t, x0) ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua de x0 e t.
Nesta se¸c˜ao, estuda-se as equa¸c˜oes diferenciais nas quais a quantidade aumenta ou diminui em uma maneira monotˆonica, alcan¸cando um ponto fixo quando o tempo ´e aumentado. No mundo real estas quantidades podem oscilar para acima ou abaixo de maneira regular ou irregular. As equa¸c˜oes diferenciais unidimensionais (uma ´unica vari´avel de primeira ordem e a primeira derivada) n˜ao podem produzir este tipo de oscila¸c˜ao, logo torna-se necess´ario o entendimento de equa¸c˜oes diferenciais em mais de uma dimens˜ao.