Types de points critiques pour les fonctions de plusieurs variables

Rota de Aprendizagem 1 (R1)

Houve avanço nessa rota de aprendizagem (A). O estudante teve um desempenho parcial na primeira questão dessa rota (Q23), com o preenchimento correto da tabela e estabelecendo corretamente a lei da função; apresentou respostas corretas apenas para os itens

estudo de sinal parcial, deixando o item d sem resposta; não apresentou nenhum registro para o item e, como podemos observar na figura 21.

Quanto à questão Q33, percebemos um melhor desempenho e, de fato, uma significativa evolução em relação à questão anterior. O estudante apresentou justificativas aceitáveis para os itens b e c; utilizou a tabela para responder os itens e, f; resolveu a inequação simultânea, apesar de não ter apresentado o conjunto interseção, que forneceria a resposta a esse item, e apresentou solução na linguagem natural para o item g. Ressaltamos que o estudante apresentou a forma reduzida da inequação de 2º grau correspondente ao item f, embora não a tenha resolvido algebricamente, pois utilizou a tabela e o item d. Parece razoável supor que tenha estabelecido uma conexão entre os diferentes recursos disponíveis para resolver a questão.

Na última questão dessa rota (Q52), o estudante não resolveu as inequações graficamente e cometeu alguns equívocos em relação às resoluções algébricas das inequações apresentadas no item b, como podemos observar na figura 23. Além disso, não apresentou os comentários solicitados, relacionando a resolução gráfica e algébrica. O estudante não fez a conexão esperada entre a resolução gráfica e algébrica, mesmo porque não apresentou nenhum registro referente à solução gráfica. Apesar dessa ruptura na trajetória de avanço, defendemos a tese do avanço (A) nessa rota como um todo, em função da evolução apresentada na comparação entre as duas primeiras questões (Q23 e Q33).

Rota de Aprendizagem 2(R2)

Nessa rota de aprendizagem o estudante não mostrou avanço (tipo NA). Baseamos nossa tese, nesse caso, na relação entre as resoluções das duas primeiras questões (Q24 e Q53) e a da terceira (Q62). Embora tenha resolvido corretamente os itens da Q24 e tenha também resolvido graficamente e algebricamente as inequações da Q53, este estudante não fez as comparações solicitadas nos itens d, e, f desta questão e mostra que não avançou em relação a esses pontos (percepção das conexões e das congruências nas conversões entre as linguagens gráficas e algébricas) deixando em branco os itens d, f da Q62, como pode ser observado na figura 24, na figura 25 e na figura 26, mostradas a seguir

Verso da folha

FIGURA 23 - Registro da Questão Q52 - Estudante E1

FIGURA 25 - Registro da Questão Q53 - Estudante E1

Rota de Aprendizagem 3 (R3)

Não houve avanço nessa rota de aprendizagem (tipo NA). O estudante não demonstrou avanço significativo quando foram envolvidos elementos geométricos, apesar de ter resolvido corretamente a grande maioria dos itens da questão Q31, como podemos observar na figura 27. Na questão Q42, o estudante estabeleceu corretamente a lei da função e seu domínio, resolveu corretamente a equação proposta, não obtendo o mesmo desempenho em relação à inequação, cometendo equívocos como a indicação de que -x2 + 5x -2 < 0 em vez de menor que 0 (provavelmente tomou a função área como aquela dada pela equação do item anterior, depois de ter trocado o sinal de ambos os termos da igualdade, não percebendo que a desigualdade fica afetada). Além disso, não apresentou o gráfico da função, como solicitado no item g e não apresentou solução para os itens e, f. O não avanço para essa rota de aprendizagem é confirmado na resolução da questão Q61, pois o estudante não apresentou melhor desempenho na resolução da mesma, deixando quase todos os itens em branco, como podemos observar na figura 29. Talvez possa ter havido alguma questão de tempo envolvida aí, pois na Q42 o mesmo estudante foi capaz de desenvolver corretamente as soluções para inequações “parecidas” com as pedidas nos itens da Q61.

Figura 28 – Registro da Questão Q42 – Estudante E1

Rota de Aprendizagem 4 (R4)

Houve avanço nessa rota de aprendizagem (A). O estudante E1 apresentou alguns elementos novos na resolução das questões, como, por exemplo, comentários e justificativas de fatos observados, tradução de linguagem gráfica para a linguagem natural e vice-versa etc. Podemos verificar tais resultados observando as figuras 30 e 31, onde apresentamos os registros do estudante para as questões Q41 e Q51. Observamos que, na questão Q41, o estudante realizou uma construção gráfica um tanto quanto curiosa, aceita em nossa análise.

No item g, dessa mesma questão, não completou um dos comentários realizados, fato que nos chamou atenção. Entretanto, o primeiro comentário realizado foi suficiente para a conclusão do item b.2 desta questão. Na Q51 o estudante obteve bom desempenho nos itens relativos à resolução gráfica e algébrica. Relevante para nós foi a situação problema esboçada no item d desta questão, quando apresentou uma forma possível (embora não muito correta, do ponto de vista científico) de conversão da linguagem gráfica para a linguagem natural (neste caso, não nos pareceu pedagogicamente correto enfatizar a inadequada relação imaginada pelo estudante entre a temperatura e a expansão dos gases).

FIGURA 30 - Registro dos itens f e g da Questão Q41 - Estudante E1

Em resumo, poderemos analisar a trajetória do estudante E1 através do seguinte quadro:

QUADRO 4

Resumo da análise da trajetória do Estudante E1 ao longo da sequência de atividades

Rota 1 Rota 2 Rota 3 Rota 4

A NA NA A

3.2 Estudante E2

Rota de Aprendizagem 1 (R1)

Não houve avanço nessa rota de aprendizagem (tipo NA*). O estudante resolveu as questões utilizando a tabela, apresentando resultados corretos para os itens b, c da questão Q23. No item d registrou algebricamente a inequação, indicando solução gráfica (estudo de sinal), mas não indicou solução algébrica. Para o item e apresentou resposta sem nenhum desenvolvimento. Na questão Q33, o estudante apresentou respostas corretas para todos os itens como: preenchimento da tabela, explicações coerentes a respeito dos itens b, c, não apresentando porém, as resoluções algébricas. Supomos que o estudante utilizou o recurso da tabela para dar respostas nos itens. Já na questão Q52, o estudante apresentou respostas corretas para todos os itens, com destaque para o item c, comentários das situações apresentadas na questão proposta.

Rota de Aprendizagem 2 (R2)

Não houve avanço nessa rota de aprendizagem (tipo NA*). Apresentou resolução correta para todos os itens, resolvendo algebricamente os itens a, b, da questão (inequações modulares). Nos itens c, d, apresentou apenas as respostas corretas. Nas outras questões, Q53 e Q62, o estudante apresentou resolução correta para a grande maioria dos itens, mas deixou em branco os itens d, f da última questão dessa rota. Vale ressaltar que o estudante traduziu da linguagem gráfica para a algébrica e apresentou tratamentos adequados nessas conversões.

Rota de Aprendizagem 3 (R3)

Não houve avanço nessa rota de aprendizagem (tipo NA). O estudante apresentou registro correto para todos os itens da questão Q31. Ressaltamos que, apesar de não ter apresentado registro para o item h (“Expresse os itens e, f e g utilizando equações e inequações”), o estudante apresentou nos itens anteriores (e, f, g) os registros algébricos

convenientes para a solução desses itens, traduzindo da linguagem natural para a linguagem algébrica e efetuando corretamente os tratamentos. Na questão Q42, o estudante apresentou resolução correta para os itens a, b, c, d, realizando as traduções da linguagem natural para a linguagem algébrica, inclusive para o item e. Nos itens, e, f, g, o estudante não apresentou nenhum registro. Já para a questão Q61, o estudante apresentou resolução correta para os itens

a, b, c, e. Porém, apesar de realizar corretamente as traduções da linguagem natural para a

algébrica nos itens d, f, o estudante não desenvolveu estes itens.

Rota de Aprendizagem 4 (R4)

Não houve avanço nessa rota de aprendizagem (tipo NA*). O estudante desenvolveu corretamente todos os itens das questões dessa rota. Importante ressaltar que o estudante apresentou análises e comentários pertinentes nos itens g, da questão Q41 e c, da questão Q51. No entanto, não apresentou a tradução da linguagem algébrica para a linguagem natural solicitada no item dessa questão.

Em resumo, poderemos analisar a trajetória do estudante E2 através do seguinte quadro: QUADRO 5

Resumo da análise da trajetória do Estudante E2 ao longo da sequência de atividades

Rota 1 Rota 2 Rota 3 Rota 4

NA* NA* NA NA*

3.3 Estudante E3

Rota de Aprendizagem 1 (R1)

Houve avanço nessa rota de aprendizagem (A). O estudante apresentou soluções corretas no preenchimento da tabela e para os itens b, c, da questão Q23. No entanto, não resolveu algebricamente os itens d, e, não registrando as traduções entre a linguagem natural e algébrica. Em relação à questão Q33, observamos que o estudante conseguiu realizar as traduções da linguagem natural para a linguagem algébrica e apresentou tentativa de resolução para as inequações propostas. Ressaltamos que o estudante respondeu corretamente os itens em que foi necessária a resolução algébrica, ou seja, pressupõe-se que utilizou o recurso da tabela para concluir suas respostas. Já na questão Q52, o estudante apresentou

resolução correta para os itens a, b, confirmando nossa tese de avanço de aprendizagem nessa rota.

FIGURA 33 - Registro da Questão Q33 - Estudante E3

Rota de Aprendizagem 2 (R2)

Houve avanço nessa rota de aprendizagem (A). O estudante apresentou respostas corretas para os itens da questão Q24, mas não apresentou nenhuma justificativa para as soluções (não houve desenvolvimento numérico, nem algébrico). Entretanto, o estudante apresentou na questão Q53 respostas corretas para todos os itens, resolvendo graficamente e algebricamente as inequações modulares propostas. Ressaltamos que o estudante cometeu pequeno equívoco nos registros dos conjuntos soluções, como podemos verificar nas figuras abaixo. Importante evolução pode-se verificar na resolução da questão Q62, pois o estudante resolveu corretamente todos os itens da questão, além de apresentar análise solicitada no item

f da mesma.

FIGURA 36 - Registro da Questão Q53 - Estudante E3

Rota de Aprendizagem 3 (R3)

Não houve avanço nessa rota de aprendizagem (tipo NA). O estudante apresentou resoluções corretas para os itens a, b, c, d, e, g da questão Q31, cometendo equívoco na resolução do item f, não apresentando nenhum registro para o item h dessa questão. Vale ressaltar que no desenvolvimento dos itens d, e, o estudante traduziu da linguagem natural para a linguagem algébrica, efetuando os tratamentos adequadamente. Na questão Q42, o estudante determinou a lei de formação da função área, apresentando respostas e resoluções corretas para os itens b, c, d. No item e, apresentou apenas a tradução da linguagem natural para a linguagem algébrica, não resolvendo a inequação traduzida. Não apresentou registros para os itens f, g dessa questão. Já na questão Q61 o estudante não apresentou nenhum registro, reforçando nossa tese de não avanço (NA).

Rota de Aprendizagem 4 (R4)

Houve avanço nessa rota de aprendizagem (A). O estudante apresentou preenchimento correto da tabela e respostas pertinentes para os itens b, c, da questão Q32, mas, deixou em branco todos os itens seguintes. Já a questão Q41 foi resolvida corretamente e o estudante apresentou, além das respostas corretas para todos os itens, resolução gráfica da situação problema apresentada e análise da mesma, referente aos itens f, g. Para a questão Q51, o estudante apresentou resolução correta para os itens a, b, c, deixando de elaborar, através da linguagem natural, a situação problema solicitada na questão. Apesar disto, defendemos nossa tese de avanço (A) nessa rota de aprendizagem, pois o estudante apresentou indícios de evolução na grande maioria dos itens resolvidos.

FIGURA 40 - Registro da Questão Q41 - Estudante E3

Em resumo, poderemos analisar a trajetória do estudante E3 através do seguinte quadro:

QUADRO 6

Resumo da análise da trajetória do Estudante E3 ao longo da sequência de atividades

Rota 1 Rota 2 Rota 3 Rota 4

A A NA A

3.4 Estudante E4

Rota de Aprendizagem 1 (R1)

Não houve avanço nessa rota de aprendizagem (tipo NA). O estudante apresentou registros corretos para os itens a, b, c da questão Q23, traduziu corretamente da linguagem natural para a linguagem algébrica o item d, e iniciou a resolução da inequação traduzida, ou seja, não efetuou o tratamento. No item e, o estudante não apresentou nenhum registro. Na questão Q33, o estudante iniciou o preenchimento da tabela, completando-a até n = 12, assinalando a frase “não deu tempo” (justificativa do estudante para o não preenchimento completo da mesma). Diante disso, o estudante não apresentou nenhum registro para os outros itens da questão. Já na questão Q52, o estudante apresentou registros corretos para todos os itens, indicando equívocos nos conjuntos solução das inequações relativas ao item b. Vale

ressaltar que o estudante não apresentou comentários a respeito da coordenação entre os registros. Defendemos, então, a tese de não avanço (tipo NA) nessa rota de aprendizagem.

Rota de Aprendizagem 2 (R2)

Houve avanço nessa rota de aprendizagem (A). O estudante traduziu da linguagem natural para a linguagem algébrico, na tentativa de resolução do item a da questão Q24, apresentando resposta incorreta para este item. Quanto aos outros itens da questão, o estudante não assinalou nenhum registro de resolução. Para a questão Q53, o estudante apresentou resoluções corretas para todos os itens, ficando comprometida a resolução gráfica, o estudante assinalou os pontos (x, y) para a resolução e não os valores de x que tornariam as inequações verdadeiras. Já a questão Q62, foi resolvida corretamente em grande parte dos itens solicitados, preenchimento de tabela, construção gráfica e resolução parcial da inequação modular. Defendemos nesse caso, a tese de avanço (A) nessa rota de aprendizagem, já que o estudante apresentou durante a rota a construção gradativa dos conceitos apresentados.

FIGURA 43 - Registro da Questão Q53 - Estudante E4

Rota de Aprendizagem 3 (R3)

Não houve avanço nessa rota de aprendizagem (tipo NA). O estudante apresentou resolução correta para todos os itens da questão Q31. Já na questão Q42, apresentou apenas registros corretos para os itens a, b, c, assinalando a frase “não deu tempo” para os itens e, g. Não apresentou nenhum registro para o item f dessa questão. A questão Q61 foi resolvida parcialmente. O estudante apresentou resoluções corretas para os itens a, b, e, mas deixou em branco todos os outros itens. Percebemos que não houve uma evolução considerável nessa rota de aprendizagem, por isso defendemos a tese de não avanço (tipo NA).

Rota de Aprendizagem 4 (R4)

Não houve avanço nessa rota de aprendizagem (tipo NA*). O estudante apresentou resoluções corretas para todos os itens das questões propostas nesta rota. Ressaltamos que não registrou nenhum comentário pertinente em relação à coordenação entre os registros, gráfico e algébrico, não elaborando também a situação problema solicitada no item d, da questão Q51. Diante disso, verificamos que o estudante tem um domínio algébrico e gráfico em relação à função de 1º grau, por isso não constatamos evolução durante a rota de aprendizagem, o que confirma nossa tese de não avanço (NA*).

Em resumo, poderemos analisar a trajetória do estudante E3 através do seguinte quadro:

QUADRO 7

Resumo da análise da trajetória do Estudante E4 ao longo da sequência de atividades

Rota 1 Rota 2 Rota 3 Rota 4

NA A NA NA*

3.5 Estudante E5

Rota de Aprendizagem 1 (R1)

Houve avanço nessa rota de aprendizagem (A). O estudante apresentou três registros incorretos no preenchimento da tabela da questão Q23, e, consequentemente não conseguiu definir a lei matemática pedida. Já na questão Q33, o estudante preencheu a tabela, cometendo pequenos equívocos na determinação do número de diagonais do polígono, para os valores os valores de n = 12 a n = 100. Respondeu corretamente apenas os itens d, e, utilizando o recurso da tabela, e não passou do início da resolução da inequação do item f. Na

Q52, o estudante apresentou respostas corretas na resolução gráfica e algébrica, embora não tenha registrado nenhum comentário a respeito das soluções encontradas. Diante disso, constatamos que houve algum avanço nessa rota de aprendizagem. Nas figuras abaixo, apresentamos as soluções de duas das três questões dessa rota, com dados que acreditamos fundamentar nossas conclusões de avanço.

FIGURA 45 - Registro da Questão Q33 - Estudante E5

Rota de Aprendizagem 2 (R2)

Não houve avanço nessa rota de aprendizagem (tipo NA). Esse não avanço fica comprovado especialmente pelo desempenho do estudante E5 na última questão (Q62) e por deixar em branco todos os itens da segunda questão da rota (Q53). Observamos que, na questão Q24, E5 apresenta alguns equívocos na substituição dos valores de n, como podemos observar na figura 47, itens a, b. E5 substitui corretamente o valor de n = 12, no item d, mas responde incorretamente a pergunta. Quanto ao item a, desta questão, algumas respostas estão corretas e outras incorretas. O estudante não apresentou registros na questão Q53 dessa rota. Na Q62, última desta rota e que envolve o uso de vários recursos, este estudante apresenta registros corretos no preenchimento da tabela, constrói os gráficos cometendo um equívoco na interpretação da função g(x) = 5 com o valor de g(5), porém, apresenta dificuldades na resolução de inequações modulares. Ao registrar, no campo da resolução, a expressão “testando valores” conclui que a resposta é dada apenas pelos valores maiores que 10. Neste caso, percebe-se que E5 não conseguiu estabelecer a conexão entre a tabela e a resolução algébrica da inequação, já que respondeu corretamente o item b da questão Q62.

Rota de Aprendizagem 3 (R3)

Não houve avanço nessa rota de aprendizagem (tipo NA). O estudante apresentou, ao longo dessa rota, um desempenho estabilizado ou até mesmo um declínio de desempenho. Consegue registros corretos no desenvolvimento da primeira questão, Q31, desenhando a figura (apesar de fora da escala), respondendo corretamente o item c (cálculo da área do trapézio) e resolvendo as equações e inequações propostas, traduzindo da linguagem natural para a linguagem algébrica. No item h, apresentou como solução o conjunto S = {x / 7 < x < 7}, registro para o qual não conseguimos dar sentido na análise. Quanto à questão Q42, observamos que o estudante apresentou a lei e o domínio da função, mas não desenvolveu corretamente os outros itens, como podemos observar na figura abaixo. Em relação à questão Q62, observamos que o estudante resolveu apenas a equação referente ao item a, não apresentando nenhum registro para os demais itens.

Rota de Aprendizagem (R4)

Sinais de avanço podem ser observados nessa rota de aprendizagem (A) para o estudante E5. Equivocou-se ao preencher o primeiro item da tabela da primeira questão desta rota (Q32) e resolveu a inequação como se fosse equação, perdendo a congruência do objeto ao converter da linguagem natural para a linguagem algébrica. No entanto, na resolução das questões Q41 e Q51 o estudante apresentou melhor desempenho, ou seja, resolveu corretamente todos os itens, exceto o item h da questão Q51, onde se pedia para inventar uma situação- problema que pudesse levar à inequação resolvida num dos itens.

Em resumo, poderemos analisar a trajetória do estudante através do quadro abaixo:

QUADRO 8

Resumo da análise da trajetória do Estudante E5 ao longo da sequência de atividades

Rota 1 Rota 2 Rota 3 Rota 4

A NA NA A

3.6 Estudante E6

Rota de Aprendizagem 1 (R1)

Não houve avanço nessa rota de aprendizagem (tipo NA). O estudante apresentou equívocos no preenchimento da tabela da questão Q23 e, consequentemente não estabeleceu corretamente a lei de formação, comprometendo todas as respostas dos itens subsequentes. Assinalou incorretamente a resposta para o item a, dessa questão e assinalou a frase: “levado ao grupo”, para os itens c, d, e. Na questão Q33 cometeu os mesmos equívocos no preenchimento da tabela, de n = 12 a n = 100, não assinalando nenhum registro para os outros itens dessa questão. Já na questão Q52 o estudante apresentou registros para a resolução gráfica e algébrica, entretanto resolveu corretamente apenas o item b (resolução algébrica). Assinalou no item c (comentários pertinentes), a seguinte frase: “Para os resultados serem verdadeiros estes, obedecem uma condição.” A análise do estudante ficou confusa e não conseguimos entender o significado da mesma. Deste modo, defendemos a tese de não avanço (NA) nessa rota de aprendizagem.

Rota de Aprendizagem 2 (R2)

Houve avanço nessa rota de aprendizagem (A). O estudante apresentou registros corretos para todos os itens da questão Q24, utilizando a estratégia de “testar valores”, não apresentando registro algébrico. Na questão Q53, apresentou indícios de evolução na resolução algébrica, mas cometeu alguns equívocos na resolução gráfica da equação e das inequações propostas. Como podemos observar nas figuras abaixo, o estudante não resolveu corretamente os itens, mas indicou soluções parcialmente corretas, mostrando-nos alguma compreensão para os itens solicitados. Quanto à questão Q62, preencheu corretamente a tabela, respondeu corretamente os itens b, c, d, resolvendo parcialmente o item e. Ressaltamos que o item d, dessa questão foi “resolvida em conjunto”, como assinalou o estudante em seu protocolo, o que não contradiz a nossa tese de avanço (A) nessa rota de aprendizagem.

FIGURA 52 - Registro da Questão Q53 - Estudante E6

Rota de Aprendizagem 3 (R3)

Não houve avanço nessa rota de aprendizagem (tipo NA). O estudante apresentou equívocos na resolução dos itens da questão Q31, como: resolução incorreta das inequações propostas nos itens f, g, além de não apresentar resolução do item c. Escreveu apenas a resposta correta para o item referido, deixando em branco os itens b, h, dessa questão. Para a questão Q42, o estudante determinou a expressão que representava a área S(x) e também seu domínio, mas não desenvolveu nenhum dos itens subsequentes (c, d, e, f, g). Já a questão Q61, o estudante apresentou algumas traduções da linguagem natural para a algébrica, mas não efetuou corretamente os tratamentos. Apresentou alguns equívocos quanto à relação entre variável dependente e independente, deixando em branco metade dos itens propostos na questão. Deste modo, defendemos nossa tese de não avanço (tipo NA).