Types d’ondelettes qu’on peut utiliser :

Il existe un nombre très important de types d’ondelettes que l’on appelle aussi famille, parmi lesquels on cite, les Coiflet , les Symlet, les ondelettes Daubechies, les ondelettes bi-orthogoales, l’ondelette de Haar, etc.

Lors de notre étude, nous nous sommes limités à des familles d’ondelettes bien connues en traitement du signal : les ondelettes Daubechies , les Symlet et les coiflets , ces ondelettes sont toutes admissible, selon le théorème 1, car de moyenne nulle et à décroissance rapide . De plus elles ont déjà été étudiée en quelque sujets comme Segmentation parole/musique, reconnaissance de la parole, et donnent de bons résultats [36] ainsi elles ont toutes la propriété d’avoir un support minimum pour un nombre de moment nuls donné.

o Ces deux caractéristiques généralement sont toujours prises en compte dans le choix d’ondelettes.

a. Les moments nuls :

Le nombre de moments nuls d’uneondelettes’exprimede la manière suivante [36]:

0 )

( 









dt t

t



Si une ondeletteΨ vérifie cette équation alors on dit quel’ondelette Ψ a p moments nuls, cela signifie queΨ estorthogonale à tout polynôme de degré p-1.L’intérêt d’avoir pmoments nuls est d’obtenir des coefficientsd’ondelettes wjproche de 0 aux échelles fines 2^j(lorsque 2^jtend vers 0). En effet, si f (t) est localement de classe

C

« approximé » par un polynôme de Taylor de degré k, et si k>p alors les ondelettes seront orthogonales à ce polynôme, la transformée en ondelettes aura donc des valeurs proches de 0, au contraire, quand f(t) ne pourra être approximé correctement que par des polynômes de degrés supérieur à p, alors la transformée en ondelettes aura de fortes amplitude. Cette propriété est très utile pour détecter les transitions brutales.

En effet les zones stationnaires d’un signal correspondront à de petits coefficients d’ondelettes et les transitions brutales à de grands coefficients [36].

b. Taille du support :

Si f(t) a une singularité isolé en t0, et si t0 est dans le support de l’ondelette Ψ_j, alors la transformée en ondelettes aura des coefficients d’ondelettes de forte amplitude autour de t0.

Sil’ondelette Ψ a un support de taille k, alors à haute fréquence, c'est-à-dire aux fies échelles : lorsque l’échelle‘a’tend vers 0, il y aura K ondelettesΨ_jdont le support contiendra t0.L’idée est de minimiser la taille du support de Ψ dans le but de diminuer le nombre de coefficients d’ondelettes de grande amplitude. Cela permet ainsi de faire de la détection de singularité.

 Ces deux caractéristiques ne sont pas indépendantes, en effet, la taille de support et le nombre de moment nuls d’uneondelette orthogonale ne sont liés par le fait que si Ψa p moments nuls approprié de choisir une ondelette ayant de nombreux moments nuls afin d’obtenir un grand nombre de coefficients d’ondelettes de petite amplitude.

lorsque la densité de singularités augmente, il vaut mieux diminuer la taille du support, quitter à avoir moins de moment nuls.

 En effet les ondelettes dont le support passe par une singularité donnent des coefficients de grande amplitude [36].

 Pour le choix des odelettes, il faut aussi noter qu’en utilisant la transformée en ondelettes discrète, il est préférable de n‘utiliser que des ondelettes à filtres. En effet seule les ondelettes à filtre peuvent être utilisé avec la transformée discrète, alors que dans le cas continue n’importe quelle fonction d’intégrale nulle convient [36].

VI.2.3.1 Les ondelettes de Daubechies :

Cette famille d’ondelettes a été créée par Ingrid Daubechies , on note les ondelettes de cette famille dbN ou Nest l’ordre de l’odelette ; dans cette famille on trouve l’ondelettes de Haar qui correspond au db1 et qui est la plus simple et certainement la plus ancienne des ondelettes. Exemptée db1, les ondelettes de cette famille n’ont pas d’expression explicite, cette famille possède certaines propriétés intéressantes ; le nombre de moment nuls de l’ondelettedbN est N, les ondelettes de Daubechies ont un support de taille minimale pour un nombre de moments nuls donné ainsi sont très asymétrique en particulier en faible valeur, sauf pour db1.Figure IV.6 présente des exemples d’ondelettes Daubechies (db2, db4, db8).

Figure VI.6Exemples d’ondelettes Daubechies : de gaucheà droite ‘db2’,’db4’,’db8’.

VI.2.3.2 Les odelettes de Symlet :

Les symlets, notées symN, ont été proposé par Daubechies en modifiant la construction des ondelettes dbN et constituant une famille d’ondelettes presque symétrie. A part la

symétrie, les propriétés de ces deux familles sont similaires, En regardant des figures des ondelettes de Daubetchies et les symlets, nous pouvons constater que la Symlet ressemble à une odelette de Daubetchies pour un nombre de moment nuls petit, et qu’elle est plus symétrique. Figure VI.7 présente des exemples d’ondelette Symlet(Sym2, Sym4, Sym8).

Figure VI.7Exemples d’ondelettes Symlet :de gauche à droite ‘sym2’,’sym4’,’sym8’.

VI.2.3.3 Les ondelettes Coiflets :

Les coiflets, comme les symlets, ont été construit par Daubechies, Elles sont crée sur demande de R.coifman [43]pour une application liée à l’analyse numérique, on prend comme notation de cette famille d’ondelettes: coif N .

Cette famille d’ondelette est différente des deux précédentes, ici, l’ondelette coif N aura 2N moments nuls, les Coiflets comme on peut le voir sur la figure 8 sont bien plus symétrique que les Symlets ou les ondelette de Daubechies .

L’intérêt principal des Coiflets réside dans le fait que si nous analysons une fonction f assez régulière, alors les coefficients d’approximation (pour un nombre de niveau de décomposition assez grand) correspondent à l’échantillonnage de f. Figure VI.8 présente des exemples d’ondelette Coiflet(Coif2, Coif4, Coif8).

Figure VI.8Exemples d’ondelettes Coiflet:de gauche à droite ‘coif2’,’coif4’,’coif5’.