Type affine

4.3.2 Type affine

Prenons ici g une alg`ebre de Kac-Moody de type affine. Nous reprenons les notations de la partie 2.1. Le groupe W0⊂ W agit sur h0∗L

(Cδ ⊕ CΛ0) en agissant de fa¸con usuelle sur h^0∗et de fa¸con triviale sur Cδ ⊕CΛ0. Notons H les polynˆomes de P⁰ harmoniques par rapport `a W⁰.

Proposition 4.3.3 Pour w ∈ W , les polynˆomes Pw sont W0-harmoniques. Soit l ∈ C. Les polynˆomes P_w|h∗l, pour w ∈ W , sont des ´el´ements de H[l] = {^P_k∈NlkR_k(λ0) | Rk∈ H}.

Preuve : Soit w ∈ W . Pour montrer que Pw est W⁰-harmonique, on sait par la proposition 4.2.4, qu’il suffit de montrer que :

| W⁰|Pw(λ) = X

v∈W0

P_w(λ + vµ) pour λ ∈ h^∗ et µ ∈ h^0∗.

Comme P_w est un polynˆome, il suffit de montrer cela pour λ ∈ P et µ ∈ P0. Prenons donc λ ∈ P et µ ∈ P⁰. On a : X v∈W0 Dwe^λ+vµ= Dw(e^λ X v∈W0 e^vµ)

car D_w est lin´eaire. OrP

v∈W0e^vµest invariant par W⁰, de plus, en exposant il n’y a que des poids de niveau 0, en consid´erant les caract`eres r´eels c’est

CHAPITRE 4. POLYNOMES DE DEMAZURE donc stable par W , d’o`u :

X

v∈W0

D_we^λ+vµ= (X

v∈W0

e^vµ)D_w(e^λ).

En sp´ecialisant, on en d´eduit que P_w est W⁰-harmonique. Soit l ∈ C. Si λ ∈ h∗l, on peut l’´ecrire :

P_w(λ) =X

k∈N

l^kR_k(λ⁰),

o`u seul un nombre fini de k intervient et o`u les R_k sont dans H.

✷ Corollaire 4.3.4 Soit w ∈ W . Soit l ∈ C et λ ∈ h^∗l. Le polynˆome P_w s’´ecrit, de fa¸con unique, sous la forme :

P_w(λ) = X

v∈W0

Q_v(l)P_v⁰(λ⁰),

o`u les Q_v sont des polynˆomes.

Preuve : Reprenons les notations de la d´emonstration ci-dessus. Les poly-nˆomes P_v⁰, pour v ∈ W⁰, forment une base de H, donc pour k ∈ N, le polynˆome R_k s’´ecrit R_k = P v∈W0 a_k,vP0 v, avec a_k,v∈ C. D’o`u, en posant Qv(l) = P k∈N a<sub>k,v</sub>l<sup>k</sup>, on obtient : P<sub>w</sub>(λ) = X v∈W0 Q<sub>v</sub>(l)P<sub>v</sub><sup>0</sup>(λ<sup>0</sup>). ✷ D´efinition 4.3.5 On d´efinit l’ordre de Bruhat faible sur W , not´e ≤f, en posant pour x, y ∈ W , x ≤f y s’il existe un u ∈ W tel que y = u ∗ x. Remarque 4.3.6 x ≤f y ´equivaut `a, il existe k ∈ N et si1, · · · , sik, k r´eflexions simples de W telles que y s’´ecrive de fa¸con r´eduite y = s_i1· · · si_kx. D´efinition 4.3.7 Soit w ∈ W , Pw s’´ecrit P_w(λ) = P

u∈W0

Q_u(l)P0

u(λ0). L’en-semble Supp P_w = {v ∈ W⁰ | Qv 6= 0} est appel´e le support de Pw. Proposition 4.3.8 Soit w ∈ W , posons w = yx o`u y ∈ {u ∈ W | ∀i ∈ [[1, r]], us_i > u} et x ∈ W⁰. Alors Supp P_w ⊂ {v ∈ W⁰ | x ≤f v} et x ∈ Supp Pw.

4.3. Propri´et´es des polynˆomes de Demazure

Preuve : Soit w ∈ W , w s’´ecrit w = yx avec y ∈ {u ∈ W | ∀i ∈ [[1, r]], usi> u} et x ∈ W⁰. Soit l ∈ C, et λ ∈ h^∗l.

• Montrons que Supp Pw ⊂ {v ∈ W⁰ | x ≤f v}. Par le corollaire 4.3.4 le po-lynˆome P_y s’´ecrit P_y(λ) = P

u∈W0

R_u(l)P0

u(λ0) o`u les R_u sont des polynˆomes. De plus, soit R un polynˆome en une variable, P un polynˆome en r va-riables et α_i ∈ Π⁰. Il est clair que DαiR(l)P (λ⁰) = R(l)DαiP (λ⁰). Et donc, P_w(λ) = DxP_y(λ) = P

u∈W0

R_u(l)P0

u∗x(λ0). On en d´eduit que Supp P_w⊂ {v ∈ W⁰ | x ≤f v}.

Montrons maintenant que 1 ∈ Supp Py. • On sait que Py s’´ecrit P_y(λ) = P

u∈W0

R_u(l)P_u⁰(λ⁰) avec R_u ∈ C[l]. Nous allons montrer que, pour tout u ∈ W⁰, deg RuP_u⁰ ≤ ℓ(y).

On sait que deg P_y ≤ ℓ(y), donc deg ^P

u∈W0

R_uP_u⁰ ≤ ℓ(y). Consid´erons ces polynˆomes commes des polynˆomes en λ₁, · · · , λr dans C(l), on sait que le degr´e de P0

w0 est strictement plus grand que celui des autres polynˆomes P0 u

pour u 6= w0. On en d´eduit que le terme dominant de Rw0P_w⁰₀ (comme un polynˆome en r + 1 variables) ne peut s’annuler avec aucun autre terme, et donc que deg R_w0P0

w0 ≤ ℓ(y). D’o`u deg ^P

ℓ(u)<ℓ(w0)

R_uP0

u ≤ ℓ(y). Soit n un entier non nul et supposons que deg P

ℓ(u)≤ℓ(w0)−n

R_uP_u⁰≤ ℓ(y). Soit v ∈ W0 de longueur ℓ(w₀)−n. Alors il existe si1, · · · , sinn r´eflexions simples telles que vs_i1· · · sin = w₀. De plus, pour tout v^′ ∈ W⁰ diff´erent de v et de longueur inf´erieure ou ´egale `a ℓ(w₀) − n on a v^′s_i1· · · sin < w₀.

Par la remarque 4.1.3, on sait que deg Ds_i1···sin

P ℓ(u)≤ℓ(w0)−n R_uP0 u ≤ ℓ(y) + n c’est-`a-dire deg P ℓ(u)≤ℓ(w0)−n R_uP_u∗s⁰

i1···sin ≤ ℓ(y) + n. Comme on l’a vu pr´ec´edemment le terme dominant de RvP_w⁰₀ ne peut s’annuler avec aucun autre terme et donc deg R_vP_w⁰₀ ≤ ℓ(y) + n. D’o`u deg RvP_v⁰≤ ℓ(y).

En faisant de mˆeme avec les autres ´el´ements de longueur ℓ(w₀) − n, on en d´eduit par r´ecurrence que pour tout u ∈ W0, deg R_uP0

u ≤ ℓ(y) et donc deg R_u≤ ℓ(y) − ℓ(u).

• Montrons que 1 ∈ Supp Py. Supposons que ce n’est pas le cas. Comme y ∈ {u ∈ W | ∀i ∈ [[1, r]], usi > u} on sait que yw0 est r´eduit i.e. que ℓ(yw₀) = ℓ(y) + ℓ(w₀) (voir [14] paragraphe 1.10.). D’o`u deg P_yw0 = ℓ(y) + ℓ(w₀). D’autre part P_yw0 = P

u∈W0

R_uP0

w0. Or deg R_uP0

w0 = deg R_u+ ℓ(w₀) ≤ ℓ(w0) + ℓ(y) − ℓ(u) ≤ ℓ(w0) + ℓ(y) − 1 si 1 /∈ Supp Py. C’est absurde. Donc 1 ∈ Supp Py. De plus on en d´eduit que deg R₁P_w⁰₀ = deg P_yw0 donc deg R₁= ℓ(y).

CHAPITRE 4. POLYNOMES DE DEMAZURE

Comme Pw = DxPy = Dx P

u∈W0

RuP_u⁰ = P

u∈W0

RuP_u∗x⁰ , on en d´eduit que x ∈ Supp Pw.

✷ Remarque 4.3.9 Dans la d´emonstration pr´ec´edente on voit, en conservant les mˆemes notations, que deg Qx = ℓ(y).

Proposition 4.3.10 Soit l ∈ C, les polynˆomes P_w|h∗l, pour w ∈ W , en-gendrent H[l].

Preuve : Soit l ∈ C. Soit E le sous-ensemble de H[l] engendr´e par les polynˆomes P_w|h∗l, pour w ∈ W .

Soit k un entier. Prenons y ∈ {u ∈ W | ∀i ∈ [[1, r]], usi > u} de longueur k (un tel y existe bien). Alors P_yw0|h∗l = QP_w0 o`u Q est un polynˆome en l de degr´e k. Ceci ´etant vrai pour tout entier k, on en d´eduit que C[l]P_w⁰₀ ⊂ E. Soit n un entier non nul et supposons que pour v ∈ W⁰ de longueur stricte-ment plus grande que ℓ(w₀) − n on ait C[l]P0

v ⊂ E. Soit v ∈ W0 de longueur ℓ(w0) − n et soit k un entier. Prenons y ∈ {u ∈ W | ∀i ∈ [[1, r]], usi > u} de longueur k. Alors P_yv|h∗l = Q_vP_v⁰ +P

u>vQ_uP_u⁰ et Q_v est de degr´e k. Par hypoth`ese de r´ecurrence on sait que P

u>vQ_uP_u⁰ ∈ E. On en d´eduit que Q_vP0

v ∈ E. Ceci ´etant valable pour tout entier k, on en d´eduit que C[l]P_v⁰⊂ E.

Donc pour tout v ∈ W⁰, C[l]P_v⁰ ⊂ E. Comme les polynˆomes Pv⁰, pour v ∈ W0, engendrent H, on en conclut que E = H[l].

✷ Remarque 4.3.11 En revanche les P_w|h∗l, pour l dans C et w dans W , ne sont pas lin´eairement ind´ependants dans H[l] en g´en´eral. En effet, on verra plus loin qu’ils ne sont pas distincts (par exemple Ps1s0s1s2s3s2s1s2 = Ps3s0s1s2s3s2s1s2 dans A⁽¹⁾₄ ).

Chapitre 5

Type fini

Nous travaillons, ici, dans des alg`ebres de Kac-Moody de type fini. Pour le type fini les op´erateurs et polynˆomes de Demazure fournissent des bases int´eressantes. Nous allons d´emontrer, en effet, que les op´erateurs de Dema-zure forment une base du Z[P ]-module des endomorphismes de Z[P ] inva-riants par Z[P ]<sup>W</sup>. Les polynˆomes de Demazure, quant `a eux, sont une base, sur Z, des polynˆomes sur h^∗, harmoniques pour le groupe de Weyl, `a valeurs enti`eres relatives sur P .

Dans tout ce chapitre g est une alg`ebre de Kac-Moody de type fini. On note de fa¸con usuelle ses ´el´ements associ´es : W son groupe de Weyl, P son r´eseau de poids....

5.1 Quelques Propri´et´es

D´efinition 5.1.1 Soit µ ∈ P . On d´efinit la translation : T_µ: Z[P ] → Z[P ]

u → eµu.

Lemme 5.1.2 Soit s_α une r´eflexion de W de racine α et soit λ, µ ∈ P . Alors, DαTµ s’´ecrit : DαTµe^λ = (Dαe^µ− e^sαµ)e^λ+ e^sαµDαe^λ. Preuve : Soit λ, µ ∈ P⁺, D_αT_µe^λ = e^λ+µ+ · · · + e^λ+sαµ+α+ e^λ+sαµ + · · · + e^sαλ+sαµ = (Dαe^µ− e^sαµ)e^λ+ e^sαµDαe^λ.

Ceci ´etant une ´egalit´e entre polynˆomes en e^Λi, on en d´eduit l’´egalit´e pour tout λ, µ ∈ P .

CHAPITRE 5. TYPE FINI

Proposition 5.1.3 Soit w ∈ W et µ ∈ P . Alors, DwT_µ s’´ecrit : DwTµ= X v∈W v≤w ³ X ν∈P av,ν(µ)Tν ´ Dv,

o`u les coefficients a_v,ν(µ) sont dans Z et seul un nombre fini d’entre eux est non nul.

Preuve : La propri´et´e est v´erifi´ee pour w de longueur 1 par le lemme pr´ec´edent. On en d´eduit facilement le r´esultat par r´ecurrence.

✷ En sp´ecialisant, on trouve :

Corollaire 5.1.4 Soit w ∈ W et λ, µ ∈ h^∗. Alors : P_w(λ + µ) = X

v∈W v≤w

b_v,µP_v(λ),

avec b_v,µ∈ Z.

De la mˆeme fa¸con on peut montrer que :

Proposition 5.1.5 Soit w ∈ W et µ ∈ P . Alors TµD_w s’´ecrit : T_µD_w = X v∈W v≤w D_v³ X ν∈P a^′_v,ν(µ)T_ν´ ,

o`u les coefficients a^′_v,ν(µ) sont dans Z et seul un nombre fini d’entre eux est non nul.

Remarque 5.1.6 Jusqu’ici les r´esultats sont aussi valables pour une alg`ebre de Kac-Moody affine.

Lemme 5.1.7 Soit θ la plus longue racine de g. Posons l’ensemble J = {i ∈ [[1, r]] | hθ, α∨

ii = 0} et wJ l’´el´ement de longueur maximale dans < s_j, j ∈J >, alors w₀= s_θw_J.

Preuve : Soit w = sθwJ, comme sθ ∈ {u ∈ W | ∀j ∈ J, usj > u} et w_J ∈< sj, j ∈ J >, l’´ecriture est r´eduite i.e. ℓ(w) = ℓ(sθ) + ℓ(w_J) (voir [14] paragraphe 1.10.). Soit i ∈ J, alors wJα_i = −αj o`u j ∈ J et donc sθw_Jα_i = −αj. Donc wα_i ∈ ∆−. Soit i /∈ J, alors wJα_i = α_i +P

j∈Jm_jα_j, donc s_θw_Jα_i = w_Jα_i− hαi, θ∨iθ ≤ wJα_i− θ ≤ 0. Donc wαi∈ ∆−. D’o`u w envoie toutes les racines positives sur des racines n´egatives. Donc w = w⁻¹ = w0

(voir [14] paragraphe 1.8.).

5.2. Endomorphismes de Z[P ]