A premi`ere vue, la configuration magn´etique d’un tokamak devrait `a elle seule permettre de bloquer les flux de chaleur et de particules vers l’ext´erieur du plasma et assurer un confinement stable. Ainsi, dans les ann´ees cinquante, les physiciens esp´eraient-ils un essor fulgurant de la fusion nucl´eaire. Cepen-dant, il a vite ´et´e av´er´e que les coefficients de transport, et le temps de confinement obtenus n’´etaient pas du tout `a la hauteur des pr´evisions : les mod`eles de transport classiques, tenant uniquement compte des collisions entre particules du plasma, n’´etaient pas suffisants.
En particulier, les ph´enom`enes de turbulence au sein du plasma doivent ˆetre pris en compte pour d´ecrire le transportanormal. Cette turbulence prend sa source dans les nombreuses formes d’instabilit´es au sein du plasma (par exemple dans notre cas les gradients de temp´erature ionique) : l’´etude de ces instabilit´es s’av`ere donc in´evitable [35].
en th´eorie se faire dans un espace des phases `a six dimensions (trois en vitesse et autant en position). Cependant, le mouvement des particules perpendicu-lairement au champ magn´etique est s´eparable d’une part en leur giration tr`es rapide (caract´eris´ee parΩci=qiB/Mi pour les ions), et des mouvements de d´erive de l’ensemble d’une esp`ece, caract´eristiques de la configuration magn´etique macroscopique.
La phase associ´ee `a la giration cylotronique n’est pas une information importante : en filtrant cette information pour ne retenir que le module en vitesse perpendiculaire au champ magn´etique v⊥, il est possible de r´eduire d’un degr´e de libert´e l’espace des phases : c’est le mod`ele girocin´etique [30, 36, 37, 38, 39, 31, 32], bas´e sur l’op´eration de giromoyenne Jv⊥[g(x,v] =
1 2π
�2π
0 dαg(x+ρv⊥(α),v). De plus, le module en vitesse perpendiculaire peut ˆetre li´e au moment magn´etique µ=Miv2
⊥/(2B), et nous pouvons donc sub-stituer `a la d´ependance en v⊥ une d´ependance en µ. L’´equation de Vlasov r´egissant la fonction de distribution f =f(t,r, v�, µ) s’´ecrit :
Dtf =∂tf+X˙⊥.∇f+ ˙X�∇�f + ˙v�∂v�f = 0, (2.1) avec :
� X˙� =v�b,X˙⊥=vE+v∇B+vc.
� le champ magn´etique corrig´e B�, donn´e par les relations B� = B+
Miv�
qi ∇ ×b, avec b = B/B le vecteur unitaire dirig´e selon le champ magn´etique B.
� vE la vitesse de d´erive ´electrique :
vE= 1
B� �
b× ∇Jµφ (2.2)
o`uJµφ est le potentiel ´electrostatique giromoyenn´e.
� v∇B est le vitesse de d´erive li´ee au gradient de champ magn´etique :
v∇B= µ
qiB� �
b× ∇B (2.3)
� vc est la vitesse de d´erive li´ee `a la courbure du champ magn´etique :
vc = Miv 2 � qiB� � � b× ∇B B + (∇ ×B)⊥ B � = Miv 2 � qiB� � b× N Rc (2.4) o`uN/Rcest le vecteur portant la courbure des lignes de champ magn´etique. � v˙� est l’acc´el´eration parall`ele :
˙ v� =− � b+ Miv 2 � qiB � b× N Rc �� . � µ Mi∇B+ qi Mi∇Jµφ � (2.5)
Le champ magn´etique est suppos´e ne pas fluctuer : l’´equation de Poisson ferme le syst`eme d’´equations :
ZiJµni+Ziqi Ti r2 Li∇⊥.(ni∇⊥φ) +Ziqini Ti λ2 Di�φ = ne (2.6) o`u Zi est la charge des ions, Ti leur temp´erature et rLi =v⊥/Ωci leur rayon de Larmor.ni =�
2πΩci
qi dµ�+∞
−∞ f dv� est la densit´e des ions,ne0 est celle des ´electrons isothermes de temp´erature Te et de charge −e.
Le termeZiTqiir2
Li∇⊥.(ni∇⊥φ) apparaissant dans l’´equation de Poisson est appel´e terme de d´erive de polarisation, c’est un effet li´e `a la prise en compte d’un rayon de Larmor fini, que nous ´etudierons plus en d´etail au chapitre III. La d´erivation rigoureuse des ´equations girocin´etiques a permi de grandes avanc´ees num´eriques cette derni`ere d´ecennie, avec la r´ealisation de nombreux codes girocin´etiques. Ces simulations se d´etaillent par ailleurs en deux sous-cat´egories : les codes dits PIC pour Particle In Cell [40, 41, 42] qui suivent la dynamique de macroparticules, et les codes Vlasov r´esolvant la fonction de distribution [43, 44, 45, 46, 47].
Par ailleurs, le moment magn´etique µ = Miv2
⊥/(2B) d’une particule charg´ee varie tr`es lentement : on l’ appelle un invariant adiabatique. Ceci caracterise le fait qu’une particule voit a l echelle de sa giration un champ magnetique quasiment constant. Par voie de cons´equence, le module en vi-tesse perpendiculaire peut en premiere approximation etre considere comme un invariant du probl`eme, traitable comme un label [14]. Ceci nous permet de baisser d’un degr´e la dimension du probl`eme :
f(t,r, v�, µ) =�
l
fl(t,r, v�)δ(µ−µl) (2.7) Ainsi, dans le cas g´en´eral de plusieurs valeurs deµ(c’est-`a-dire d’une dis-tribution en v⊥), nous obtenons autant d’´equations girocin´etiques (2.1) que de valeurs de moment magn´etique. Ces diff´erentes ”populations” sont alors coupl´ees par l’´equation de Poisson (2.6) par l’interm´ediaire d’une sommation discr`ete :
ni =�
µ
� +∞
−∞ Jµfµdv� (2.8) En particulier, le cas µ = 0 correspond `a la limite d’un rayon de gira-tion nul des particules autour de leurs centres-guides, et donne le mod`ele girocin´etique le plus simple : celui de d´erive cin´etique.
Nous nous situerons toujours `a des ´echelles spatiales grandes devant la longueur de Debye, caract´eristique de l’´ecrantage des ions par les ´electrons : le terme ZiqiTniiλ2
Di�φ sera n´eglig´e dans l’´equation de Poisson, que nous ap-pellerons alors ´equation de quasi-neutralit´e.
Enfin, il est possible de supposer un tore de grand rayon infini, et donc se situer en g´eom´etrie simplifi´ee cylindrique avec un champ magn´etique axial homog`ene.
Puisque nous nous int´eressons `a combiner un mod`elewater bag au mod`ele girocin´etique, nous allons dans un premier temps pousser les simplifications au maximum, pour distinguer plus ais´ement les particularit´es de notre mod`ele.