SITUATION 1
1) Explicitation des procédures et deux compétences acquises par les élèves 1, 2 et 3 Élève 1 :
a) Cet élève procède par addition posée en colonne de treize termes égaux à 6. Ensuite, il trouve, probablement par calcul mental, le total 87, qui est faux. On peut émettre l’hypothèse qu’il a écrit les chiffres de gauche à droite (8 unités et 7 dizaines)
b) Cet élève a donné du sens aux 13 groupements de 6, il a reconnu une situation additive. Il sait modéliser correctement la situation et la traduire par une addition itérée.
Élève 2 :
a) Cet élève dessine les œufs, en procédant par paquets de 6 œufs placés en ligne. Il dessine 13 paquets de 6 œufs en écrivant après chaque paquet de 6 le chiffre 6. Il dénombre, par comptage un à un ou peut-être six par six, la quantité d’œufs dessinés, et trouve le résultat attendu, 78.
b) Cet élève sait représenter une situation à l’aide d’un schéma. Il sait dénombrer les éléments de la collection (par comptage ou par calcul).
Élève 3 :
a) Cet élève a reconnu une situation multiplicative, et a posé en colonne la multiplication de 13 par 6.
b) Cet élève sait reconnaître une situation multiplicative et la traduire par une multiplication. Il sait effectuer une multiplication posée d'un nombre à deux chiffres par un nombre à un chiffre (dans cet exemple, cela induit une connaissance de la table de 6).
2) Compétences acquises et analyse des erreurs pour les élèves 4, 5 et 6 Élève 4 :
a) Il sait reconnaître une situation multiplicative et la traduire par une multiplication posée.
b) Il oublie d'effectuer la multiplication de 6 par 1, chiffre des dizaines de 13, et se contente d'additionner la retenue avec le chiffre des dizaines de 13. Ceci est probablement dû à une confusion avec la manière de traiter les retenues dans une addition.
Élève 5 :
a) Il sait poser et effectuer une addition en colonne sans retenue (même si ce n’est pas l’opération attendue ici).
b) Son erreur est de faire une addition à la place d’une multiplication. Cette erreur est la conséquence d’une mauvaise compréhension de la situation. Cet élève peut avoir choisi l’addition car c’est une opération qu’il maitrise bien, ou en la choisissant au hasard, pour faire apparaître coûte que coûte un calcul dans le cadre (effet de contrat didactique). On note donc chez lui une erreur sur le choix de l'opération tandis que le calcul effectué est correct.
Élève 6 :
a) Il sait représenter la situation par un schéma sur lequel figurent les groupements (boîtes) de 6 œufs et choisir l’addition itérée pour dénombrer les œufs.
Dans l’addition posée, il utilise en acte la propriété d’associativité : il effectue des sommes partielles de quatre 6 comme les paquets semblent grouper en ligne dans sa schématisation.
b) Une première erreur de cet élève se situe dans le traitement de son addition itérée de 6. Il effectue des groupements de 6, puis arrive à l’addition posée en colonne . L’alignement des chiffres dans cette addition n’est pas correct, car le 6 est aligné avec le chiffre des dizaines des autres termes. Ceci le conduit à effectuer en réalité . Son résultat est donc faux.
Sa phrase réponse contient également une erreur, car il écrit « boîtes » au lieu de « œufs ». Ceci peut être dû au fait que dans l’énoncé, le texte précise que « le fermier compte ses boîtes », pouvant laisser penser à l’élève que c’est le nombre de boîtes que l’on cherche à déterminer finalement.
3) Aide pour l’élève 5 en vue de corriger son erreur
Pour amener l’élève 5 à corriger son erreur, l’enseignant pourrait dans un premier temps lui faire prendre conscience que 19 ne peut pas être le bon résultat. L’enseignant pourrait pour cela lui donner des boîtes à œufs, et 19 jetons. En lui demandant de placer les jetons dans les boîtes, il constaterait que ces 19 jetons ne suffisent pas à remplir 13 boîtes.
Ensuite, pour l’aider à corriger son erreur, l’enseignant pourrait lui demander de réaliser le même exercice en proposant un recours à la manipulation sur un nombre de boîtes moins élevé avec par exemple 2 boîtes de 6 œufs. Puis avec 3 boîtes, il pourrait en cela s’aider du matériel boîtes et jetons. Et enfin, quand l’élève aurait saisi qu’il s’agit bien d’une situation multiplicative (qu’il traitera éventuellement par une addition itérée), le faire revenir sur l’exercice initial. La manipulation ne doit pas permettre d’obtenir le résultat mais doit permettre d’accéder à la modélisation du problème.
L’enseignant peut aussi, pour faire apparaître plus rapidement l'itération, considérer avec lui 5 boîtes de 3 jetons ou 7 boîtes de 2 jetons. En proposant ainsi plusieurs exemples, on vise à faire émerger chez l'élève le modèle adéquat pour traiter ce type de situations multiplicatives.
L’enseignant peut aussi lui proposer de dessiner pour représenter le problème et se rendre compte
L’enseignant peut expliquer à l’élève comment faire » n’est certainement pas une réponse attendue dans la mesure où elle ne place pas l’élève en situation de résoudre le problème posé.
4) Modification de l’énoncé
Les élèves 1 et 6 ont tous les deux procédé par additions itérées de 6. Pour faire évoluer leur procédure vers l’utilisation de la multiplication, on pourrait changer le nombre de boîtes en choisissant un nombre plus grand, par exemple 42. Ainsi la procédure par additions itérées deviendrait fastidieuse et les encouragerait à utiliser l’écriture multiplicative.
SITUATION 2
1) Deux compétences travaillées
Pour les compétences travaillées dans cet exercice, on pouvait en choisir deux parmi les suivantes:
Reconnaître et distinguer les problèmes relevant de situations multiplicatives et plus particulièrement de la proportionnalité.
Calculer avec des nombres décimaux, notamment multiplier ou diviser un nombre décimal par 10,100.
Faire des liens entre les unités de mesure décimales et les unités de numération.
Résoudre des problèmes impliquant des conversions simples d’une unité usuelle à une autre.
Établir des relations entre les unités de longueur et les unités de numération.
2) a) Interprétation d’une erreur
L’erreur de Théo réside dans son traitement de la multiplication de 0,7 par 100. Théo a ajouté deux zéros à droite dans l’écriture à virgule du nombre décimal 0,7. L’origine de cette erreur est probablement la transposition aux nombres décimaux d’une règle valable uniquement pour les nombres entiers : « pour multiplier par 100, il faut ajouter deux zéros à la droite du nombre ».
2) b) Explicitation d’une procédure et interprétation mathématique
des dizaines. Elle obtient ainsi 7 dizaines, c’est à dire 70. Il est possible qu'elle ait utilisé au moins mentalement un tableau de numération comme indiqué en remarque.
La justification mathématique peut s’écrire ainsi :
Remarques :
1) Dans la multiplication par 100, la valeur des chiffres dans le nombre change : elle est multipliée par 100.
La virgule ne « bouge » pas.
Centaine Dizaine Unité Dixième
0 , 7
0 7 0 ,
2)
é è
3) Attention, dans la multiplication par 10, 100, 1000, c’est bien la valeur des chiffres dans le nombre qui change et non la position de la virgule.
SITUATION 3 Remarque :
Contrairement à ce que pourrait laisser croire la production « calcul 1 », la multiplication de deux nombres décimaux non entiers n’apparait qu’en 6e d’après les repères de progressivité des programmes.
1) Description des erreurs Calcul 1 :
Dans ce calcul, il y a une seule erreur, celle de ne pas avoir correctement décalé le deuxième produit partiel, correspondant à la multiplication de 3709 par 3 qui correspond également à l’oubli de la multiplication de 3709 par 0.
Calcul 2 :
L’erreur dans ce calcul est l’alignement des produits partiels à droite. L'élève ne tient pas compte de la valeur des chiffres dans le nombre : le produit partiel fournit des unités alors que les produits partiels et fournissent respectivement des dizaines et des centaines dans le résultat.
Calcul 3 :
L’erreur dans ce calcul est l’oubli du placement de la virgule dans le résultat obtenu par addition des produits partiels.
Calcul 4 :
L’erreur dans ce calcul est la non prise en compte de la retenue dans l’addition des produits partiels : conduit à une retenue de une unité au rang supérieur.
2) Proposition de contrôle des résultats
On pourrait inciter les élèves à travailler sur les ordres de grandeur en choisissant des nombres pour lesquels le calcul mental est aisé : dans l'exemple 1, le produit obtenu doit être supérieur à soit 90.
Ce résultat permet d'invalider celui fournit. Pour l'élève ayant produit le calcul 3, on peut encourager à trouver des nombres proches de ceux proposés pour lesquels le calcul serait également aisé mentalement : 60 et 50 par exemple. On obtiendrait alors 3000 qui permet d'invalider le résultat proposé.
Ces articulations entre calcul mental et calcul posé, calcul exact et calcul approché sont à exercer chez les élèves. Elles donnent du sens à chacun des types de calcul et montrent par exemple l'intérêt de disposer de techniques de calcul mental permettant rapidement d'avoir un moyen de contrôle de la validité des résultats produits par application d'une technique de calcul posé.
On pourrait également proposer la calculatrice comme outil de vérification.
On pourrait faire invalider les résultats des élèves 1 et 3 par l’utilisation d’une calculatrice, soit en faisant effectivement calculer ces produits, ou alors en travaillant sur les ordres de grandeur. Par exemple pour le calcul 1, taper , pour constater que c’est beaucoup plus grand que 14. De même pour le calcul 3, taper et constater que c’est plus petit que 30 000.
On peut aussi encourager les élèves à comparer, à deux, les résultats obtenus et les calculs effectués.
Remarque :
Dans l'exemple 2, le résultat obtenu doit être supérieur à 2531 100 soit 253 100. Ce calcul automatisé permet là encore d'invalider le calcul exact effectué.
Dans l'exemple 4, le recours au calcul mental sur des nombres "plus simples" ne permet pas d'invalider le résultat fourni.