En ne considérant qu’une seule résonance nous ne pouvons obtenir la bistabilité que si le désaccord est supérieur à√3 fois la demi-largeur à mi-hauteur de cette résonance pour des intensités d’incidence supérieures à I−
1 (figures 3.4 et 3.5).
Considérons maintenant deux résonances espacées d’un intervalle spectrale libre, ISL. La figure 3.3(a) présente la fonction de transfert typique, dans le cas linéaire, pour un seul anneau, pour le port transmis, It/Iin en fonction du désaccord, δ entre la
pulsation du champ, ω = 2πc/λ, et la pulsation à résonance, ω0, δ = ω − ω0, pour
une finesse modérée (F ≈ 33).
Pour chaque résonance α, le cycle d’hystérésis (bistable) associé est limité par les intensités I+
α et Iα−, correspondant aux points d’inflexion par rapport à l’ordonnée.
I+
α correspond à une commutation vers un état haut (exemples : I1+ pour la commu-
tation 1 → 2 et I+
2 pour 1 → 3) et Iα− correspond à une commutation vers un état
bas (exemples : I−
2 pour la commutation 3 → 2 et I1− pour 2 → 1)(fig. 3.8).
L’idée est d’obtenir un domaine de tristabilité par intersection des cycles d’hystérésis
Fig. 3.6 – Transmission en fonction de l’intensité normalisée en entrée - Cas de deux cycles d’hystérésis disjoints.
associés à chacune des deux résonances voisines α = 1 et α = 2. L’intersection non nulle minimale correspond à l’égalité I+
3.3. Tristabilité dans un anneau 45
Pour cela le signal incident doit présenter un désaccord à résonance minimum que nous pouvons déterminer graphiquement. Ce désaccord minimum δT est le point cor-
respondant à une ordonnée nulle et appartenant à la droite y(x) tangente intérieure à la première résonance (α = 1) et qui passe par le maximum de transmission de la deuxième résonance (α = 2) espacée d’un ISL de la première (fig. 3.7).
−8 −6 −4 −2 0 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 a α=2 α=1 ← → ISL δT δ (1012 rad s−1) I t /I in
Fig.3.7 – Transmission en fonction du désaccord δ. La droite (α = 2, δT) correspond à la détermination graphique de la condition de tristabilité.
L’équation de la tangente est :
y(x) = f′(a)(x − a) + f(a), (3.40) où a représente l’abscisse du point de tangence entre la première résonance et la droite y(a) et f(x) l’équation d’une résonance. Cet équation s’écrit sous la forme d’une Lorentzienne de largeur ∆ω = ISL/F, centrée sur x0 = 0 :
f (x) = ISL 2F 2 1 (1 2 ISL F )2+ x2 (3.41) Pour déterminer la valeur de l’abscisse du point de tangence "a", nous résolvons l’équation y(−ISL) = 1 c’est-à-dire le maximum de la deuxième résonance, espacée d’un ISL de la première et appartenant à la droite y(x). Ce qui nous donne :
a = √ISL3
2F (3.42)
La valeur du désaccord minimal δT s’obtient en résolvant l’équation y(−δT) = 0, soit :
δT = 3a 2 + 1 2a 1 2 ISL F 2 . (3.43)
46 Chapitre 3. Fonctions logiques à base de micro anneaux
En reportant la valeur 3.42 dans l’équation 3.43 nous obtenons la valeur du désaccord minimal δT en fonction de la finesse et de l’ intervalle spectral libre :
δT = ISL 2√3 2F2 3 + 1 2√3 2F2 . (3.44)
Pour des valeurs δ > δT la valeur I2− de commutation est telle que I1− < I2− < I1+
et nous avons un recouvrement des cycles d’hystérésis. Autrement dit dans la zone comprise entre I−
2 et I1+ nous avons une zone présentant trois états stables.
Figure 3.8 nous avons un exemple de fonction de transfert It/Iin pour un anneau
Fig. 3.8 – Transmission en fonction de l’intensité normalisée en entrée - Intersection de deux cycles d’hystérésis.
non-linéaire en fonction de l’intensité incidente normalisée par rapport au coefficient non-linéaire N2 du matériau utilisé (It∝ |b2|2) dans le cas d’un désaccord supérieur au
seuil de tristabilité. Dans cet exemple nous prenons δ = 1, 45·δT = 1, 06·1012rad s−1).
Pour des valeurs δ > δT nous sommes dans la situation où les intensités de commu-
tation sont telles que I+
1 > I2−, ce qui conduit à une superposition partielle des deux
cycles d’hystérésis (cycles de bistabilité) associés à deux résonances séparées d’un ISL (α = 1 et α = 2). Figure 3.8, le premier cycle bistable est délimité par les intensités I1± et le deuxième cycle bistable est délimité par les intensités I±
2 . Ce recouvrement
donne la zone de tristabilité.
Pour calculer le désaccord minimal nous avons utilisé l’approximation de grande finesse (∆ω << ISL), mais dans le cadre de l’exemple présenté ci-dessus la finesse de notre résonateur est modérée F = 33. Par conséquence nous pouvons nous poser
3.3. Tristabilité dans un anneau 47
la question de la validité de l’expression analytique du désaccord minimal (Eq.3.44). Pour vérifier cela nous traçons le désaccord minimal en fonction de la finesse d’une résonance. La finesse est modifiée par l’intermédiaire des coefficients de couplage |κ0| = |κ1| et nous déterminons de manière numérique δT ainsi que le facteur de
qualité Q = ω0/∆ω associé en utilisant la relation :
Q = πω0 ISL q 1 − |κ0|2 |κ0|2 . (3.45)
La figure 3.9(a) présente l’évolution du facteur de qualité Q et du désaccord minimal
(a) Facteur de qualité, Q (ligne conti-
nue) et δT en fonction des coefficients
de couplage |κ0| = |κ1|
(b) Évolution du désaccord en fonction de la finesse
Fig.3.9 – Évaluation numériques de δT en fonction du couplage et en fonction de la finesse.
δT (seuil de tristabilité) pour avoir le recouvrement des cycles bistables en fonction
des coefficients de couplage |κ0| = |κ1|. La figure 3.9(b) présente l’évolution de δT en
fonction de la finesse. Ces résultats numériques présentent un comportement tel que δT est bien proportionnel à la finesse à la puissance −2/3 en accord avec l’équation
3.44.
La figure 3.10 présente l’évolution des intensités de commutation en fonction des coefficients de couplage |κ0| = |κ1|, pour un désaccord δ = 1, 45 · δT fixé. Dans ce
calcul nous utilisons la valeur δT = 0, 73 · 1012rad s−1 évaluée pour les couplages
|κ0| = |κ1| = 0, 3. Nous remarquons que dans ce cas les valeurs d’intensité I2+ ne sont
plus compatibles avec les hypothèses de la SVEA. En effet N2Iin ≈ 0, 2 qui ne peut
pas être considérée comme une valeur très inférieure à n = 1, 6 et plus le facteur de qualité sera grand (ce qui correspondrait à un couplage faible) plus l’intensité néces- saire pour passer au troisième état stable sera élevée.
Nous pouvons noter de plus qu’en admettant que la SVEA reste valable, pour avoir un comportement similaire à celui présenté figure 3.8 dans un dispositif constitué
48 Chapitre 3. Fonctions logiques à base de micro anneaux 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 10 -7 10 -6 10 -5 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 10 1 I 1 - I 1 + I 2 - I 2 + I N 2 I I i n I 0 I=I 1 I
Fig. 3.10 – Intensités de commutation en fonction des coefficients de couplage |κ0| = |κ1| pour δ > δT. L’intersection des deux droites donnent la valeur de I1+ dans le cas
|κ0| = |κ1| = 0, 3
d’anneaux en polymère PTS , d’indice non-linéaire n2 = 2, 2 × 10−12cm2/W, l’inten-
sité I+
2 serait de 112 GW/cm2(ici on considère N2 = n2 c’est à dire que l’on considère
un confinement total du champ), valeur bien au delà des seuils de dommage pour les matériaux existants.
Enfin, il a été démontré que pour tout système constitué d’une cavité en anneau non-linéaire, au delà de l’intensité seuil de bistabilité, au fur et à mesure de l’aug- mentation de l’intensité incidente, l’intensité transmise présente des transitions vers des états périodiques ou non périodiques. Ces états non périodiques sont caractérisés par des variations chaotiques de l’intensité lumineuse transmise. Ces zones d’instabi- lités, appelées instabilités d’Ikeda [117] sont dues au fait que lorsque la réponse du milieu non-linéaire à l’excitation est plus courte que le temps de parcours de la lu- mière sur un simple passage dans l’anneau le système peut être assimilé à un système non-linéaire retardé qui présente un caractère chaotique.