Trigonom_ étrie

·-28 COURS FONDAMENTAL DE RADIOÉLECTRICITÉ

sont semblables, c'est-à.-dire que leurs angles sont égaux et leurs côtés proportionnels l'un à l'autre. On peut dire que :

BC B'C'

A C . AC'

=

un~ constante.

FIG. 1-4. - Triangles semblablesABC_etAB'C'.

Indépendamment de la dimension du triangle

AB' C',

aussi longtemps que sa forme est la même que celle du triangle

A B C,

cette relation sera satisfaite. Si les angles sont modifiés,

la

valeur du rapport sera changée également.

Il

existe une telation bien déterminée entre l'angle aigu d'un triangle rectangle et le rapport · des deux côtés de ce triangle.

Pour utiliser ces rapports, il est commode de leur donner des noms suivant les définitions ci-dessous (qui utilisent les désignations de la figure

1-3).

On a pour l'angle

A :

S. d A côté opposé à A . A a mus e

= ----:--- =

^sm

= - ;

-· hypoténuse c

C ..

d

A

côté adjacent à

A A b

osmus e

= - - - - =

^cos

= - ·

hypoténuse c '

T

d

A _

côté opposé à

A

a

an gente e - ,.. . , d. ,

A

= tg

A

=

- b •

cote a Jacent a

Les abréviations sin, cos et tg sont constamment utilisées pour désigner le sinus, le cosinus et la tangente. D'autres rapports peuvent être formés, mais ne seront pas nécessaires dans ce qui suit.

Il

faut se rappeler que ces rapports ne dépendent que d~

l'angle du triangle rectangle, mais non de ses dimensions.

On peut démontrer que dans un triangle rectangle le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux côtés, c'est le théorème de Pythagore. On a d~nc:

D' '

ou :

a2

+ b2 =

c2.

a=

Vc

²

^-b

²

^{et · b =} Vc

²

-a

^2•

Les valéurs des rapports (dites /onctions trigonométriques) peuvent être calculêes

I

facilement pour certains angles. Considérons un triangle équilatéral dont chaque c8té est égal à l'unité. Les côtés étant égaux, les angles opposés ·doivent l'être égale-ment. La somme des angles étant de 180°, chaque angle est donc égal à· 60° (voir la figure -1-5). La droite. verticale tracée depuis le sommet du triangle divise le côté opposé en deux .'tronçons égaux à 0,5 chacun. Deux triangles rectangles sont ai~s1 fo~més pour lesquels on peut écrire (figure

1-5c) :

. 1 - .1 - - .1--

\/3

a = vc²-b² = v 1² -(0,5)² = v3/4 =

2

^{= 0,87.}

Par définition· :

sin

A = . ~ = Ot = 0,87 = v' ; ⁼

^sin

^{60° .}

. Et, de même :

b

1 cos A = -

=

-2 : 1 = 0,50

=

cos 60°.

C .

Enfin :

a

\/3 ^{1 •}

1-tg A = ,; =

2 : 2

^{= V 3 = 1,73 = tg 60°.}

On peut donc écrire : .

sin 60°. = 0,87 ; cos 60° = 0,50 ; tg 60° = 1,73.

1

(a)

2 1

(b)

1

2

B

A b C

(C)

FIG. 1-5. - Triangle équilatéral et triangle à angles _3()¹ et 60-i.

On peut déterminer de la même façon les fonctions trigonométriques pour '

B = 300.

On a:

sin B

=

^{sin 30°}

= ~ ⁼

^{0,50 ;}

C

. a

cos B

=

^{cos 30° = -}

=

^{0,87 ;}

C

tg B

=

tg30°

= - b =

0,58.

a

30

COURS FONDAMENTAL DE RADIOÉLECTRICITÉ

Exercice 1-23.

1. Tracer le triangle rectangle dont les côtés font respectivement 10,3 et 7,6 cm;

trouver la valeur de l'hypoténuse. ·

, 2 . Le plus petit des angles de ce triangle est égal à 37° environ. Calculer sin 37°, cos 37° et tg 37° d'après les relations entre les côtés de ~e triangle.

3 . Q~elle est la relation entre sin 30° et cos 60° ~

Entre

sin 60° et cos 30°? . 4. Peut-on écrire pour les triangles étudiés : sin (90° - A)

=

^cos A? Il n'est pas nécessaire de calculer toutes les valeurs numériques dont on a besoin, car il existe des tables, comme la table 1-3, de la page 32.

Pour utiliser cette table, procéder de la façon suivante :

(1) Pour trouver les fonctions de 37°, chercher dans la colonn~ de gauche le chiffre 37°. Sur la même ligne on lit : sin 37°

=

0,601 8, cos 37°

=

0,798 6 et tg 37°

=

0,753 6.

(2) Pout l'angle, dont le cosinus est égal à 0,898 8, chercher, dans la colonne des cosinus, le nombre 0,898 8. On voit que ce nombre correspond à l'angle de 26° ; ^on a dçmc cosinùs 26°

=

0,898 8.

(3)

Pour trouver cos

16° ,5 (16°30 ')

on suppose que le cosinus de l'angle situé au milieu, entre les deux angles indiqués,

16°

et

17°,

est· situé au milieu, entre les cosinus . de ces an~les. On effectue ce qu'on appelle une interpolation :

(a) co;

16°

=

0,961

3 (d) ^cos

16°

=

0,961

3 (b} cos 17°

=

0,956 3 (e) 0,5 X 0,005 0

=

0,002

5

(c} différence= 0,005 0 cos

16°,5

= ·0,958 8

(4) Pour trouver la tangente de

35°40'

(35;66°), on effectuera le même genre d'interpolation :

(a) tg 36°

=

0,726

5

. (b) tg 35°

=

0,700 2 ( c} différence

=

0,026 3

(d) tg 3S⁰ ~ 0,700 2 (e} 0,66 X 0,026

.3 = 0,017 5

(f) tg

35,66 = ^{0,717 7}

(5) Trouver l'angle

A,

si l'on sait que sin

A, - =

0,6626. On voit d'après la tabie, que A est compris entre

41°

et

42° . .

(a) sin 42°

=

^0,669 1 (d) sin A= 0,662 6 ( b} sin 41

° =

^0,656

1 (

e) sin

41 ° =

^0,656 1 ( c) différence

=

0,013 0 ( f) différence

=

0,006

5

( ) 1, . A -

410 +

^{0,006 5}

¹⁰

g on a • -:- 0 013 0 X ·

. , .

(h) A=

41° + ^0,5° = ^41,5°

^(ou

^41°3ü1).

Exercice 1-24.

Calculer, d'après la table

1-3,

les angles ~t le$ fonctions ci-dessous :

1.

sin

45°.

. 2.

cos

45°.

3.

tg 45° ..

4. ^sin 90° .

5.

cos 15,5°.

6 . .

^tg

75°.

1. ·

cos 88,6°. 10. Angle A, quand tg A= 0,203

5.

8.

sin 79,25°. 11. Angle A, quand cos A = ·0,931

O.

9.

An~le A, quand sin A= 0,913 5. ·12. Angle A, quand sin A= 0,999

5.

Les fonctions trigonométriques trouvent de nombreuses applications dans les · problèmes de radio-électricité. Nous allons toutefois commencer par discuter un exemple d'application où interviennent les forces mécaniques.

A

(a)

D ^rs:::;: Foflce

apphquêe

à /a pierfïe .

b

90•

.c

450 45_° FR~dfo,nce

exef'çee

8 pâr> lâ

bande de

caoufchouc._ .

(b)

-Fic. 1 .. 6. - Un lance-pierre ët son diagramme des forces.

Considérons un lance-pierre "(fig.

1-6

a). Si l'on suppose que les angles sont ceux de la figure 1-6

b,

on peut calculer les forces qui sollicitent la pierre placée comme sur la figure l -6 a, puisque ces forces sont proportionnelles

aux

côtés du triangle A B D ou B CD. La moitié de la force qui agit sur la pierre est ainsi fournie par chaque inoitié de la bande de caoutchouc. Si, par exemple, la bande est tendue de telle so~e que chaque partie exerce une force de

1

unité (que nous pouvons désigner par

Fa),

dirigée suivant la direction d~ la bande elle-même, quel est l'effort qui s'exerce sur la pierre (désignons-le par le symbole Fs)?

Noqs avons:

] C )

cos 45°

= 2 .

^{d ou}

2

^{C = d cos 45°.}

Il

vient . donc :

Ï Fs

1

=

^{FR X cos 45°}

= 1

X 0,707 1 = 0,707

1.

L'effort total sera égal au double de cette valeur, c'est-à-dire à 1,414

2 .

.l.dditic,n vectorielle .

Le triangle de

la ·

figure 1-7, indique certaines relations qui seront expliquées plus loi~ :

- =cos R

z e

^R

⁼

^{Z cos 6}

^{Z= R}

^{co.s· 0}

32

COURS FONDAMENTAL DE RADIOÉLECTRICITÉ ·

Table-

1-3.

Sinus, cosinus et tangentes .

Sinus Cosinus . Tangente Sinus Cosinus Tangente Degrés (opposé) (adjac') (op~osé) ^Degrés (opposé) . (adjac-) (op~osé)

hypot. hypot. ad1ac. _.. hypot. hypot. _ ad~ac.

0 0,000 0 1,000 0 0,000 0 45 0,707 1 0,707 1 1 ,000 0 ' 1 0,017 5 0,999 8 0,017 5 46 0,719 3 . 0,694 7 1.035 5 2 0,034 9 0,999 4 0, 034 9 47 0,731 4 0,682 0 1,072 4 3 0,052 3 0, 998 6 0,052 4 48 0,743 1 0,669 1 1,1106 4 0,069 8 0, 997 6 0,069 9 49 0,754 7 0,656 1 1,1504 5 0,087 2 0, 996 2 0,087 5 50 0,766 0 0,642 8

^'

1,191 8 6 0, 104 5 0,994 - 5 0, 105 1 51 0,777 1 0,629 3 1,234 9 7 0, 121 9 0, 992 5 0, 122 8 52 0,788 0 0,615 7 1,279 9 8 0, 139 2 0, 990- 3 0, 140 5 53 0,798 6 0,601 8 1,327 0 9 0,156 4 0,987 7 0, 158 4 54 0,809 0 0,587 8 1,376 4

lO 0, 173 6 0,984 8 0, 176 3 55 0,819 2 0,573 6 1,428

1

11 0, 190 8 0,981 6 0, 194 4 56 0 ,829 0 0,559 2 1,482 6 12 0,207 9 . 0,978 1 0,212 6 · 57 0,838 7 0,544 6 1,539 9 13 0,225 0 0,974 4 0,230 9 58 0,848 0 0,529 9 1,600 3 14 0,241 9 0,970 3 0,249 3 59 _{0,857 2 0 ,515 0} 1,664 3

15 0 ,258 8 0,965 9 0,267 9 60 0,866 0 0,500 0 1,732 1

16 0,275 6 0, 961 3 0,286 7 . 61 0)874 6 0,484 8 1,804 0 17 0,292 4 0,956 3 0,305 7 62 0,882 9 0,469 5 1 ,880 7 18

1

0,309 0 0,951 1 0,324 9 63 0,891 0 0,454 0 1,962 6 19 0,325 6 0,945 5 0,344 3 64 0,898 8 0,438 4 2,050 3 20 0,342 0 0,939 7 0,364 0 65 0,906 3 0,422 6 2,144 5 21 0,358 4 0, 933 6 0,383 9 66 0,913 5 0,406 7 2,246 0 22 0,374 6 0,927 2 0,404 0 67 0,920 5 0,390 7 2,355 9 23 0,390 7 0,920 5 0 , 424 5 68 0,927 2 0,374 6 2,475 1 24 0,406 7 0,913 5 0 ,4 45 2 69 0,933 6 0,358 4 2,605 1

'

25 0,422 6 0,906 3 0,4663 70 0,939 7 0,342 0 2,747 5

26 0,438 4 0,898 8 0,487 7 71 0,945 5 0,325 6 2,904 2

27. 0,454 0 0,891 0 0 , 509 5 72 0,951 1 0,309 0 3,077 7

28 0, 469 5 0,882 9 0,531 7 73 0,956 3 0,292 4 3,270 9

29 0,484 8 0,874 6 0,554 3 74 0,961 3 0,275 6 3,487 4

. _Sinus Cosinus Tangente

34 COURS FONDAMENTAL DE RADIOÉLECTRICITÉ

figure 1-7 (les flèches indiquent le sens de chaque vecteur) et tracer une ligne joignant l'origine de R à l'extrémité de X. On obtient le vecteur Z, somme de R et de X, dont la valeur algébrique est

z = V

^{R2 .}

+

^X2

= V

⁸²

+

⁶²

=

¹

o.

On indique les quantités vectorielles en caractères gras, ou par une flèche horizon-tale qui distingue un vecteur tel que

1

^.d\me quantité non vectorielle! telle que_ x·

Le procédé graphique pour déterminer la valeur des fonctions trigonométrique-s consiste à tracer une courbe sinusoïdale à partir d'un cercle de rayon unité (fig~ 1-8) et de centre A. Le triangle A C B est un triangle rectangle -et l'on a sin 6

= ~ ^:·

1 1 12

6

1 1 l 4 ~ 6 1 8 9 10 Il o· 1 io-1 60·1 .o·t 1w l 1,1>°fu

-~• 4)• I')• 10)"' 1 j')• Il,\"

Fic. 1-8. - Construction de la courbe sinusoïdale.

E

Mais AB = 1 (unité de longueur), d'où sin 0

=

C B. Si on prend un autre angle, tel que 0\ l'on a enc.ore sin 8' .= C' B'. Si l'on divise la circonférence en un certain nombre de parties égales, 24 par exemple, on peut marquer les positions occupées successivement par le vecteur A B et leur faire correspondre les droites horizontales (en pointillé) qui permettent de tracer les points successifs d'une sinusoïde.

On .rémarquera, en passant, que l'on a sin 120°

=

sin 60°, sin 150°

=

^{sin 30°, etc.}

On peut en conclure que l'on a : sin (180° - A)

=

sin A. Plusieu~s autres règles générales peuvent être déduites du graphique de la figure 1-8.

Exercice 1-26.

Comparer les ordonnées de la figure 1-8 avec les valeurs de la table 1-3 pour plusieurs. valeurs d'angles.

Nous avons, sur la figure 1-8 : cos

e =

^{A C}. Si l'on procède de la même façon que précéde~ment, on ohtient la courbe des cosinus. Elle est identique à la courbe des sinus, mais se trouve décalée de telle façon que son ordonnée est nulle quand c.elle de la sinusoïde est égale

à

1, et inversement. ·

-Exercice 1-27.

Comparer plusieurs points de la sinusoïde (de la figure 1-8) avec les valeurs des

6

=

^{1 radian ·} long de sa circonférence, à la manière d'une règle flexible, on constate que cette circon-férence a une· longueur égale à

2

^7t' fois le rayon. Cette relation est valable quelles que soient les dimensions du cercle. L'angle O défini par la figure

1-9

s'appelle le radian et est égal à

57,3°.

Pour convertir les degrés en radians, diviser le noml;>re de degrés par

57,3 ;

pour convertir les radians en degrés, multiplier le nombre de radians· par 57 .~

:Exercice 1-28.

C'est la raison pour laquelle on recueille les chiffres concernant la production auto-mobile, le nombre des naissances, les températures en différents lie~x, 'les prix des marchés, etc. Ces chiffres peuvent être présentés sous forme de tables ou de graphiques, La figure

1-10

représente le graphique indiquant les températures diurnes d'une

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