On peut aussi déduire du couple des coordonnées du point(a1, a2), le type de racines (complexes ou réelles) du polynome D(z). Il a pour discriminant :
∆ =a21−4a2, – sia2=a21/4, alors∆ = 0etD(z)a deux racines réelles identiques, – sia2< a21/4,∆>0et il y a deux racines réelles distinctes, – sia2> a21/4,∆<0et il y a deux racines complexes conjuguées.
exemple de système instable
Calcul des pôles SoitH(z) = 1/D(z) = 1/ 1 + 1.9z−1+ 0.1z−2
, le discriminant deD(z)est∆ = 3.61−0.4 = 3.21.
les racines sont donc :
ρ1= −1 +√ 3.21
2 = 0.375
ρ2= −1−√ 3.21
2 =−1.395, Il y a un pôle en dehors du cercle unité, donc le filtre et instable.
Test SCHÜR-COHN En utilisant la méthode développé ci-dessus on en déduit la valeur du premier coefficient de réflexion K2= 0.1, qui est bien inférieur à1. Le deuxième coefficient de réflexion est donné parK1= 1.9/1.1 = 1.73qui est supérieur à1, donc le filtre est instable.
Ce test peut être étendu à un filtre d’ordre quelquonque. On peut effet calculer les coefficients de réflexion manière récursive.
Au premier qui est supérieur à 1, le filtre est instable.
Triangle de stabilité Ce test peut être utilisé dans le cas d’une structure d’ordre 2. Si le point de coordonnée (a1, a2) appartient au triangle de stabilité, ce qui n’est pas le cas de cet exemple, alors le filtre est stable.
4.3 Variance de fonction de transfert en fonction de la quantification des coefficients
On peut exprimer la variance de la réponse en fréquence en fonction de la variance du bruit de quantification.
Si chaque coefficient est arrondi àbbits, l’erreur de quantificatione(n)introduite est alors comprise dans l’intervalle
−2−(b+1)6e(n)62−(b+1), la valeur des coefficients quantifiés peut donc s’écrire :
¯h(n) =h(n) +e(n).
En effectuant la transformée de FOURIERde cette expression et du fait que cette transformation est linéaire, l’erreur introduite par la quantification sur la fonction de transfert s’exprime par :
E(ω) =
M−1
X
n=0
e(n)e−iωn.
On remarque que le bruit de quantification introduit par la technique d’arrondi est à moyenne nulle, La composante continue de la fonction de transfert de bruit sera donc elle aussi nulle.
E{e(n)}= 0⇒E(0) = 0.
En supposant le bruit de quantificatione(n)non corrélé et en appelant sa varianceσ2e, la variance de la fonction de tranfert de bruit peut s’écrire :
Ainsi si la longueur du filtre est multiplié par4, on doit rajouter un bit de quantification pour maintenir le même écart-type sur la fonction de transfert de bruit : SoitM0 = 4 M etb0 =b+ 1, l’écart-type de la fonction de transfert du filtre de longueurm0
Ainsi la sensibilité de la fonction de transfert à la quantification des coefficients est proportionnelle à la longueur du filtre. Plus le filtre sera long, plus on aura besoin de bits pour coder les coeffcients afin de ne pas trop distordre la réponse en fréquence du filtre.
4.4 Sensibilité des pôles et des zéros à la quantification des coefficients
Nous avons vu dans la partie précédente que la pertubation introduite sur la fonction de transfert était fonction de la longueur du filtre. Nous allons dans cette partie étudier la sensibilité des racines (pôles ou zéros) à la quantification des coefficients. Soit un filtre de transformée enZ(II.8) et les coefficients quantifiés{¯ak}et{¯bk}définis par :
¯
ak=ak+ ∆ak,
¯bk=bk+ ∆bk, (III.13)
où∆ak et∆bk représentent les erreurs de quantification. Dans la suite on ne s’intéresse qu’au dénominateur, l’étude étant similaire en ce qui concerne le numérateur. En mettant le dénominateur sous forme produit, on obtient :
D(z) = 1 +
le dénominateur quantifié devient alors :
D(z) =¯
où lesp¯ksont les pôles issus du processus de quantification des coefficients. On a doncp¯k=pk+ ∆pkavec∆pkl’erreur induite par l’ensemble des∆akc’est à dire l’ensemble des erreurs de quantification∆aksur les coefficientsak.
Dans la section précédente nous avons mis en évidence que pour un nombre de bits donnés, plus le filtre était long, plus la fonction de transfert serait pertubée par le processus de quantification. Nous allons maintenant montrer que cette pertubation dépend aussi de la position des pôles les uns par rapport aux autres.
Nous avons déjà dit que les∆pk dépendaient de l’ensemble des∆ak. Ce que nous pouvons écrire par :
∆pi =
Nous allons maintenant déterminer la dérivée partielle∂pi/∂akpourk= 1,2, . . . , N. Elle peut s’obtenir à partir de la dérivation partielle de la fonction de transfert pourz=pi:
∂D(z)
On a pour le numérateur :
∂D(z)
on rappelle que la dérivée d’un produit de fonction est donnée par :
∂Q
La dérivée partielle au dénominateur s’écrit donc :
∂D(z)
Dans le terme de droite de (III.21) le terme produit est non nul seulement pourk=i. En effet pourk6=ion a :
N
En introduisant (III.19) et (III.22) dans (III.18), la dérivée partielle des pôles par rapport aux coefficients est alors donnée par :
L’effet de la quantification de l’ensemble des coefficients sur un pôlepis’obtient en introduisant (III.23) dans (III.16) :
∆pi=
Le dénominateur de (III.22) représente la distance du pôlepidont on étudie la sensibilité aux autres pôlespkdu filtre. Plus cette distance sera faible plus la dérivée partielle sera importante, cette expression nous renseigne aussi sur le fait que plus le filtre aura de pôle (plus il sera d’ordre élevé) plus cette dérivée partielle sera importante. Cette première expression nous enseigne l’effet de la quantification d’un seul coefficent sur chacun des pôles. L’effet global de la quantification est donné par le terme somme de l’ensemble des pertubations (III.24) qui en représente donc l’effet cumulé.
La conclusion est la suivante : pour que la dérivée partielle (III.22) soit la plus faible possible, il faut que les pôles du filtre soit le plus éloigné possible entre eux. Pour que l’effet cumulé de la quantification des coefficients soit la plus petite possible, il faut qu’il y ait le moins de coefficients possible. Ces deux contraintes font converger vers le même type de solutions : On implantera de préférence un filtre sous la forme de cellule d’ordre le plus faible possible, soit des cellules d’ordre 2. La figureIII.5illustre la plus faible sensibilité à la quantification des coefficients obtenue avec une structure cascade.
(a) Structure directe (b) Structure cascade
FIGUREIII.5 – Sensibilité de la fonction de transfert à la quantification des coefficients en fonction de la structure d’implantation
5 Quantification des données
La quantification des données peut intervenir à deux endroits dans un algorithme, soit après les multiplications, soit au moment de l’écriture en mémoire. Dans les deux cas le bruit introduit peut être modélisé par un bruit additif (dans le cas du codage en virgule fixe). Pour une structure récursive d’ordre 2, on peut se ramener dans les deux cas à une source de bruit équivalent en entrée. La transformée enZde la sortie en fonction des entrées est donc :
Y(z) = 1
1−az−1(X(z) +E(z)) La puissance du bruit en sortie sera donc :
σes2 =σ2e 1
(a) bruit après la multiplication (b) bruit à l’écriture en mémoire
FIGUREIII.6 – Sources de bruit dans le cas d’une structure récursive d’ordre 2
(a) quantification après la multiplication (b) quantification à l’écriture en mémoire
FIGUREIII.7 – Source de bruit équivalente
en appliquant le théorème de PARSEVAL. Ici on ah(k) =akdonc : σes2 =σ2eX
a2k =σe2 1 1−a2. La source de bruit est donc filtrée (donc atténuée) par le filtre.
Pour un filtre purement récursif du 2ndordre on trouve : σ2es=σe2
1 +r2 1−r2
1
r4+ 1−2r2cosθ
.
On voit dans cette dernière expression que plus le pôle sera proche du cercle unité, plus le gain introduit sur le bruit de quantifi-cation sera important.
5.1 Cycles limites
La quantification des données est un phénomène non linéaire. Pour évaluer la pertubation qu’elle introduit sur les données on utilise un modèle linéaire additif, en la modélisant par un bruit supposé blanc uniforme et non corrélé avec les données. Ce modèle linéaire permet d’apprécier la dégradation sous la forme d’un rapport signal sur bruit de quantification.
Cependant le phénomène non linéaire introduit des comportements particuliers qui ne peuvent être modélisé par un modèle linéaire. Ces comportements concerne ce que l’on appelle les cycles limites.
Cycles limites de petite amplitude
Soit un filtre d’équation aux différences :
y(n) =x(n) + 0.9y(n−1),
la réponse impulsionnelle de ce filtre esth(n) = 0.9n. Si on applique en entrée de ce filtre une impulsion d’amplitude10. La séquence correspondant à la sortie sera
10 9 8.1 7.29 6.561 5.9 5.31 4.78 · · · .
On suppose que l’on ne peut représenter que la partie entière des données, la sortie du filtre est donc quantifiée en supprimant la partie fractionnaire. La séquence en sortie est alors :
entrée 10 0 0 0 0 0 0 0
sortie 10 9 8.1 7.2 6.3 5.4 4.5 4.5
sortie quantifiée 10 9 8 7 6 5 5 5
la sortie devient constante et égale à5pour une entrée nulle !
Si le coefficient du filtre n’est plus0.9mais−0.9, on a alors en sortie la séquence suivante :
entrée 10 0 0 0 0 0 0 0
sortie 10 -9 8.1 -7.2 6.3 -5.4 4.5 -4.5
sortie quantifiée 10 -9 8 -7 6 -5 5 -5
Dans le premier cas la sortie est une composante continue d’amplitude5et dans le second un signal oscillant de fréquenceFe/2 et d’amplitude crête5. On a donc un système qui «fournit» de l’énergie alors que l’entrée n’est plus excitée. La quantification a donc pour effet de créer un système résonnant qui aura son pôle sur l’axe réel soit à droite dans le premier cas soit à gauche dans le second.
Cas général
Cellule du 1erordre On considère que les valeurs sont codés surbbits, dont1bit de signe.Q[ ]représente l’opérateur non linéaire de quantification. Pour une entrée nulle l’équation de récurrence du filtre se ramène après quantification à
y(n) =Q[a y(n−1)],
l’erreur introduite par la quantification est bornée et est inférieure àq/2avecq= 2−b. Si on a l’égalité :
|Q[a y(n−1]|=|y(n−1)| (III.25) l’équation de récurrence devient
y(n) =y(n−1) ou y(n) =−y(n−1),
suivant le signe du coefficienta. Ainsi la non linéarité a introduit un pôle sur le cercle unitaire en1ou−1. On obtient l’égalité (III.25) quand on a la condition :
|y(n−1)| − |Q[a y(n−1)]|6 q 2, qui est vérifiée quand
|y(n−1)|6 0.5q
1− |a|. (III.26)
Cette dernière relation définit ce que l’on appelle l’intervalle de bande morte , qui correspond à la zone de valeur qui peuvent être présentes en sortie pour une entrée nulle.
Dans l’exemple numérique présenté en introduction on avaitq= 1et a=0.9, l’intervalle de bande morte est donné, en utilisant la relation (III.26), par[−5,5]. La dynamique de cet intervalle dépend du nombre de bits disponibles pour représenter les données.
la figureIII.8illustre le phénomène de bande morte pour une résolution respectivement de 7, 9 et 11 bits. cette figure repré-sente la réponse impulsionnelle d’un filtre correpondant à l’équation aux différences :
y(n) =x(n) + 0.988y(n−1). (III.27)
y(n) =x(n)−0.988y(n−1). (III.28)
FIGUREIII.8 – Phénomène de bande morte equation (III.27), la réponse idéale est représentée en pointillé.
FIGURE III.9 – Phénomène de bande morte equation (III.28), la réponse idéale est représentée en noir, la réponse pour une précision de 9 bits est en gris.
Cellule du 2ndordre Dans le cas des cellules du 2ndordre, on obtient après quantification des données, l’apparition de pôles sur le cercle unité si :
|y(n−2)| − |Q[a2y(n−2)]|6 q
2, (III.29)
qui est vérifiée si on a la condition :
|y(n−2)|6 0.5q 1− |a2|.
La fréquence des oscillations sera alors contrôlé par la valeur apparente du coefficienta1.
Il est possible de supprimer l’effet des cycles limites de petites amplitudes en utilisant à la place d’un arrondi, une troncature vers 0 avant le stockage en mémoire. La puissance du bruit de quantification est alors multiplié par 2, mais le phénomène de bande morte disparait (figureIII.10).
Cycles limites de grandes amplitudes
Un autre phénomène peut intervenir du fait des «surtensions» si on utilise un additionneur en mode débordement. Ce phéno-mène provient de l’opération de modulo du au codage en complément à deux des données.
On considère dans l’exemple qui suit que la dynamique des données est limitée à[−3,2].
Soit l’équation de récurrence :
y(n) = 1.1y(n−1)−0.9y(n−2), avec les conditions initiales :
y(n−1) = 2 et y(n−2) =−2.
à l’instantnla sortie vaut :
y(n) = 1.1·2−0.9· −2 = 4 → −2,
(a) Troncature vers 0 (b) la RI idéale est en gris, celle correspondant à une quantifica-tion sur 9 bits est en noir.
FIGUREIII.10 – Suppression du phénomène de bande morte en utilisant une troncature vers 0.
à l’instantn+ 1:
y(n+ 1) = 1.1· −2−0.9·2 =−4 → 2,
Ce phénomène se comprend mieux en observant la figureIII.11 où on a représenté sur un cercle les valeurs correspondant au codage de l’intervalle. L’oscillation en sortie est causé par le phénomène de débordement dans l’accumulateur, la solution
FIGUREIII.11 – Circularité de la représentation en complément à 2
consiste alors à utiliser l’accumulateur dans un mode où le débordement se traduira par une saturation et non un débordement.
6 Mise à l’échelle et ordonnancement des cellules dans une structure cascade
On a vu que si on veut minimiser la sensibilité des coefficients à la quantification, on a intérêt à implanter le filtre sous forme de structure cascade d’ordre le plus faible possible (On choisira un ordre 2 qui est l’ordre le plus faible permettant d’avoir des racines complexes conjuguées).
6.1 Appariement des pôles et des zéros
Le premier problème à résoudre est de fixer le critère d’appariement des pôles et des zéros pour associer tel numérateur avec tel dénominateur.
l’objectif est d’obtenir des cellules du 2ndordre ayant une surtension la plus faible possible. L’appariement des pôles et des zéros va donc suivre la règle suivante :
– On choisit la paire de pôles complexes conjugués qui est la plus proche du cercle unité, donc celle qui provoque la surten-sion la plus importante.
– pour atténuer au maximum cette surtension, on l’associe avec la paire de zéros complexes conjugués qui en est le proche en fréquence.
– Puis on prend les pôles suivants les plus proches du cercle unité et on les associe avec les zéros qui en sont les plus proches en fréquence, etc ...
FIGUREIII.12 – Appariement des pôles et des zéros
6.2 Facteur d’échelle
L’implantation d’une structure récursive va poser des problèmes de dynamique du fait de la surtension. Si on choisit une implantation sous forme directe de type II (figureIII.13) L’équation de récurrence pour le nœudv1(n)(figureIII.13) est
FIGUREIII.13 – Cellule directe de type II
v1(n) =x(n) +a1y(n−1) +a2y(n−2), et la fonction de transfert
V1(z)
X(z) = 1
1−a1z−1−a2z−2.
Au nœudv1(n)seul le dénominateur contribut à la sortie. Il y a donc risque de saturation, puisque la surtension ne sera pas atténuée par le zéro de transmission associé. Si on associe au filtre défini ci-dessus la réponse impulsionnelleh(n), on peut représenter la sortie par le produit de convolution :
v1(n) =
∞
X
k=0
h(k)x(n−k).
avec
h(n) =rnsin[(n+ 1)θ]
sinθ pour n>0
eta1 =−2rcosθ,a2=r2. Si la dynamique disponible estM. Pour qu’il n’y ait pas saturation, on doit avoir|v1(n)|< M on d’où on déduit la condition de mise à l’échelle
∞
X
k=0
|h(k)|61.
Le facteur d’échelle à appliquer sur les donnéesx(n)pour éviter les situations de débordement est donné parα: α= 1
Cette approche revient à appliquer une contrainte très sévère qui peut énormément diminuer la dynamique de l’entrée. Le bruit de quantification restant lui constant, puisque lié à la résolution, cela entraîne une diminution du rapport signal sur bruit de quantification.
Mise à l’echelle suivant une normeLp
On peut utiliser d’autres critères moins sévères, qui même s’ils n’excluent pas totalement les risques de saturation, les rendent peu probables.
Ces contraintes sont dérivées de la normeLpdéfinie dans le domaine de FOURIERpar : kHkp=
On a de plus la suite d’inégalités :
|h(n)|6kHk16kHk26· · ·6kHk∞6
∞
X
n=0
|h(n)|. (III.30)
la mise à l’échelle suivant le choix d’une normeLp, se fait en tenant compte de la relation :
|v1(n)|6kHkpkXkq avec 1 p+1
q = 1. (III.31)
NormeL∞ Soitx(n)un signal déterministe dont la normeL1satisfait : kXk16M,
On doit donc introduire sur les données un facteur d’échelle α= 1
kHk∞
.
NormeL2 On considèrex(n)un signal déterministe d’énergie finiekXk22=E. On en déduit la condition de mise à l’échelle : kXk2=√
E6M. (III.32)
Les relations (III.31) et (III.32) nous indiquent qu’il n’y aura pas débordement si on a la condition : kHk261.
Dans le cas de signaux aléatoires dont la variance est connue, cela nous permet de dire que la variance ou la puissance moyenne du signal de sortie sera la même que celle du signal d’entrée. Cela se traduit donc par le fait que la probabilité de débordement en sortie est la même qu’en entrée.
Ce type de mise à l’échelle convient mieux à des signaux large bande, alors que le choix précédent (normeL∞de la fonction de transfert) est mieux adapté à des signaux bande étroite.
6.3 Bruit de calcul dans un filtre récursif
Le synoptique d’une cellule correspondant à la structure directe de type II avec mise à l’échelle de l’entrée est représentée figureIII.14avecα0·α1 = 1la source équivalente de bruit de quantification est filtrée par la cellule entière. la puissanceBdu
FIGUREIII.14 – Structure directe de type II avec mise à l’échelle
bruit issu de la quantification en sortie est donnée par : B= q2
Dans le cas d’une mise en cascade de plusieurs cellules pour réaliser un filtre d’ordre supérieur à 2. Le bruit de quantification introduit à la première cellule est filtré par l’ensemble des cellules, celui introduit à la seconde est filtré par cette cellule et toute les suivantes etc ...
Par exemple si on a trois cellules en cascade, la puissance totale du bruit de quantification en sortie est donné par :
B= q2
– Dans le terme (III.35),α3correspond au facteur multiplicatif placé en sortie de la dernière cellule pour compenser l’en-semble des facteurs d’échelle introduit dans les étages précédents.
– Dans le terme (III.34),α2correspond au facteur d’échelle qui permet d’éviter ou de limiter les saturations dans le 3èmeet dernier étage.
– et ainsi de suite.
La forme générale pour un nombre quelquonque de cellules est : B= q2
6.4 Ordonnancement des cellules
Le problème de l’ordonnancement des cellules peut recevoir plusieurs réponses. En analogique, on cascade les cellules du 2nd ordre par ordre de surtension croissante pour minimiser les problèmes de saturation locale, mais on ne rencontre pas de problème de bruit de quantification.
En numérique l’ordonnancement des cellules dépend du type de norme que l’on cherche à minimiser pour le bruit de quanti-fication et du type de norme adoptée pour le calcul du facteur d’échelle.
On retiendra les règles suivantes :
– Si la mise à l’échelle est faite suivant la normeL2et que l’on souhaite minimiser la normeL∞du bruit de quantification, alors les cellules devront être ordonnées par ordre de surtension décroissante.
– Si la mise à l’échelle est faite suivant la normeL∞et que l’on souhaite minimiser la normeL2du bruit de quantification, alors les cellules seront ordonnées par ordre de surtension croissante.
– Si on choisit pour les 2 critères la même norme,L2 ouL∞, La norme du bruit de quantification sera peu sensible à l’ordonnancement des cellules.
6.5 Rapport signal sur bruit
Si on considère une cellule d’ordre 2 ayant en entrée un bruit blanc de varianceσ2x, le rapport signal sur bruit de quantification en sortie est donné par :
σ2x Z 1
0
|H(f|2df q2
12 1 α20
Z 1 0
|H(f)|2df
= σ2x q2 12
1 α20
. (III.37)
Plus la cellule aura une surtension importante , plus petit sera le facteur d’échelle appliquée sur les données. Cela entraînera une dégradation du rapport signal sur bruit de quantification.
Traitement multicadence
Le traitement multicadence, traitement qui implique plusieurs fréquences d’échantillonnage, peut avoir plusieurs motivations.
Il peut être le fruit de contraintes liées à une application dans laquelle les flux de signaux numériques à traiter et à générer doivent l’être à des fréquences d’échantillonnage différentes. Cette situation peut se rencontrer par exemple dans les applications audio où co-existent plusieurs fréquences d’échantillonnage :32kHz,44.1kHZ, ,48kHz, 96kHZ,...
Cette approche peut aussi permettre d’améliorer les caractéristiques d’implantation d’un algorithme en adoptant pour chacune de ses étapes un échantillonnage que l’on appelle critique dans le sens où la fréquence de traitement est choisie égale à la fréquence de NYQUIST. Ainsi la chaîne de traitement correspondant à l’émetteur bande de base d’un modulateur DPQSK représentée figureIV.1, où l’on a trois fréquences de traitement : la fréquence bit, la fréquence symbole et la fréquence d’échantillonnage.
Les frontières entre chaque domaine de fréquence de traitement doit gérer le changement correspondant.
FIGUREIV.1 – Structure d’un modulateur DQPSK en bande de base
Dans ce chapitre nous aborderons les changements de fréquence d’échantillonnage entier ou rationnel, c’est à dire pouvant se décomposer en une étape de suréchantillonnage par un facteur entier et une étape de décimation, là encore d’un facteur entier.
1 Suréchantillonnage
Le suréchantillonnage d’un signal d’un facteur Lconsiste à insérerL−1 échantillons à zéro entre chaque échantillon du signal d’entrée. Cette opération correspond à l’équation aux différences :
y(m) =
(x(n) sim=nL,
0 sinon. (IV.1)
Cette opération de suréchantillonnage se représente par le diagramme bloc figureIV.2.
FIGUREIV.2 – représentation du suréchantillonnage
FIGUREIV.2 – représentation du suréchantillonnage