Triangle de Sierpinski (Sierpinski gasket)

Le triangle de Sierpinski, le joint de Sierpinski ou le tamis de Sierpinski constituent un ensemble fractal fixe et attrayant. Il a été introduit par le mathématicien polonais Waclaw Sierpinski, en 1915.

Fig. I.17 Itérations du triangle de Sierpinski composées de triangles pleins.

Le facteur d'échelle de l'itération est 2, tandis que le rapport de masse est 3 (figure I.17). La dimension fractale correspondante est donnée dans (I. 32) :

= ³

2^{= 1.585 (I. 32)} 5.3.5 Tapis de Sierpinski (Sierpinski carpet)

Le tapis de Sierpinski est une fractale plane. Il a également été décrit par Waclaw Sierpinski, en 1916. Le tapis est une généralisation du jeu de Cantor à deux dimensions (une autre est la poussière de Cantor).

Fig. I.18 Itérations d’un tapis de Sierpinski.

Le facteur d'échelle est 3 et le rapport de masse (carrés noirs) est 8 (Figure I.18). Par conséquent,

= ⁸

3^{= 1.8928 … (I. 33)} 5.4 Technologie des antennes fractales

Les approches traditionnelles de la conception et de l'analyse des systèmes d'antennes sont fondées sur la géométrie euclidienne. Toutefois, la possibilité de développer des antennes qui utilisent la géométrie fractale dans leur conception a suscité un intérêt considérable récemment. La comparaison générale de la géométrie euclidienne et de la géométrie fractale est présentée dans le tableau I.3.

Tableau I.3 Comparaison générale des géométries euclidienne et fractale Géométrie euclidienne ou fractale

Géométrie euclidienne Géométrie fractale

Souvent définie par la formule Souvent définie par une règle itérative

Applicable aux objets artificiels Applicable aux objets naturels

Les formes changent avec la mise à l'échelle Invariante sous mise à l'échelle, auto-similaire

Objets définis par des équations analytiques Objets définis par des algorithmes récursifs

Localement lisses, différentiables Localement rugueux, non différentiables

Éléments : sommets, arêtes, surfaces Éléments : itération de fonctions

Dans le domaine de la théorie des antennes, Kim et D.L. ont rapporté la première application de fractales. Jaggard [I.59]. Ils ont présenté une méthodologie de conception de matrices à lobes secondaires basses basées sur la théorie des fractales aléatoires. Carles Puente Baliarda a proposé d'explorer les propriétés multifréquences des fractales en tant que structure rayonnante [I.60,61]. Dans ces études, les antennes unipolaires de Sierpinski ont été introduites.

Cette antenne unipolaire a un comportement multi-bandes sur cinq bandes de fonctionnement. Ce comportement est basé sur la propriété d’autosimilarité de la forme fractale de l’antenne. Les antennes dipôles en forme de fractale avec des courbes de Koch sont généralement alimentées au centre de la géométrie. En augmentant l'itération fractale, la longueur de la courbe en fait autant, ce qui réduit la fréquence de résonance de l'antenne. La résonance d'antennes unipolaires utilisant ces géométries en dessous de la limite de petites antennes a été rapportée par Puente et al. [I.56].

C. Borja et al. [I.62] ont introduit un modèle numérique simple et rapide qui permet de prédire les paramètres d'entrée d'un réseau avec la topologie de la forme fractale du joint de Sierpinski. Une antenne fractale de Sierpinski et plusieurs modifications de cette géométrie ont été étudiées dans [I.63–65]. Les antennes à double bande et à large bande, basées sur la variation du monopôle fractal de Sierpinski, ont été présentées dans [I.66–68]. Les propriétés multi-bandes des monopôles fractals basées sur la famille généralisée de Sierpinski ont été étudiées par Castany et al. [I.69].

L'avantage de cette approche est qu'elle offre une grande souplesse dans le choix du nombre de bandes et de l'espacement des bandes associés pour une conception d'antenne. Afin de résoudre le problème des antennes miniatures à micro-ruban (faible largeur de bande et efficacité du rayonnement), des techniques parasitaires ont été combinées à des techniques fractales dans le but d'obtenir des antennes miniatures à large bande avec un rendement amélioré [I.58]. Une nouvelle configuration d'une antenne à joint de Sierpinski fractal carré a été présentée et discutée dans [I.70].

Une caractéristique importante de nombreuses géométries fractales a déjà été leur nature remplissant l'espace. La taille de l'antenne est un paramètre critique, car son comportement dépend des dimensions en termes de longueur d'ondes d'espace libre (λ0). Une antenne est dite petite lorsque sa plus grande dimension est inférieure à deux fois le rayon de la sphère radienne; son rayon est λ/2π. Wheeler et Chu ont été les premiers à étudier les limites fondamentales de ces antennes. Les courbes fractales de Hilbert et Koch ont également été utiles pour la conception de petites antennes patch à micro-ruban [I.71-75].

Une autre facette de la réduction de la taille de l'antenne résonante est que la résistance d'entrée de petites boucles peut être augmentée à l'aide de fractales. Un problème avec une petite boucle est que la résistance d'entrée est très faible, ce qui rend difficile le couplage de l'alimentation à l'antenne. En utilisant une boucle fractale, l'antenne peut être rapprochée de la résonance et ainsi augmenter l'impédance d'entrée.

Une île de Koch a été utilisée comme antenne cadre pour augmenter la résistance d'entrée [I.72,73]. Le processus est similaire à la formation de la boucle fractale de Minkowski, à la différence que le générateur ne comprend que quatre segments de longueur égale, au lieu de cinq segments de deux échelles différentes. À titre de comparaison, une boucle circulaire de rayon égal a aussi été construite, qui circonscrit la boucle fractale [I.76,77].

Les fractales peuvent être utilisées pour miniaturiser les éléments de patch ainsi que les éléments de fil. Le même concept d'augmentation de la longueur électrique d'un radiateur peut être appliqué à un élément de patch [I.78]. L'antenne patch peut être vue comme une ligne de transmission micro-ruban.

Par conséquent, si le courant peut être forcé de suivre la trajectoire sinueuse d'une fractale au lieu d'une trajectoire euclidienne droite, la zone nécessaire pour occuper la

ligne de transmission résonnante peut être réduite. Cette technique a été appliquée à des antennes patch sous différentes formes [I.79–84]. Récemment, de nouvelles formes d'antennes fractales (combinaison de géométrie fractale) ont été proposées pour la miniaturisation, les applications WLAN, ULB [I.85–90].

Une nouvelle technique de réduction de la taille des antennes patch micro-ruban est proposée [I.85]. Ici, en gravant les bords du patch selon les courbes de Koch en tant que chargement inductif et en insérant les tapis de Sierpinski dans le patch lors du chargement de la fente, il est expérimentalement constaté que la fréquence de résonance du patch peut être suffisamment abaissée.

De plus, l'ordre d'itération plus élevé des formes fractales entraîne une diminution de la fréquence de résonance. Cette propriété peut être utilisée pour réduire la taille des antennes patch micro-ruban. Une autre antenne fractale hybride est proposée pour les applications ULB [I.86]. Dans cette étude, deux géométries fractales sont utilisées. Premièrement, les fractales de Giusepe Peano sont appliquées sur les bords d'un carré et, deuxièmement, une fractale de Sierpinski Carpet est formée à sa surface.