Les treillis de Galois

Sous ce nom, on désigne une structure double de treillis issue du tableau Sujets×Propriétés grâce à une "connexion de Galois". Nous allons montrer ci-dessous ce que c'est, et comment elle

83_{Notons toutefois que la règle GD abcd → abcde, obtenue également à partir de GD1 avec mrGD}0

1 n'est pas

valide selon une dénition de la règle d'association qui imposerait un seuil de support, le support du motif abcde étant nul.

4.2. Les règles d'association comme ensemble logique exprime d'une façon condensée la relation liant les Sujets et les Propriétés en donnant seulement quelques dénitions et en renvoyant les lecteurs intéressés par les théories algébriques sous- jacentes aux ouvrages cités dans la bibliographie [23], [77], [61].

Reprenons la dénition que donne G. Birkho en page 56 de son ouvrage intitulé "Lattice Theory" [23] :

Dénition 4.2.3. Connexion de Galois.

Soit P et Q deux ensembles partiellement ordonnés, f une application de P vers Q, et g une application de Q vers P tels que

1. si x º x1 dans P, alors f(x) ¹ f(x1) dans Q

2. si y º y1 dans Q, alors g(y) ¹ g(y1) dans P

3. x ¹ g(f(x)) pour tout x de P, y ¹ f(g(y)) pour tout y de Q

On dit alors que f et g dénissent une connexion de Galois entre P et Q.

Les "treillis de Galois" sont obtenus par Barbut et Monjardet [11] à partir d'un contexte (S,P,R) en prenant pour ensembles P et Q de la dénition précédente, les ensembles respectifs de parties de l'ensemble des propriétés P et de l'ensemble des sujets S, pour relation d'ordre l'inclusion ensembliste, pour f l'application qui à tout ensemble de propriétés associe l'ensemble de tous les sujets qui les vérient toutes (c'est-à-dire qui sont en relation par R), et pour g celle qui à tout ensemble de sujets associe l'ensemble de toutes les propriétés qu'ils vérient tous. Les fermés étant les parties x de P telles que g(f(x))=x, et celles y de S telles que f(g(y))=y, ils établissent dans leur ouvrage [11] que l'ensemble des parties fermées de P muni de la relation d'ordre ⊆ et l'ensemble des parties fermées de S muni de la relation d'ordre ⊇ sont deux treillis isomorphes84_{. Ce sont ces deux treillis qu'ils appellent "treillis de Galois". Wille [235] dénit de la}

même façon ses "treillis de concepts", où un concept est formé d'une partie fermée de propriétés et de la partie fermée de sujets correspondante.

Donnons un exemple de concept an d'illustrer ces dénitions. Si on considère l'ensemble A formé de la seule propriété a, A={a}, f(A) est l'ensemble de tous les sujets vériant a, donc f(A)={s1, s3, s5}. Appelons B cet ensemble, g(B) est l'ensemble de toutes les propriétés vériées par s1, s3 et s5. On obtient g(B)={a, c}. On a donc bien {a}⊆g(f(a))={a, c} comme indiqué dans le troisième alinéa de la dénition de la connexion de Galois, mais comme on n'a pas {a}=g(f(a)), {a} n'est pas un fermé 85_{. L'ensemble {a} ne gure donc pas dans le treillis de Galois, alors que}

l'ensemble {a, c} y gure, représenté le plus souvent par l'écriture ac. Comme il est associé à l'ensemble de sujets B={s1, s3, s5}, qui est forcément fermé86_{, le motif ac et l'ensemble de sujets}

{s1, s3, s5} forment un concept, et quand on représente le treillis des sous-ensembles fermés de propriétés par un diagramme dans lequel les noeuds sont les motifs et les èches indiquent l'inclusion, si on rajoute dans chaque noeud l'ensemble de sujets associé au motif, le diagramme représente également le treillis des sous-ensembles fermés de sujets. Ainsi un même diagramme

84_{Un treillis est un ensemble partiellement ordonné dans lequel tout couple d'éléments admet à la fois une borne}

inférieure et une borne supérieure. Par exemple, l'ensemble des parties d'un ensemble muni de l'inclusion est un treillis car l'inclusion est une relation d'ordre partielle, l'intersection de deux parties étant la plus grande partie incluse dans chacune, et la réunion étant la plus petite partie les contenant toutes deux [77].

85_{Nous avions déni auparavant un fermé par le fait qu'on ne pouvait pas lui rajouter de propriété sans diminuer}

son support, c'est-à-dire le nombre de sujets vériant ses propriétés. Ce n'est pas le cas de {a} car on peut lui adjoindre la propriété c sans changer son support qui est 3. Il est clair que ces deux façons de dénir des fermés sont équivalentes.

86_{Puisque B est l'image par f de l'ensemble de propriétés A, B=f(A), donc g(B)=g(f(A)), et g(f(A)) contient A}

d'après l'alinéa 3 de la dénition, donc g(B)⊇A, et d'après l'alinéa 1, f(g(B))⊆f(A)=B. Comme f(g(B))⊇B d'après l'alinéa 3, on a donc f(g(B))=B.

représente simultanément les deux treillis de fermés liés par la connexion de Galois. Le diagramme le plus pratique est le diagramme de Hasse, qui représente de façon verticale les concepts, les plus "petits" dans le sens de l'ordre étant en bas, les plus "grands" au dessus, chaque inclusion entre un élément x et celui immédiatement plus grand y, donc mis plus haut que x, étant indiquée par un trait entre x et y. On peut voir dans la gure 4.1 le diagramme de Hasse de l'exemple.

Fig. 4.1  Treillis des concepts de l'exemple du tableau 4.1

On peut le construire "à la main" pour mieux comprendre les dénitions. On place tout en bas le motif vide, formé d'aucune propriété. Tous les sujets le vérient, on lui associe donc l'ensemble de tous les sujets, et son support est 5. On est sûr qu'il est fermé, puisque si lui ajoute une propriété, son support diminue. En eet toutes les propriétés ont un support inférieur à 5. Puis on lui adjoint la propriété a, ce qui donne le motif a (car ∅ ∪ {a} = {a}), associé aux sujets s1, s3 et s5. Toutefois, comme on vient de le voir, ce motif n'est pas fermé, c'est le motif ac qui est fermé, on écrit donc le concept (ac,{s1, s3, s5}) au dessus du concept (∅,{s1, s2, s3, s4, s5}). Entre les deux, on a le motif c, qui est vérié par tous les sujets sauf s4. Il est fermé car on ne peut pas lui adjoindre d'autres motifs sans diminuer son support de 4. On écrit entre ces deux concepts le concept (c, {s1, s2, s3, s5}) qu'on joint à celui du dessous par un trait et à celui du dessus par un autre trait. On ne rajoute pas de trait entre celui du bas et celui du haut, car comme on pourrait obtenir ce lien en appliquant la transitivité de la relation sur les deux liens précédents, il est superu. En suivant ces liens du haut vers le bas, on trouve que ∅ ⊆ {c} ⊆ {a, c} et que {s1, s2, s3, s4, s5}⊇{s1, s2, s3, s5}⊇{s1, s3, s5}. Puis on repart du bas, et on ajoute la propriété b à l'ensemble vide. On obtient le motif b. Il est vérié par tous les sujets sauf s1. Mais il n'est pas le seul. Il n'est donc pas fermé. C'est le motif be qui est fermé et qui produit le concept (be,{s2, s3, s4, s5}). On le joint par un trait à celui du bas, puis on considère la propriété d. Le motif d, vérié par le sujet s1 seul, n'est pas fermé, on peut lui adjoindre les propriétés a et c, ce qui forme le motif acd, qui est fermé et le concept correspondant est le concept (acd, {s1}). Il se place au dessus du concept (ac,{s1, s3, s5}) et on le joint par un trait à ce dernier. Ensuite on peut voir sur le diagramme que les concepts (c, {s1, s2, s3, s5}) et (be,{s2, s3, s4, s5}) ont en commun les sujets s2, s3 et s5, ce qui donne le concept (bce,{s2, s3, s5}), qui représente leur borne supérieure, obtenu en faisant la réunion des ensembles de propriétés et l'intersection des ensembles de sujets, et on l'écrit donc au dessus de ces deux concepts puis on le joint à eux par deux traits. De la même façon, ce concept et le concept (ac,{s1, s3, s5}) produisent le concept (abce,{s3, s5}) qu'on écrit au dessus et qu'on joint à eux par deux traits, et on termine par le

4.3. Les indices de qualité des règles